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§7.5 二元函数偏导数的应用

§7.5 二元函数偏导数的应用. 在几何上的应用. 二元函数极值的求法. 小结. 思考与练习. 在几何上的应用. 1. 空间曲线的切线与法平面. 即. 例 1. 解. 于是，切线方程为. 法平面方程为. 2. 曲面的切平面方程与法线方程. 为. 例 2. 解. 或. 法线方程为. 二元函数极值的求法. 1 、二元函数的极值. 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。. 定理 7.7( 极值存在必要条件 ). 使. 定理 7.8 （极值存在充分条件）. 令. 第一步. 第二步. 第三步. 例 3. 解. （ 1 ）求驻点.

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§7.5 二元函数偏导数的应用

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  1. §7.5 二元函数偏导数的应用 • 在几何上的应用 • 二元函数极值的求法 • 小结 • 思考与练习

  2. 在几何上的应用 1.空间曲线的切线与法平面

  3. 即

  4. 例1 解

  5. 于是，切线方程为 法平面方程为 2.曲面的切平面方程与法线方程 为

  6. 例2 解 或 法线方程为

  7. 二元函数极值的求法 1、二元函数的极值 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。 定理7.7(极值存在必要条件) 使

  8. 定理7.8（极值存在充分条件） 令

  9. 第一步 第二步 第三步

  10. 例3 解 （1）求驻点 解方程组 （2）判断驻点是否极值点， 若是，说明取得极值情况 又由于

  11. 2.条件极值与拉格朗日乘数法 在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并 无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把 对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件 条件极值问题有如下两种解法。 方法1 例4 解

  12. 由一元函数极值存在的必要条件，得 所以 方法2 （拉格朗日数乘法）

  13. 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。 至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还 是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

  14. 例5 解 作辅助函数 令

  15. 由前三式，得 即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。 注:求二元函数极值的方法 (1)换元法。 (2)拉格朗日数乘法。

  16. 作业 P142 习题18 习题19 习题21

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