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第一单元 集合与常用逻辑用语

第一单元 集合与常用逻辑用语. 知识体系. 1. 集合是高考的必考内容 . 高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等，题型以选择题和填空题为主；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一体，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题 . 其中，集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起 .

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第一单元 集合与常用逻辑用语

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  1. 第一单元 集合与常用逻辑用语 知识体系

  2. 1.集合是高考的必考内容.高考对集合问题的考查一般有两种形式：一是考查集合的有关概念、集合之间的关系、集合的运算等，题型以选择题和填空题为主；二是考查考生对集合语言、集合思想的理解与运用，往往与其他知识融为一体，题型可以是选择题、填空题，也可以是解答题.其中，集合的特征性质描述和集合的运算是高考考查的重点，常常会与求函数的定义域和值域、解不等式、求范围等问题联系在一起. 2.常用逻辑用语主要包含三部分内容：命题以及命题的四种形式、充分必要条件、量词.本单元内容在高考试题中每年必考，主要体现在三个方面：一是充分必要条件的推理判断；二是命题的四种形式；三是全称量词与存在量词、全称命题与特称命题.对于充分必要条件的推理判断问题，一般是以其他的数学知识为载体，具有较强的综合性；对于全称命题与特称命题，一般是考查对两个量词的理解，考查两种命题的否定命题的写法，这是考查的热点.

  3. 通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势，尤其是新课改地区的高考试题的分析，复习时宜采用以下应试对策：通过对本单元近几年高考试题以及命题立意的发展变化趋势，尤其是新课改地区的高考试题的分析，复习时宜采用以下应试对策： 1. 在复习中首先要把握基础知识，深刻理解本单元的基本知识点，基本的数学思想方法，重点掌握集合的概念和运算,掌握充分条件、必要条件和充要条件的判断和应用. 2. 涉及本单元知识点的高考题既有基本的选择题和填空题，也有小型和大型的综合题，因此在复习中既要灵活掌握基本题型，又要对有一定难度的大型综合题进行有针对性的准备. 3. 重视数学思想方法的复习.本单元体现的主要有数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法，而且图示法、反证法等数学方法也得到了广泛应用.

  4. 第一节 集合 1. 集合的含义与表示 （1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系. （2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题. 2. 集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义.

  5. 3. 集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. (3)能使用Venn图表达集合的关系及运算. 1. 元素与集合 （1）集合中元素的三个特征: 确定性 、 互异性 、无序性. （2）集合中元素与集合的关系

  6. (3)常见集合的符号表示 (4)集合的表示法：列举法 、描述法 、Venn图法. 2. 集合间的基本关系表示

  7. 3.集合的基本算法

  8. 1. (教材改编题)用适当符号填空. 0 {0，1}；{a,b} {b,a};0 ; 答案： 2. （2009·福州市高中毕业班单科质量检查）集合A={x|x(x-1)＜0},B={y|y= ,x∈R}，则A∩B是（ ） A. (0,2) B. (1,2) C. (0,1) D. (-∞,0) 解析:由已知得A={x|0＜x＜1}，B={y|y＞0}.∴A∩B=(0,1) 答案：C 3. （2009·福州市高三第二次质检）设集合A={x|1≤x≤2},B={x|x≥a}.若AB,则a的范围是（ ） A. a＜1 B. a≤1 C. a＜2 D. a≤2

  9. 解析:集合A、B如图所示：，∵AB,∴a≤1. 答案：B 4. （2009·全国Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合 （A∩B）中的元素共有( ) A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解析: ∵U=A∪B={3,4,5,7,8,9}, 又∵A∩B={4,7,9},∴ (A∩B)={3,5,8}. 答案: A

  10. 5. 设全集U={1,3,5,7},集合M={1，|a-5|},MU, ={5,7},则a的值为（ ） A. 2或-8 B. -8或-2 C. -2或8 D. 2或8 解析: ∵ M={5,7},∴M={1,3},∴|a-5|=3,∴a=8或a=2. 答案: D 1. 集合中元素的三个基本性质的应用 (1)确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，也就是说，给定集合必须有明确的条件，依此条件，可以明确地判定某一对象是这个集合的元素或不是这个集合的元素，二者必居其一，不会模棱两可. 如：“较大的数”、“著名科学家”等均不能构成集合.

  11. （2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验.（2）互异性：即一个集合中的任何两个元素都应该是不相同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验. （3）无序性. 2. 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键 即文字语言、符号语言、图象语言的互化. 3. 利用集合间的关系建立不等式求参数范围时，要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用. 4. 进行集合的运算时，应把参与运算的集合化到最简形式，再进行运算，运算时要借助于Venn图、数轴或函数图象等工具. 5. 注意分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想在集合运算中的应用.

  12. 题型一 集合的基本概念 【例1】已知集合A={m,m+d,m+2d},B={m,mq,mq2},其中m≠0,且A=B,求q的值. 分析由A=B可知A,B两个集合中的元素相同，观察A,B两个集合中有一共同元素，则其他两个元素应对应相等，由于情况不确定，需要分类讨论. 解由A=B可知， 解（1）得q=1;解（2）得q=1,或 又因为当q=1时，m=mq=mq2,不满足集合中元素的互异性，应舍去，所以 学后反思本题考查集合元素的基本特征——确定性、互异性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少.

  13. 举一反三 1. 设A={-4,2a-1, },B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9}，求实数a的值. 解析: ∵A∩B={9},∴9∈A. (1)若2a-1=9,则a=5,此时A={-4,9,25},B={9,0,-4},A∩B={9,-4},与已知矛盾，舍去. （2）若a2=9,则a=±3.当a=3时，A={-4,5,9},B={-2,-2,9},B中有两个元素均为-2,与集合元素的互异性相矛盾，应舍去;当a=-3时，A={-4, -7,9},B={9,-8,4}，符合题意. 综上所述，a=-3.

  14. 题型二 集合之间的关系 【例2】设集合A ={x| +4x=0}，B ={x| +2(a+1)x+a2-1=0，a∈R}，若A∩B=B，求实数a的取值范围. 分析根据A、B间的关系，对B进行分类讨论，然后求解并验证. 解 先化简集合A={-4,0}. 由A∩B=B，则B A，可知集合B可为，或{0}，或{-4}，或{-4,0}. (1)若B=，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)＜0，解得a＜-1； (2)若0∈B，代入得a2-1=0 a=1或a=-1， 当a=1时，B=A，符合题意； 当a=-1时，B={0}A，也符合题意. (3)若-4∈B，代入得a2-8a+7=0 a=7或a=1， 当a=1时，已经讨论，符合题意； 当a=7时，B={-12，-4}，不符合题意. 综上可得，a=1或a≤-1.

  15. 学后反思解决集合间的关系问题，关键是将集合化简，特别是含有字母参数时，将字母依据问题的实际情况进行合理分类，分别进行求解，最后综合后得出答案.学后反思解决集合间的关系问题，关键是将集合化简，特别是含有字母参数时，将字母依据问题的实际情况进行合理分类，分别进行求解，最后综合后得出答案. 举一反三 2. 设集合A={x||x-a|≤2}，集合B={x||4x+1|≥9},且 求a的取值范围. 解析：A={x|a-2≤x≤a+2},B=x|x≥2或x≤ ∵ ,∴A∩B=A,如图所示. ∴a+2≤ 或a-2≥2,∴a≤ 或a≥4.

  16. 题型三 集合的运算 【例3】已知全集I=R,A={x|x2>4}, ,求(CRA)∩(CRB). 分析解决本题的关键： (1)集合B的化简； (2) (CRA)∩(CRB)=CR(A∪B)(等价转化). 解 A={x|x＞2或x＜-2}, ∴A∪B={x|x＜-2或x＞-1}. ∴ (CRA)∩(CRB)=CR(A∪B)={x|-2 ≤x ≤-1}

  17. 3. 设集合A={x||x-2|≤2,x∈R},B={y|y=-x2,-1≤x≤2},则CR(A∩B)等于( ) A. R B. {x|x∈R,x≠0} C. {0} D.  解析： 由已知，A=［0,4］,B=［-4,0］,∴A∩B={0}, ∴CR(A∩B)={x|x∈R,x≠0}. 答案：B 学后反思本题是集合的运算与解不等式的综合求解问题.解答这类问题时要注意弄清楚集合中的元素是什么，然后对集合进行化简，并注意将集合之间的关系转化为直接关系或等价关系进行求解，同时一定要善于运用数形结合的思想方法帮助分析和运算. 举一反三

  18. 题型四 利用Venn图解决集合问题 【例4】设全集U是实数集R,M={x| ＞4},N={x|1＜x＜3},则图中阴影部分所表示的集合是( ) A. {x|-2≤x＜1} B. {x|-2≤x≤2} C. {x|1＜x≤2} D. {x|x＜2} 分析 首先用集合符号表示出阴影部分，然后对相应集合化简. 解 依题意，该图形中阴影部分表示的集合应该是N∩( M) ,而M={x| ＞4}={x|x＞2或x＜-2},于是 M={x|-2≤x≤2},因此N∩( M)={x|1＜x≤2}. 学后反思 新课标特别指出“能使用Venn图表达集合的关系及运算”，将对Venn图的要求提高到一个更高的层次，因此我们必须注意Venn图在表达集合关系和运算中的重要作用.应结合交集、并集、补集等的定义进行理解.

  19. 举一反三 4. （2009·江西）已知全集U=A∪B中有m个元素，（ A)∪( B)中有n个元素.若A∩B非空，则A∩B的元素个数为( ) A. mn B. m+n C. n-m D. m-n 解析:如图，∵( A)∪( B)= (A∩B).而阴影部分就表示集合 (A∩B),∴阴影部分有n个元素， 而U=A∪B中有m个元素，∴A∩B中有m-n个元素. 答案: D

  20. 题型五 新型集合的概念与运算 【例5】(12分)对于集合M,N，定义M-N={x|x∈M且xN},MN=(M-N)∪(N-M),设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=- ,x∈R},求AB. 分析充分理解“M-N”与“MN”两种运算法则,然后把A,B两个集合化到最简，再代入进行计算. 解由y=x2-3x(x∈R), 即 得

  21. ∵y=-2x(x∈R),2x＞0,∴-2x＜0,∴y＜0, ∴B={y|y＜0},………………………..6′ 学后反思新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题.在给出新的运算法则的前提下，充分利用已知求解是关键.集合命题中与运算法则相关的问题，是对映射构建下的集合与集合、元素与元素之间的运算相关性及封闭性的研究.

  22. 举一反三 5. （2008·江西）定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1，2}，B={0，2}，则集合AB的所有元素之和为( ) A. 0 B. 2 C. 3 D. 6 解析:依题意，A*B={0,2,4},∴它的所有元素之和为6. 答案: D

  23. 【例】已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求实数m的取值范围.【例】已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,求实数m的取值范围. 错解由x2-3x-10≤0得-2≤x≤5. 欲使B A,只需 ,解得-3≤m≤3. ∴m的取值范围是-3≤m≤3. 错解分析因为A∪B=A,即BA,又A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5},考虑到“空集是任何集合的子集”这一性质，因此需对B= 与B≠两种情况分别讨论，进而确定m的取值范围.

  24. 正解∵A∪B=A,∴B A. 又∵A={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, (1)若B=，则m+1＞2m-1,即m＜2,此时，总有A∪B=A,故m＜2. (2)若B≠，则m+1≤2m-1,即m≥2,由B A得 ,解得-3≤m≤3,∴2≤m≤3. 综合(1)、(2)可知,m的取值范围是（-∞,3］.

  25. 1. （2009·福建）已知全集U=R，集合A={x| -2x＞0}，则 A等于（ ） A. {x|0≤x≤2} B. {x|0＜x＜2} C. {x|x＜0或x＞2} D. {x|x≤0或x≥2} 解析： 计算可得A={x|x＜0或x＞2}，∴CuA={x|0≤x≤2}. 答案：A 2. （2009·泉州市一级达标中学高三期末联考）已知a∈R，设集合A={x||x-1|≤2a- -2}，则A的子集个数共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个

  26. 解析：设u=-+2a-2,Δ=4-8=-4＜0，∴u＜0,a∈R，∴A={x||x-1|＜0}，∴A=.其子集只有.解析：设u=-+2a-2,Δ=4-8=-4＜0，∴u＜0,a∈R，∴A={x||x-1|＜0}，∴A=.其子集只有. 答案：B 3. (2009·广东)已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的韦恩（Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多 解析: M={x|-1≤x≤3}，集合N是正奇数集，M∩N={1,3}. 答案: B 4. 已知集合A={x|y= },B={y|y= ,x＞0},R是实数集，则( B)∩A=（） A. ［0,1］ B. ［0,1) C. (-∞,0］ D. 以上都不对

  27. 解析:集合A={x|y= }表示的是函数的定义域，可得A=［0,2］; 而集合B={y|y= ,x＞0}表示的是函数的值域，显然函数y= ,x＞0的值域为（1,+∞）,所以( B)∩A=(-∞,1］∩［0,2］=［0,1］. 答案: A 5. 集合P={(x,y)|y=k,x∈R},Q={(x,y)|y= +1,x∈R,a＞0且a≠1},已知P∩Q=，那么实数k的取值范围是（） A. (-∞,1) B. (-∞,1］ C. (1,+∞) D. (-∞,+∞) 解析: P,Q两个集合都表示点集，画出函数y=k与y= +1的图象，由P∩Q=知，两函数图象无交点，观察图象可得k≤1. 答案: B

  28. 6. 设A,B为两个非空集合，定义:A+B={a+b|a∈A,b∈B}，若A={0,2,5},B={1,2,6},则A+B的子集的个数是（ ） A. B. C. D. 解析:由题意A+B={1,2,3,4,6,7,8,11},有8个元素,故A+B的子集的个数是 . 答案: B 7. 已知M={x|x= +2a+4,a∈R},N={y|y= -4b+7,b∈R},则M,N之间的关系为 . 解析: ∵ +2a+4=(a+1)2+3≥3,∴M={x|x≥3}. 又∵ -4b+7=(b-2)2+3≥3,∴N={y|y≥3}. ∴M=N. 答案: M=N

  29. 8. 已知A={x| -2x-3＜0},B={x||x|＜a},若BA,则实数a的取值范围是 . 解析: ∵B,∴B为非空集合，即a＞0,由 -2x-3＜0得-1＜x＜3,∴A=(-1,3). 由|x|＜a得-a＜x＜a.∴B=(-a,a). ∵BA,∴ -a≥-1, a≤3, 即a≤1. 故综上得-1<a≤1. 答案: (0,1] 9. 满足条件{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是 . 解析: A有可能为{5},{1,5},{3,5},{1,3,5}. 答案: 4

  30. 10. (2010·济宁模拟)设全集U={(x,y)|x,y∈R}，集合M={(x,y) },N={(x,y)|y≠x-4}，那么( M)∩( N)= . 解析: M：y=x-4(x≠2),M代表直线y=x-4，但是去掉点（2，-2）， M代表直线y=x-4外，但是包含点（2，-2）；N代表直线y=x-4外， N代表直线y=x-4，故( M)∩( N)={(2,-2)}. 答案: {(2,-2)} 11. 已知函数f(x)= 的定义域为集合A，函数g(x)=lg(- +2x+m)的定义域为集合B.求当m=3时，求A∩( B). 解析：A={x|-1＜x≤5}. 当m=3时，B={x|-1＜x＜3}, 则 B={x|x≤-1或x≥3}, 故A∩( B)={x|3≤x≤5}.

  31. 12. （2010·广东联考）设集合A={x|x2＜4},. (1)求集合A∩B; (2)若不等式2x2+ax+b＜0的解集是B，求a、b的值. 解析: A={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}, (1)A∩B={x|-2＜x＜1}. (2)∵2x2+ax+b＜0的解集为B={x|-3＜x＜1}, ∴-3和1为方程2x2+ax+b=0的两根， ∴

  32. 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 1. 理解命题的概念. 2. 了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系. 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

  33. 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q,则p 否命题 若 p，则 q 逆否命题 若 q，则 p 1. 命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.命题有 真命题 与 之分. 假命题 （1）四种命题

  34. (2)四种命题之间的关系

  35. 3. 充分条件与必要条件 （1）定义：对命题“若p,则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件; q是p的必要条件; 当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件;两种命题均为真时，称p是q的充要条件. （2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论; 其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件. 1. (教材改编题）下列说法： ①2x+5>0；② ＜0；③如果x＞2，那么x就是有理数；④如果x≠0，那么 就有意义. 一定是命题的说法是( ) A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 解析: ②③④满足命题定义，只有①不能判断真假. 答案: C

  36. 2. (教材改编题）给出如下的命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；② =1；③如果x+y是整数，那么x,y都是整数；④ <3或 >3.其中真命题的个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解析:正确的只有④. 答案: C 3. (2010·广东汕头）与命题“若a∈M,则bM”等价的命题是( ) A. 若aM，则bM B. 若bM,则a∈M C. 若aM,则b∈M D. 若b∈M,则aM

  37. 解析:原命题与其逆否命题是等价的. 答案: D 4. (2009·浙江)已知a,b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析: a>0,b>0时显然有a+b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a+b>0且ab>0，则a,b同号且同为正，即a>0,b>0,必要性成立. 答案: C

  38. 5. 下列各种说法中，p是q的充要条件的是( ) （1）p:m＜-2或m＞6；q:y= +mx+m+3有两个不同的零点； （2）p: =1;q:y=f(x)是偶函数； （3）p:cos α=cos β;q:tan α=tan β ； （4）p:A∩B=A;q: A. (1)(2) B. (2)(3) C. (3)(4) D. (1)(4) 解析:（2）中由 =1可得f(-x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）中cos α=cos β是tan α=tan β的既不充分也不必要条件. 答案: D

  39. 1. 在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题被定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”. 2. 四种命题真假关系 原命题与它的逆否命题同真同假；原命题的逆命题与否命题互为逆否命题，同真同假.当一个命题不能直接判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假而得到原命题的真假. 3. 判断命题的充要关系有三种方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法：即利用AB与 B A;BA与 A B;A B与 BA的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.

  40. 4. 以下四种说法所表达的意义相同 (1)命题“若p则q”为真; (2)pq; (3)p是q的充分条件; (4)q是p的必要条件.

  41. 题型一 四种命题的关系及命题真假的判定 【例1】以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)内接于圆的四边形的对角互补； (2)已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d. 分析 首先应当把原命题改写成“若p，则q”形式，再设法构造其余的三种 形式命题. 解(1)原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”； 逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”； 否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”； 逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”. 四种命题都正确.

  42. 对(2)原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论.显然原命题是正确的.对(2)原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c＝b＋d”是结论.显然原命题是正确的. 逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”.此命题不正确，如a+c=b+d=2,可有a=c=1,b=0.8,d=1.2,则a≠b,c≠d. 否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”，只需要至少有一个不等即可)；此命题不正确，a=1,c=1,b=1.5,d=0.5,a≠b或c≠d,但a+c=b+d. 逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”. 逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d,则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立”,由原命题为真得此命题显然正确. 学后反思 要注意对大前提的处理以及等价命题之间的真假关系. 试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假.

  43. 举一反三 1. 写出命题“等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式”的逆命题、否命题、逆否命题. 解析： 方法一：选取“两边乘同一个数”为前提 原命题：若一个式子为等式，两边也乘以同一个数，所得的结果仍是等式； 逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式； 否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式； 逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式. 方法二：选取“一个式子为等式”为前提 原命题：一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式； 逆命题：一个等式,若两边分别乘以一个数， 所得结果仍为等式，则两边乘的是同一个数； 否命题：一个等式,若两边乘以不同的数，则所得结果不是等式； 逆否命题：一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果不是等式，则两边乘的不是同一个数.

  44. 题型二 两个命题之间充要条件的判定 【例2】用“充分条件、必要条件、充要条件”填空: (1)“a+b<0且ab>0”是“a<0且b<0”的 ; (2)“x>1”是“<1”的 ; (3)“(x-4)(x+1)≥0”是“≥0”的 ; (4)“x=2”是“-7x+10=0”的 . 分析 先把条件或结论化简，若条件能推出结论，则条件是结论的充分条件;反之，条件是结论的必要条件. 解 （1）充要条件(2)充分条件(3)必要条件(4)充分条件 学后反思 判断充分、必要条件时,多与数学上其他知识内容相联系，要考查到其他内容掌握的程 .

  45. 举一反三 2. （2009·四川）已知a,b,c,d为实数，且c>d.则“a>b”是“a-c>b-d”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析:由a-c>b-d,c>d两个同向不等式相加得a>b,但c>d,a>ba-c>b-d.例如a=2,b=1,c=-1,d=-3时，a-c<b-d. 答案: B

  46. 分析 画出关系图，观察求解. 解s是q的充要条件 ； r是q的充要条件 ; p是q的必要条件 . 题型三 三个或三个以上命题之间充要条件的判定 【例3】已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p分别是q的什么条件？ 学后反思 图可以画得随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系,利用它们的传递性和对称性判断.

  47. 解析： 画出关系图,由图可知，C是A的充分不必要条件. 举一反三 3. 设A、B、C三个命题，若A是B的充要条件，C是B的充分不必要条件，则C是A的 条件. 答案：充分不必要

  48. 分析 可以有两个思路: (1)先求出 ，然后依据 ， 求的m的取值范围 （2）若原命题为“”，其逆命题是“若p,则q”.由于他们是等价的，可将是的必要不充分等价转化为求p是q的充分不不要条件来求解。 解“ 必要不充分条件”的等价命题是： p是q的充分不必要条件. 3′ 设p:A={x|-2≤x≤10}，q:B={x|1-m≤x≤1+m,m＞0}. 6′ ∵p是q的充分不必要的条件，∴A B. 10′ ∴ ∴ 12‘ 题型四 利用充分、必要条件求实数的范围 【例4】(12分)已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m＞0)，若 的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 学后反思 本题采用了等价转化的方法将原命题的条件转化为等价命题的形式，然后从集合的角度去解决此类问题，既简便又快捷.

  49. 举一反三 4. 本例把“ 的必要而不充分条件”改为“ 的充分而不必要条件”，求实数m的取值范围. 解析: ∵“的充分而不必要条件”的等价命题是：q是p的充分而不必要条件,∴BA. ∴ m>0, 1-m≥-2,（等号不同时成立） 1+m≤10, 解得0<m≤3.

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