第八章 不 定 积 分 §1 不定积分概念与基本积分公式 教学内容： 1 ）不定积分的概念 2 ）不定积分与微分的关系 3 ）不定积分的基本积分公式 4 ）不定积分的线性性质

1. 第八章不 定 积 分 §1不定积分概念与基本积分公式 教学内容： 1）不定积分的概念 2）不定积分与微分的关系 3）不定积分的基本积分公式 4）不定积分的线性性质 重点：不定积分与微分的关系，基本积分公式 要求：熟记基本积分公式和不定积分的线性性质

2. 首先，我们简 要说明积分运算是如何产生的？ 一般来说，在数学中，一种运算的出现都伴随着它的逆运算。例如，有加就有减，有乘就有除，有乘方就有开方，等等。我们前面学过的微分运算也不例外，它也有逆运算—积分运算。我们已经知道，微分运算的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么我们很自然地会提出与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰是某一已知函数。提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规律），求曲线方程等等。要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运算，这就是产生积分运算的原因。 为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：

3. 也熟悉导数运算： 我们熟悉乘方运算： 于是提出新问题： 同样提出问题： 这不是乘方运算，而是它的逆运算— 开方运算。 这不是求导运算，而是它的逆运算— 积分运算。 一般来说，在下式里 同样，在下式里

4. 通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数与不定积分的有关的定义。通过上面的比较，对积分运算与原函数有了初步认识，以下先给出原函数与不定积分的有关的定义。 一、原函数与不定积分

14. §2 换元积分法与分部积分法

23. §3 有理函数的不定积分 一、有理函数的不定积分内容： 1）有理函数的部分分式分解 2）有理函数的不定积分 难点：有理函数的部分分式分解 要求：掌握有理函数的积分方法 我们已经学习了不定积分的三种基本积分方法 第一换元法，第二换元法，分部积分法。灵活的应用 它们，就可以求出许多不定积分。 有理函数是指两个多项式的商表示的函数：

24. 先介绍代数学中两个定理： 定理1 （多项式的因式分解定理）任何实系数多项式总那个可以 唯一分解为实系数一次或二次因式的乘积：

25. 定理2（ 部分分式展开定理）：

26. 因此有理函数的积分问题就归结为计算 与 例 1.求不定积分 将被积函数按部分分式分解： 两边同乘 比较同次项系数：

27. 解此方程组得： A = -3 ，B = 5 由此得到 ： 所以 例 2 解 将分母分解因式

28. 因此可分成部分分式 两边同乘 比较同次项系数得

29. 从而得方程组： 解此方程组得： A =1 B =2 C =-1 D =-1 E =1 从而：

31. 小结： 1、有理函数的原函数一定是初等函数； 2、求有理函数不定积分的步骤： 1）、若被积函数是有理假分式，则通过多项式除法，把它化成 多项式+有理真分式； 2）、用部分分式展开定理把有理真分式化成若干个简单分式之 和，用比较系数法或赋值法求出各待定系数。 3）、求出各个简单分式的不定积分， 则有理函数的不定积分=多项式的不定积分（若是有理假分式， 则必有此项积分）+各个简单分式的不定积分。