Soustavy Lineárních rovnic

1. Soustavy Lineárních rovnic O více neznámých

2. Soustavy rovnic s více neznámými • Zpravidla neřešíme ( v daném číselném oboru M) jednotlivé rovnice s více neznámými, nýbrž několik takových rovnic, které mají být splněny zároveň. Mluvíme pak o soustavě rovnic se dvěma, resp. více neznámými. Mezi jednotlivé rovnice soustavy bychom měli psát znak ۸ (“ a zároveň”). Obvykle se však mezi nimi píše čárka, resp. se rovnice píší pod sebou. • Řešením soustavy rovnic o n neznámých x1, x2, ..., xn se rozumí každá uspořádaná n-tice [x1, x2, ...., xn] čísel z daného číselného oboru M, která splňují zároveň všechny rovnice soustavy, tj. Po dosazení do každé z rovnic soustavy dostaneme pravdivý výrok (rovnost). Množina všech řešení soustavy je průnikem množin všech řešení jednotlivých rovnic soustavy.

3. Druhy soustav rovnic s více neznámými • Prakticky nejdůležitější jsou soustavy lineárních algebraických rovnic (stručně dále budeme mluvit o soustavách lineálních rovnic), tj. algebraických rovnic prvního stupně v neznámých x1, x2, …, xn. • Obecněji se řeší soustavy algebraických rovnicvyšších stupňů, na střední škole se ovšem omezujeme na soustavy rovnic nejvýše 2. stupně (kvadratické rovnice) pro dvě neznámé. • Lze vytvářet též soustavy nealgebraických rovnic, jež obsahují např. exponenciální, logaritmické nebo goniometrické rovnice vzhledem k neznámým.

4. Početní řešení soustav rovnic • Metody početního řešení soustav rovnic užívají ekvivalentní úpravy soustavy rovnic, tj. takové úpravy, jimiž se nemění řešení soustavy. Nejdůležitější jsou souhrnně uvedeny v následujících snímcích. • Při použití pouze ekvivalentních úprav soustavy není zkouška nutnou součástí postupu řešení, ale je vhodná pro kontrolu.

5. Přehled ekvivalentních úprav soustavy rovnic • (USR 1) - Nahrazení libovolné rovnice soustavy rovnicí, která je s ní ekvivalentní, tj. má totéž řešení. Získává se zejména těmito dvěma ekvivalentními úpravami: • K oběma stranám rovnic přičteme totéž číslo nebo výraz s neznámými, který je definován v celém oboru, v němž se rovnice řeší. • Obě strany rovnice násobíme týmž číslem různým od nuly nebo výrazem s neznámými, který je definován a nenulový v celém oboru, v němž se rovnice řeší. (Stručně říkáme, že rovnici násobíme číslem, resp. výrazem.)

6. Přehled ekvivalentních úprav soustavy rovnic • (USR 2) -Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice a libovolné jiné rovnice soustavy. • (USR 3) -Dosazení neznámé nebo výrazu s neznámou z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice.

7. Soustavy lineárních rovnic • Základním typem metod řešení soustav lineárních algebraických rovnic jsou eliminační metody, jejichž podstatou je postupná eliminace (vylučování) neznámých z rovnic soustavy.

8. Soustava dvou lineárních rovnic se dvěmi neznámými Podle způsobu, jímž eliminujeme (vyloučíme) jednu neznámou z některé rovnice soustavy, rozlišujeme tyto tři metody řešení: • Metoda sčítací - rovnice soustavy násobíme čísly zvolenými tak, aby se po sečtení vynásobených rovnic jedna neznámá vyloučila. • Metoda dosazovací (substituční) - vyjádříme jednu neznámou z jedné rovnice soustavy a dosadíme ji do druhé rovnice, čímž se jedna neznámá z této rovnice vyloučí. • Metoda srovnávací (komparační) - z obou rovnic vyjádříme touž neznámou, výsledky porovnáme a tím získáme rovnici, ve které je tato neznámá vyloučena.

9. Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic s neznámými x, y Є R: 2x - y = 1 x + 3y = 11

10. Řešení metodou sčítací • První rovnici vynásobíme třemi, dostáváme rovnici 6x - 3y = 3. • Získanou rovnici sečteme s druhou rovnicí soustavy, tím vyloučíme neznámou y a pro neznámou x dostáváme rovnici 7x = 14, • odtud po dělení rovnice sedmi x = 2. • Obdobně lze vyloučit neznámou x vynásobením druhé rovnice minus dvěma a sečtením s první rovnicí; dostáváme rovnici -7y = -21, • odtud po dělení rovnice minus sedmi y = 3.

11. Řešení metodou dosazovací • Z první rovnice vyjádříme y = 2x - 1 • a dosadíme do druhé rovnice; dostáváme 7x - 3 = 11, • odtud 7x = 14 čili x = 2. • Obdobně, vyjádříme-li z druhé rovnice x = 11 - 3y • a dosadíme do první rovnice, dostáváme 22 - 7y = 1, • odtud -7y = -21 čili y = 3.

12. Řešení metodou srovnávací • Z první i druhé rovnice vyjádříme např. neznámou y, dostáváme y = 2x - 1 a y = (1/3)(11 - x). • Porovnáním odtud plyne rovnice 2x - 1 = (1/3) (11 - x) • čili 6x - 3 = 11 - x • a odtud 7x = 14 čili x = 2. • Po dosazení do rovnice y = 2x - 1 vypočteme y = 3.

13. Výsledek: Daná soustava rovnic má v množině R2 právě jedno řešení [x, y] = [2; 3]. • Zkoušku provedeme dosazením do dané soustavy rovnic: L1 = 2 . 2 - 3 = 4 - 3 = 1 = P1 L2 = 2 + 3 . 3 = 2 + 9 = 11 = P2

14. Grafické řešení soustav lineárních rovnic se dvěma neznámými v R2 • Soustavy rovnic se dvěma neznámými x, y є R lze rovněž řešit graficky. Vycházíme přitom z poznatku, že množinou všech bodů, jejichž kartézské souřadnice splňují lineární rovnici, je přímka. Jestliže sestrojíme přímky, které graficky znázorňují v soustavě kartézských souřadnic Oxy obě dané lineární rovnice, pak body jejich průniku mají souřadnice, jež představují řešení soustavy těchto lineárních rovnic. Přitom dvě přímky v rovině mohou být navzájem buď různoběžné, nebo rovnoběžné různé, anebo splývající, takže platí:

15. Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými má • právě jedno řešení, jestliže přímky graficky znázorňující všechna řešení daných rovnic jsou různoběžné, • žádné řešení, jestliže tyto přímky jsou rovnoběžné různé, • nekonečně mnoho řešení, jestliže obě přímky splývají.

16. Příklady grafického řešení soustav dvou lineárních rovnic s neznámými x, y є R: • 2x - y = 1 x + 3y = 11 • 4x - 6y = 3 6x - 9y = 12 • x + 2y = 4 3x + 6y = 12

17. Řešení: • Sestrojíme množinu bodů, jejichž kartézské souřadnice splňují první rovnici. Je to graf funkce y = 2x - 1, tj. přímka procházející body A [0; -1], B[1; 1]. Obdobně druhá rovnice vyjadřuje funkci y = Jejím grafem je přímka procházející body C [-1; 4], D[5; 2]. Přímky AB, CD jsou různoběžné, jejich průsečíkem je bodQ[2; 3]. Daná soustava má tedy právě jedno řešení [2; 3].

18. 2x - y = 1 x + 3y = 11

19. První rovnici upravíme na tvar y = , který vyjadřuje funkci, jejímž grafem je přímka procházející body E [3; 1,5], F [-3; -2,5]. Druhou rovnici upravíme na tvary = , který je vyjádřením funkce, jejímž grafem je přímka procházející body G = [-1; -2], H [5; 2]. Přímky EF, GH jsou dvě různé rovnoběžky. To odpovídá tomu, že daná soustava nemá žádné řešení, neboť obě rovnice si zřejmě odporují (dělíme-li první rovnici dvěma, dostáváme 2x - 3y = 1,5, dělíme-li druhou rovnici třemi, dostáváme 2x - 3y = 4).

20. 4x - 6y = 3 6x - 9y = 12

21. Rovnice představují analytická vyjádření dvou sobě rovných funkcí, jejichž grafy jsou totožné přímky procházející body K [0; 2], L [4; 0]. To odpovídá tomu, že každá uspořádaná dvojice [x; y], která splňuje první rovnici, vyhovuje též druhé rovnici, tj. daná soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení.

22. x + 2y = 4 3x + 6y = 12

23. Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých s reálnými parametry: • Řešte soustavu rovnic a proveďte diskusi podle parametru p є R: p2x + py = p3 + 1 p3x + y = p2 + p • Řešení provedeme např. metodou dosazovací. Ze 2. rovnice vyjádříme: y = p2 + p - p3y • a dosadíme do 1. rovnice: p2x + p3 + p2 - p4x = p3 + 1 • Po úpravě dostáváme: p2(1-p2)x = 1 - p2 • čili: p2(1 + p)(1 - p)x = (1 + p)(1 - p)

24. Diskuse řešení: • Je-li p ≠ 0 ۸ p ≠ 1, plyne odtud, že x = 1/p2 , a tedy y = p2, tj. daná soustava má pak právě jedno řešení [x, y] = [1/p2, p2]. • Je-li p = 0, dané rovnice nabývají tvaru 0x + 0y = 1, 0x + y = 0, první rovnici nelze však splnit pro žádná x, y є R, takže daná soustava v tomto případě nemá žádné řešení [x; y] є R2. • Je-li p = 1, obě rovnice dané soustavy nabývají téhož tvaru x + y = 2, soustava má tedy nekonečně mnoho řešení tvaru [x; y] = [x; 2 - x], kde x je libovolné reálné číslo. Je-li p = -1, obě rovnice dané soustavy nabývají tvaru x - y = 0, -x + y = 0, tj. Jsou obě ekvivalentní s rovnicí x = y, soustava má tedy nekonečně mnoho řešení tvaru [x; y] = [x; x], kde x je libovolné reálné číslo.

25. Soustava dvou lineárních rovnic se třemi neznámými • Jednu neznámou lze v této soustavě zvolit za parametr a získat tak soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou řešíme některou z uvedených metod. • Příklad řešení soustavy dvou lineárních rovnic se třemi neznámými x, y, z є R: 6x + 2y + 3z = 2 2x - 3y + z = 8

26. Řešení: • Danou soustavu upravíme na tvar 6x + 2y = 2 - 3z, 2x - 3y = 8 - z. • Neznámou z zvolíme za reálný parametr. Tuto soustavu dvou rovnic o dvou neznámých x, y řešíme např. metodou sčítací: Druhou rovnici vynásobíme minus třemi a sečteme s první rovnicí, čímž se vyloučí neznámá x (a též parametr z), dostáváme: 2y + 9y = 2 - 24 čili 11y = -22, odkud y = -2. • Dosazením do druhé rovnice soustavy dále plyne: 2x + 6 + z = 8 čili 2x = 2 - z, odkud x = 1 - 0,5z.

27. Výsledek: Daná soustava má v R3 nekonečně mnoho řešení tvaru [x; y; z] = [1 - 0,5z; -2; z], kde z je libovolné reálné číslo. • Zkouška (dosazením do dané soustavy): L1 = 6 - 3z - 4 + 3z = 2 = P1 L2 = 2 - z + 6 + z = 8 = P2

28. Bonus navíc • Následujících šest snímků (až k testu) je rozšiřující učivo, které se probírá na dalším stupni, tedy na střední škole, popřípadě na gymnáziu.

29. Soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými • Lze ji řešit obdobně jako soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, tj. zobecněnou metodou sčítací, dosazovací nebo srovnávací. • Avšak výhodnější je použití Gaussovy eliminační metody (GEM), která spočívá v postupném převedení dané soustavy rovnic na tzv. trojúhelníkový tvar, kde ve druhé rovnici je eliminována první neznámá a ve třetí rovnici jsou eliminovány první a druhá neznámá. Převedení soustavy na trojúhelníhový tvar se provádí ekvivalentními úpravami tímto postupem (zvaným přímý chod GEM):

30. Rovnice dané soustavy uspořádáme tak, aby koeficient 1. neznámé v 1. rovnici byl buď 1, anebo jiné číslo různé od nuly - v tomto případě 1. rovnici tímto číslem vydělíme, čímž dostaneme rovnici s koeficientem 1 u 1. neznámé. • Od 2. a 3. rovnice odečteme takové násobky upravené 1. rovnice, aby se v nich po odečtení eliminovaly členy s 1. neznámou. • Obdobně eliminujeme člen s 2. neznámou ve 3. rovnici. Ze získané soustavy lineárních rovnic v trojúhelníkovém tvaru určíme již snadno její řešení tímto postupem (zvaným zpětný chod GEM): Ze 3. rovnice vypočteme kořen z, pak dosazením do 2. rovnice kořen y a nakonec po dosazení do 1. rovnice kořen x.

31. Příklad řešení soustavy tří lineárních rovnic s neznámými x, y, z є R: 9x + 5y - 2z = 15 (1) 8x + 6y + 3z = 15 (2) 3x - 7y + 4z = 27 (3)

32. Danou soustavu rovnic převedem na trojúhelníkový tvar takto (přímý chod GEM): Nejprve ji upravíme tak, aby v 1. rovnici koeficient u 1. neznámé byl 1. Bylo by možné dosáhnout toho dělením této rovnice číslem 9, tím bychom ovšem dostali v upravené rovnici desetinná čísla. Při ručním výpočtu můžeme použít takové ekvivalentní úpravy, aby koeficienty zůstaly čísla celá; od 1. rovnice odečteme 2. rovnici, čímž dostaneme soustavu rovnic:

33. x - y - 5z = 0, (11) 8x + 6y + 3z = 15,(21) = (2) 3x - 7y + 4z = 27. (31) = (3) • Dále od rovnice (21) odečteme 8. (11) a od rovnice (31) odečteme 3. (11), tím eliminujeme neznámou x v těchto rovnicích a dostáváme tuto ekvivalentní soustavu rovnicx - y - 5z = 0,(13) = (12) y + 43/14z = 15/14,(23) 219z = 219. (33) Tato soustava rovnic má trojúhelníkový tvar a její řešení určíme snadno takto (zpětný chod GEM): Z rovnice (33) po dělení číslem 219 dostáváme: z = 1. Dosazením do rovnice (23) vypočteme

34. y = 1/14(15 - 43) = -2 • a po dosazení do rovnice (13) vychází x = -2 + 5 = 3. • Výsledek: Daná soustava má v R3 právě jedno řešení [x; y; z] = [3; -2; 1]. • Zkouška (dosazením řešení do dané soustavy rovnic): L1 = 9 . 3 + 5(-2) - 2 . 1 = 27 - 10 - 2 = 15 = P1 L2 = 8 . 3 + 6(-2) + 3 . 1 = 24 - 12 + 3 = 15 = P2 L3 = 3 . 3 - 7(-2) + 4 . 1 = 9 + 14 + 4 = 27 = P3

35. Krátký testík na závěr • Uveďte kolik řešení mají následující soustavy rovnic. • 5x - 3y = 8 2x - 5y = 26 • 4x - 6y = 3 6x - 9y = 12 • x + 2y = 4 3x + 6y = 12 a)* b)* c)*

36. Děkuji za pozornost Toto jest konec