剩余类及完全剩余类

剩余类及完全剩余类

同余的性质： (1): a b mod m , cd mod m 则 a+b c+d mod m a-b c-d mod m ab cd mod m (2): ab ac mod m ,(a, m)=1 则 bc mod m (3): a b mod m1a b mod m2. (m1, m2)=1 则 a b mod m1m2. (4): a b mod m 则 f(a)  f(b) mod m

结论:同余是一种等价关系 自反性a a mod m自己与自己有关系对称性a b mod m 可知b a mod m 可传递a b mod m bc mod m 则 ac mod m 注意： a b mod m 是下式的简化 a mod m=b mod m 除以m后余数相等。等价数：除以m后余数相等的记为一类， [0]:表示除以m余0的数 C0={c| c mod m=0 mod m}或所有c除以m后的余数=0除以m后的余数 [1]:表示除以m余1的数 C1={c| c mod m=1 mod m} 所有c,它除以m后的余数=0除以m后的余数 [2]:表示除以m余2的数 C2={c| c mod m=2 mod m} [a]:表示除以m余a的数 Ca={c| c mod m=a mod m} 所有c,它除以m后的余数=a除以m后的余数a

例题:模m=10,根据余数可以可以将所有整数分成10个类别：例题:模m=10,根据余数可以可以将所有整数分成10个类别： [0]即 C0={c| c mod m=0 mod m} ={c| c mod 10=0 mod 10} ={c| c mod 10=0}={c|c=t10} ={0,10,20,30,40,50,60,…,-10,-20,…} [1]即 C1={c| c mod m=1 mod m} ={c| c mod m=1}={c| c=s10+1} ={1,11,21,31,41,51,…,-11,-21,-31,…} [a]即Ca={c| c mod m=a mod m} (a<10) ={c| c mod 10=a } ={c| c=k10+a}

Ca={c| ca mod m}={c| c mod m=a mod m} 引理1:设m是一个正整数，则 (1) aZ+, Cr(0r m-1) aCr,都属于一类 (2)Ca=Cb ab mod m 同类即同余不同类不同余 (3)CaCb={} a mod m b mod m 反证法证明： (1)带余除法,任意整数a除以m,可惟一写成： a=tm+r t,r是唯一的，先复习同余4类. a mod m=(tm+r) mod m=r mod m=r (2) 即若 ab mod m则Ca=Cb 两集合相等 Ca={c| ca mod m} Cb={c| cb mod m} 若两集合相等，则a mod m=b mod m 任xCa 即 x mod m=a mod m 可传则xCb 即 x mod m=b mod m

剩余系:设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成[0],[1],[2],…[m-1]，剩余系:设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成[0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 最小非负完全 {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 绝对值最小 {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 绝对值最小 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 当m=5时则{0,1,2,3,4} {1,2,3,4,5} {-2,-1,0,1,2} m为奇数-[m/2]…,0,…[m/2] 绝对值最小 m为偶数-m/2,…,0,….(m/2)-1 右端少1个 -m/2+1,…0,…m/2 左端少1个

引理2:mZ+,则m个整数r0,r1,…,rm-1,构成一个完全剩余系除m的余数(模m)两两不相等。引理2:mZ+,则m个整数r0,r1,…,rm-1,构成一个完全剩余系除m的余数(模m)两两不相等。证明:剩余系 从m个等价类各取一个代表元 每个元素各属一个类 根据引理1(3)的“不同类不同余”可知 除以m的余数不相等引理3: mZ+,kZ,(k,m)=1,当a1,a2,…,am为完全剩余系时,ka1+b,ka2+b,…,kam+b也为完全剩余系. 证明: a1,a2,…,am为完全剩余系 当ij时 ai mod maj mod m,又(k,m)=1 kai mod m  kaj mod m (反证) X依次取a1,a2,…,am时,kx+b依次取… 遍历！

例题: mZ+,kZ,(k,m)=1,当a1,a2,…,am为完全剩余系时,ka1+b,ka2+b,…,kam+b也为完全剩余系 M=10 k=3, b=2则0,1,2,3,4,5,6,7,8,9为完全剩余系，则3*0+2，3*1+2，3*2+2，3*3+2，3*4+2, 3*5+2, 3*6+2, 3*7+2, 3*8+2, 3*9+2即 2,5,8,11,14,17,20,23,26,29也是剩余系,模10: 2,5,8, 1, 4, 7,0, 3, 6, 9 各不个相同，所以处在不同的类中，不同类各取一个，构成完全剩余系。注意：不能保证与原数处在同一个类。如1原在[1]，但3*1+2却在[5]中。

引理4:m,nZ+,(m,n)=1则当a0,a1,…,am-1, b0,b1,…,bn-1是完全剩余系时,nai+mbj(i=0…m-1,j=0…n-1)也构成mn完全剩余系。证明: a mod m=b mod m a mod n=b mod n (m,n)=1 则 a mod mn=b mod mn 不一样！ mn完全剩余系中有0,1,2,…, mn-1个元素。固定I,让j依次取0,1,…n-1则得到有数： nai0+mb0, nai0+mb1, … , nai0+mbn-1,共有n个让上行中i0依次取0,1,…m-1则共有m行,共有mn 当naI1+mbJ1与naI2+mbJ2，当(I1I2)或(J1  J2)时, (naI1+mbJ1 )mod mn(naI2+mbJ2 )mod mn n(aI1-aI2 )+m(bJ1-bJ2)=tmn 两边同时对n取模

引理4:m,nZ+,(m,n)=1则当a0,a1,…,am-1, b0,b1,…,bn-1是完全剩余系时,nai+mbj(i=0…m-1,j=0…n-1)也构成mn完全剩余系。 x依次取(遍历)剩余系a0,a1,…,am-1,y依次取(遍历)剩余系b0,b1,…,bn-1时，nx+my依次取mn的某个剩余系c0,c1,c2,…,cmn-1. 例如:p,q是两个不同的素数，n是它们的积，对任意的整数c,存在惟一的x,y，使得 qx+pyc mod n即 qx+pyc mod (qp) 反证 a0,a1,…,aq-1, b0,b1,…,bp-1, 假设(x1x2)或(y1y2 ) qx1+py1c mod (qp) qx2+py2c mod (qp) qx1+py1 qx2+py2 mod (qp) 不可能的！

剩余系:设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成[0],[1],[2],…[m-1]，剩余系:设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成[0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。简化剩余系:在每个剩余类选取至1个与m互素代表元构成简化剩余系。当m=10则,{10,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 完全剩余系 {1,3,7,9}是简化剩余系 (?,10)=1 当素数5的{0,1,2,3,4}完全剩余系 ,其简化剩余系 {1,2,3,4}除去余0(正好是倍数)外，其它都互素。 (m)=欧拉函数=|{t|0<t<m, (t, m)=1}| =简化剩余系的元素个数相当一部分理论围绕欧拉函数展开！

引理3: mZ+,kZ,(k,m)=1,当a1,a2,…,am为完全剩余系时,ka1+b,ka2+b,…,kam+b也为完全剩余系引理5: mZ+,kZ,(k,m)=1,当a1,a2,…,at为简化剩余系时,ka1,ka2,…,kat也为简化剩余系. x遍历模m的简化系时,kx遍历m的简化系。简化剩余系也是完全剩余系的一部分,所以 ka1+0,ka2+0,…,kat+0也为完全剩余系的一部分. 只要证明：若(ai,m)=1即ai与m互素，能推出kai与m互素，即(kai,m)=1就可以. (m,ai)=1,(m,k)=1则(m,kai)=1

引理4:m,nZ+,(m,n)=1则当a0,a1,…,am-1, b0,b1,…,bn-1是完全剩余系时,nai+mbj(i=0…m-1,j=0…n-1)也构成mn完全剩余系。引理6:m,nZ+,(m,n)=1则当a0,a1,…,at, b0,b1,…,bs是简化剩余系时,nai+mbj(i=0…t, j=0…s)也构成mn简化剩余系。 x,y遍历m,n的简化系nx+my遍历mn简化剩余系. 当(ai,m)=1,(bj,n)=1则(nai+mbj,mn)=1 (n,m)=1 则(nai,m)=1 s(nai)+tm=1 (m,n)=1 则 (mbj,n)=1 (nai,m)=1 s(nai)+tm=1  s(nai)+smbj+tm-smbj=1s(nai+mbj)+(t-sbj)m=1 (nai+mbj,m)=1 类似有(nai+mbj,n)=1

例题10的简化剩余系 : (?,10)=1 1,3,5,7,9 (10)=5 例题30的简化剩余系: (?,30)=1 1,7,11,13,17,19,23,29 共8个 (30)= (3*10) = (3)* (10) = (3)* (2)* (5) =(3-1)*(2-1)*(5-1)=10 30=2*3*5 (30)=30*(1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5) =30*1/2*2/3*4/5=1*2*4=8 (k,m)=1时 x遍历简化剩余系时 kx也遍历简化系 (7,30)=1 则 X= 1,7,11,13,17,19,23,29 kx=7*1,7*7,7*11,7*13,7*17,7*19,7*23,7*29 也是 7 19 17 1 29 13 11 23

引理6:m,nZ+,(m,n)=1则当a0,a1,…,at-1, b0,b1,…,bs-1是简化剩余系时,nai+mbj(i=0…t-1, j=0…s-1)也构成mn简化剩余系。 (m)=欧拉函数=|{k|0<k<m, (k, m)=1}| =m简化剩余系的元素个数=t (n)=欧拉函数=|{L|0<L<n, (L, n)=1}| =n简化剩余系的元素个数=s 固定ai, 让bj遍历b0,b1,…,bs-1时有s个再让ai遍历a0,a1,…,at-1共有t行，故mn简化剩余系共有st个，故 (mn)=mn简化剩余系的元素个数=st = (m)(n) (mn)= (m)(n) (where (m,n)=1) 多举例

(m)=欧拉函数=|{t|0<t<m, (t, m)=1}| =简化剩余系的元素个数 (mn)= (m) (n) 当(m,n)=1 (p)= p-1 当p是prime时 (p2)=(pp) = (p) (p) =(p-1)(p-1) 当p是素数 (p2)=|{t|0<t< p2, (t, p2)=1}| =|{1,2,3,…,p-1,p p+1,p+2,p+3,….p+p(2p), 2p+1,2p+2,2p+3,….2p+p(3p), (p-1)p+1,(p-1)p+2, (p-1)p+3,…. (p-1)p+p(pp)}| =p2-p=p2 (1-1/p) (pt)=pt-pt-1. (pt-1-1)p+pt-1 (ppt-1) 详细展开！ (pt qs)=(pt) (qs) p,q是素数(p,q)=1 (p2,q)=1 ?

(m)=欧拉函数=|{t|0<t<m, (t, m)=1}| =简化剩余系的元素个数 (mn)= (m) (n) 当(m,n)=1 (p)= p-1 当p是prime时 (p2)=(pp) = (p) (p) =(p-1)(p-1) 当p是素数 (p2)=|{t|0<t< p2, (t, p2)=1}|=p2-p=p2 (1-1/p) (pt)=pt-pt-1. (pt-1-1)p+pt-1 (ppt-1) 详细展开！ (pt qs)=(pt) (qs) p,q是素数(p,q)=1 (p2,q)=1 n=p1L1p2L2…ptLt 则 (n)= (p1L1p2L2…ptLt) =p1L1 (1-1/p1)*p2L2 (1-1/p2)*… ptLt (1-1/pt) =p1L1p2L2…ptLt (1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pt) =n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pt)

例题 (pq)= (p) (q) p,q是不同的素数 (p)=(p-1) (q)=q-1 (pq)=(p-1)(q-1)=pq-p-q+1 p+q=pq-(pq)+1 两数的和变成积 p+q=n-(n)+1 pq =n 若已知n, (n)已知则利用韦达定理可求出p,q 即可对n进行因数分解。 n=30 (30)=8 p+q=30-8+1 p+q=23 pq=30 pq=30 x2-23x+30=0 其根是因数

定理 nZ+,则 (d)=n d|n n的正因数的欧拉函数值之和=n (约定 (1)=1) 4=1*4=2*2 1 2 4 1 1 2=4 6=1*6=2*3 1 2 3 6 1 1 2 2=6 10=1*10=2*5 1 2 5 10 1 1 4 4=10 30=1*30=2*6=3*10=5*6 =1*2*3*5 1,2,3,5,6,10,15,30 1 1 2 4 2 4 8 8=30

定理 nZ+,则 (d)=n d|n 证明:C={1,2,3,…,n} Cd={m| (m,n)=d,1mn} ={m | (m/d,n/d)=1,1mn} ={kd| (k,n/d)=1, 1kn/d} #(Cd)= (n/d) 比它小且互素的个数而C每个元素必属于某个集合也只属于一集合 #(C)= #(Cd) 而#(C)=n 故n= (n/d) 因为d*n/d=n 而当d遍历n的所有正因数时，n/d也对应的遍历n的所有正因数 n= (n/d)=(d). n=30 d=1,2,3,5,6,10,15,30 30/d=30,15,10,6,5,3,2,1

n=30 d=1,2,3,5,6,10,15,30最大公约数 C1={1,7,11,13,17,19,23,29} d=1 1 C2={2,4,8,14,16,22,26,28} d=2 1 C3={3,9,21,27} d=3 2 C5={5,25} d=5 4 C6={6,12,18,24} d=6 2 C10={10,20} d=10 4 C15={15} d=15 8 C30={30} d=30 8

Euler定理：mZ+,m>1 (a,m)=1 则 a(m)mod m=1 例 m=7 a=2 (2,7)=1 1, 2, 3, 4, 5, 6 剩余系 2*1 2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 剩余系 2*1 mod m=2 mod m 2*2 mod m=4 mod m 2*3 mod m=6 mod m 2*4 mod m=1 mod m 2*5 mod m=3 mod m 2*6 mod m=5 mod m 相乘 (2 (m) (1*2*3*4*5*6))mod m=(2*4*6*1*3*5)*1 mod m 而(1*2*3*4*5*6,7)=1 消去律及互素的性质 2(m)mod m=1mod m 即2(m)1mod m

Euler定理：mZ+,m>1 (a,m)=1 则 a(m)mod m=1 a1, a2, a3, … at剩余系 aa1, aa2, aa3, … aat剩余系 aa1 mod m=ai mod m aa2 mod m=aj mod m …… aat mod m=ak mod m 相乘 (a (m) (a1*a2*a3…at))mod m =(a1*a2*a3…at)*1 mod m 而(a1*a2*a3…at,m)=1 消去律及互素的性质 a(m)mod m=1mod m 即a(m)1mod m

m >1 正整数 (a,m)=1 a(m) 1mod m 210mod 11=1 m=11 (m)=10 (a,m)=1 a22mod 23=1 m=23 (m)=22 (a,m)=1 78mod 30=1 m=30 (m)=8 (a,m)=1 例 m=7 a=2 (2,7)=1 1, 2, 3, 4, 5, 6 剩余系 2*1 2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 剩余系 2*1 mod m=2 mod m 2*2 mod m=4 mod m 2*3 mod m=6 mod m 2*4 mod m=1 mod m 2*5 mod m=3 mod m 2*6 mod m=5 mod m 相乘 (2 (m) (1*2*3*4*5*6))mod m=(2*4*6*1*3*5)*1 mod m 而(1*2*3*4*5*6,7)=1 消去律及互素的性质 2(m)mod m=1mod m 即2(m) 1mod m

剩余类及完全剩余类

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