3.5 对数函数与指数函数的导数

1. 3.5对数函数与指数函数的导数 主讲教师：唐丹

2. 一、复习与引入： 1. 函数的导数的定义与几何意义. 2.常见函数的导数公式. 3.导数的四则运算法则. 4.复合函数的导数公式. 5.由前面几节课的知识,我们已经掌握了初等函数中的 幂函数、三角函数的导数,但还缺少指数函数、对数 函数的导数,而这就是我们今天要新学的内容. 有了指数函数、对数函数的导数,也就解决了初等函数的可导性.结合前一章节的知识,我们可知,初等函数在其定义域内都是连续而且可导.

3. 下面给出公式的证明,中间用到重要极限 证: 二、新课——指、对函数的导数： 1.对数函数的导数:

4. 证:利用对数的换底公式即得: 2.指数函数的导数: 由于以上两个公式的证明,需要用到反函数的求 导法则,这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这里我们不加以证明,直接拿来使用.

5. 例1:求下列函数的导数: (1)y=ln(2x2+3x+1) (2)y=lg 解:(1) (2)法1: (2)法2: 三、例题选讲：

6. 例2:求下列函数的导数: 解: 解:设y=au,u=cosv,v=1/x,则:

7. 解此类题应注意: (1)分清是由哪些函数复合而成的. (2)用逐步的方法来进行求导.

8. 练习1:求下列函数的导数: 答案:

9. 说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny, y=f(x),则 例3:求下列函数的导数:(1)y=xx(x>0);(2)y=[f(x)]g(x). 解:(1)两边取对数,得lny=xlnx. 由于y是x的函数,由复合函数的求导法则对上式两边对x求导,可得: (2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:

10. ①形如y=(x-a1)(x-a2)…(x-an)的函数,取对数后,可 将积转化为和的形式,或 ,取对 数后,可转化为代数和的形式. (2)本题用的求导方法习惯上称为对数求导法,即先两 边取对数,再对x求导.一般适用于下列两类函数: ②无理函数或形如y=[f(x)]g(x)这类幂指函数. (3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式).

11. 四、小结： • 对数函数、指数函数的导数是常用的导数公式中较 • 难的两类函数的导数,要熟记公式,会用公式,用活公式. (2)解决指、对数函数的导数问题,应充分重视指数、对 数的运算性质的准确使用,以保证变换过程的等价性. (3)在求指、对数函数的导数过程中,要遵循先化简,再 求导的原则;要结合导数的四则运算法则和复合函数 的求导法则进行求导.