Cross-Efficiency- ja Superefficiency - menetelmät

1. Cross-Efficiency- ja Superefficiency -menetelmät Mat-2.4142 Optimointiopin seminaariKevät 2013Esitelmä #7Juho Andelmin 06.02.2013 Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

2. Taustaa • DEA: Vertaillaan eri DMU tehokkuuksia • Saadaan eroteltua tehokkaat tehottomista, simppeliä teoriassa, käytännössä kuitenkin: • Tehokkuudet suhteellisia (Todellinen PPS1 tuntematon) • Mahdollisuus saavuttaa 100% tehokkuus kyseenalaisesti • DMU:n koko (varsinkin pienin ja suurin etulyöntiasemassa) • DMU paras yhdessä asiassa, huono muissa; silti 100% tehokas • ”Paras moottori -harmi ettei autossa ole renkaita” • Tavallisesti useita tehokkaita yksiköitä, mikä paras? • Miten vertailla tehokasta tehokkaaseen? • Onko tehokas DMU aina parempi kuin ei-tehokas? 1) PPS = Tuotantomahdollisuusjoukko (Production Possibility Set)

3. Esitelmän rakenne • Superefficiency –menetelmä • Pohjana BCC-malli • Pystytään vertailemaan tehokkaita yksiköitä keskenään • Ei tosin tuota lisäinformaatiota tehottomien ja tehokkaiden yksiköiden välille • Cross-Efficiency –menetelmä • Yksiköt vaikuttavat toistensa tehokkuuksiin ja samalla maksimoivat omaa tehokkuuttaan • Jokainen yksikkö arvioidaan toisten yksiköiden painoilla • Aggressiivinen DMU: pyrkii minimoimaan muiden tehokkuudet • Suopea DMU: pyrkii maksimoimaan muiden tehokkuudet

4. Esitelmän rakenne • Cross-Efficiency –menetelmä: 2 sovellusta • Vertaillaan 20 englantilaisen yliopiston kirjanpito-osastojen tehokkuuksia • Palkka- ja toimintakustannukset panoksina; eri vaiheessa olevien opiskelijoiden määrä, tuotot ja julkaisut tuotoksina • Tutkitaan löytyykö 100% tehokkaiden yksiköiden joukosta ”kyseenalaisesti” tehokkuuden saavuttaneita yksilöitä • Vertaillaan 27 robotin tehokkuuksia (teknologian valinta) • Panoksina hinta ja toistettavuus; tuotoksina nopeus ja kuormitus • Vertaillaan teknisiä tehokkuuksia ja ristitehokkuuksia • Lopuksi vielä kotitehtävä

5. Superefficiency -menetelmä

6. Superefficiency –menetelmä:Menetelmän idea • Laajennetaan BCC –mallia siten, että pystytään vertailemaan tehokkaita yksiköitä keskenään • Kuvan mallissa on 2 panosta ja 1 tuotos • Perinteinen BCC-malli:B, C ja D BCC-tehokkaita • (A tehoton slackin takia) • Mitä jos DMUC arvioidaanpoistamalla sen vaikutustuotantomahdollisuus-joukkoon BCC-mallissa? Tuotantomahdollisuusjoukko Panos 2 Panos 1

7. Superefficiency –menetelmä:Esimerkki • C:n tehokkuus voidaan laskea ilman sen vaikutusta tuotanto- mahdollisuusjoukkoon mallilla: • Sama kuin BCC, paitsisummissa s.e Tuotantomahdollisuusjoukko Panos 2 (P2DLPC) Panos 1

8. Superefficiency –menetelmä:Esimerkki • DMU C:stä tulee supertehokas; sen tehokkuusluku kasvaa yli yhden • Saadaan laskettua graafisesti suhteesta • Tulkinta: C voi nostaapanoksiaan 1.33-kertai-sesti ja pysyä tehokkaana • Jos panokset nousevat tämän yli, dominoivat Bja D DMUC:tä Tuotantomahdollisuusjoukko Panos 2 Panos 1

9. Superefficiency –menetelmä:Esimerkki • Lasketaan vielä DMUB:n supertehokkuus; saadaan • B voi siis kasvattaa panoksiaan 1.235x ja pysyä tehokkaana • A on nyt osa tehokasta rintamaa, mutta olimyös BCC-mallissa • Yleisesti tehottoman DMUtehokkuus pysyy samana;miten joukko muuttuu DMUE:lle? Tuotantomahdollisuusjoukko Panos 2 Panos 1

10. Superefficiency –menetelmä:Yhteenveto • Voidaan vertailla tehokkaita yksiköitä toisiinsa; tehokkuusluvut ei rajoitettu arvoon 1 kuten BCC mallissa • Ei tuo lisäarvoa tehottoman ja tehokkaan yksikön vertailuun • Ei tunnista suoraan ”kyseenalaisia” yksiköitä; voidaan tosin asettaa rajoitteita DMU:iden painoille(AR1 ja CR2 menetelmät) • Suhteellisen yksinkertainen laajennusjoka tuo hieman lisäarvoa tehokkuus- vertailuun • Ei yhtä ”hyvä” kuin seuraavaksi käsiteltävä Cross-efficiency –metodi(Esittäjän oma mielipide) DMUE:n tehokkuus ei muutu (vertaa BCC) 1) AR = Assurance Region 2) CR = Cone Ratio

11. Cross-efficiency -menetelmä

12. Cross-efficiency –menetelmä:Menetelmän idea • Päätöksentekoyksiköt voivat vaikuttaa toistensa tehokkuuteen kokonaisvaltaisemmin kuin perinteisissä DEA malleissa • Jokaisen DMU:npainoja käytetään muiden DMU:iden arvioinnissa; tulokset kootaan ristitehokkuusmatriisiin • Esimerkki: 4 DMU:ta; ristitehokkuus on DMU :n tehokkuus arvioituna DMU :n painoilla • on DMU :n tehok-kuus arvioituna omilla painoillaan • Vastaa teknistä tehokkuuttaeli

13. Cross-efficiency –menetelmä:Tehokkuus- ja vaikutusluvut • Tehokkuusluvut mittaavat DMU :n ristitehokkuuksien keskiarvoa (ilman :n omaa vaikutusta ) • Sopivat hyvin keskinäisten tehokkuuksien vertailemiseen • Käytetään lukuja yksiköiden tehokkuuden mittarina • Vaikutusluvut mittaavat DMU :n painoilla laskettujen yksiköiden tehokkuuksien keskiarvoa (ilman vaikutusta)

14. Cross-efficiency –menetelmä:Tehottomuusluvut • Ristitehokkuuksia vertailemalla voidaan myös selvittää ”kyseenalaisesti” tehokkaat DMU:t • Vertaa DMU :n tehokkuutta ja tehokkuuslukua • Määritellään tehottomuusluvut • Kyseenalaisesti tehokkaat DMU:t tunnistetaan suurista:n arvoista • Näillä suurin ero oman tehokkuuden ja tehokkuusluvun välillä • Esim. 100% tehokkuus yhdellä hyvällä panoksella johtaa muiden painoilla huonoon arvoon ja suureen arvoon

15. Cross-efficiency –menetelmä:Ristitehokkuuksien laskeminen • Oletetaan aluksi, että DMU :n painot ovat • panoksille • tuotoksille • DMU :n ristitehokkuus DMU k:n painoillasaadaan laskettua suoraan sijoittamalla • on DMU :n risti-tehokkuus omilla optimi-painoillaan • Vastaa DMU :n teknistätehokkuutta eli (LPk) s.e 1) Ristitehokkuudet voidaan formuloida myös esim. BCC-mallille vastaavalla tavalla

16. Cross-efficiency –menetelmä:Optimipainojen valinta, 3 lähtökohtaa • Edellä DMU:iden optimipainot laskettiin CCR –mallista (LPk) • Painot eivät kuitenkaan ole yksikäsitteisiä • Eri painot voivat antaa saman tehokkuuden • Ovatko tulokset luotettavia? Mitä voidaan tehdä? • Jätetään painot satunnaisiksi (usein huono idea) • Aggressiivinen formulaatio: jokainen DMU maksimoi tehokkuutensa sellaisilla painoilla, jotka minimoivat muiden ristitehokkuudet (eli painojen vaikutukset muiden tehokkuuksiin) • Suopea formulaatio: Jokainen DMU maksimoi tehokkuutensa painoilla, jotka maksimoivat muiden ristitehokkuudet • Lisäksi voidaan asettaa rajoja painoille esim. CR1 tai AR2 menetelmillä (LPk) s.e 1) AR = Assurance Region 2) CR = Cone Ratio

17. Cross-efficiency –menetelmä: Aggressiivinen/suopea formulaatio • Määritellään tavoite, jolla päästään aggressiiviseen/suopeaanformulaatioon(molemmilla sama tavoite, erona min/max) • Oletetaan aggressiivinen lähtökohta; tavoite DMU :lle tällöin: • Laske LPk:n avulla painot ja jotka 1) maksimoivat yksikön teknisen tehokkuuden ja 2) minimoivat muiden ristitehokkuuksien keskiarvon, eli vaikutusluvun arvon: (LPk) s.e optimi LPk:lle s.e

18. Cross-efficiency –menetelmä: Aggressiivinen/suopea formulaatio • Aggressiivinen/suopea formulaatio voidaan laskea eri keinoilla;lisätietoa lähteessä (Doyle ym., 1994) • Lähteen mukaan ei saada suoraan LP-tehtävää; esitetään tässä LP-approksimaatio formulaatio 3 (LP3k) kyseisestä lähteestä • LP3k optimiratkaisu maksimoi DMU :n tehokkuuden minimoiden samalla vaikutusluvun estimaattia (kts. Doyle ym., 1994) (LP3k) sk s.e sk sksk

19. Cross-efficiency –menetelmä: Yhteenveto • Laajentaa perinteistä tehokkuuskäsitettä säilyttäen mallienalkuperäiset ominaisuudet • Sallii tehokkaiden yksiköiden vertailemisen; tuo lisäarvoa tehottomien ja tehokkaiden yksiköiden vertailuun • Välttää perinteisten DEA-mallien ongelmia esim. tunnistamalla ”kyseenalaisesti” tehokkaat yksiköt • Paras DMU on myös muiden arvioimana paras; vertaa esimerkiksi ”arvokkain pelaaja” –palkinto

20. Cross-efficiency –menetelmän sovellus: Yliopiston kirjanpito-osastot

21. Yliopistojen kirjanpito-osastot:Oletukset • Vertaillaan 20 kirjanpito-osaston tehokkuuksia • 2 panosta: henkilökunnan palkat jamuut kustannukset • 4 tuotosta: opiskelijoiden määrä, tutkimustuotot ja julkaisujen määrä • tekniset tehokkuudet • tehokkuusluvut • tehottomuusluvut (skaalattu x10)

22. Yliopistojen kirjanpito-osastot:Tulosten tulkinta • DMU 3 on selvästi kyseenalainen: ja suurin arvo • Samoin 13 on tehokas, mutta sillä on suhteellisen pieni ja suuri • Tehottomat 14, 5 (ja 8?) selvästiparempia kuin tehokkaat 3ja 13 • Parhaat yksiköt silti tehokkaita;15, 12, 9 ja 19, jotka saavuttavat myös pienimmät tehottomuusluvun arvot • Yleisesti myös tehoton yksikkö voi saavuttaa parhaan tehokkuusluvunja olla paras vaihtoehto

23. Yliopistojen kirjanpito-osastot:Referenssijoukot ristitehokkuuksille • DMU:t voidaan lajitella ryhmiin sen mukaan kuinka samanlaisianiiden painovektorit ovat • Lasketaan painovektoriparienkorrelaatiokertoimet ja suoritetaanjako niiden perusteella • Lähteessä (Doyle ym., 1994) on käytetty klusterianalyysiä ja saatuseuraavanlainen ryhmittely:

24. Yliopistojen kirjanpito-osastot:Referenssijoukot ristitehokkuuksille

25. Yliopistojen kirjanpito-osastot:Referenssijoukot ja malliyksikköjoukot • Valitaan jokaisen ryhmän paras DMU kertoimien perusteella jamuodostetaan näistä ”malliyksiköt” (referenssijoukon vastike) • Ryhmien parhaat: 1, 9, 14,19 ja 15 • Lajitellaan DMU:t näiden mukaan;viereisten ryhmien parhaat otetaanmukaan ”malliyksikköjoukkoihin” • Vertaillaan jokaisen DMU:n malli-yksikköjoukkoa vastaaviin CCR-mallin referenssijoukkoihin:

26. Yliopistojen kirjanpito-osastot:Referenssijoukot ja malliyksikköjoukot • Kyseenalaisesti tehokkaat DMU:t3 ja 13 eivät tulleet valituiksi malli-yksikköjoukkoon • Toisaalta tehokkaat DMU:t 12 ja 18eivät tulleet valituiksi huolimatta hyvistä tehokkuusluvun arvoista ja pienistä tehottomuusluvuista • DMU 14 ylsi malliyksiköksi, vaikkasen tehokkuus on < 1 • Malliyksikköjoukko antaa paremmanvertailun DMU:lle kuin perinteinen referenssijoukko; mallijoukon DMU:tpainottavat samoja panos/tuotoksia,ref.joukko taas saattaa erota paljon

27. Cross-efficiency –menetelmän sovellus: Robottien tehokkuusvertailu

28. Robottien tehokkuusvertailu:Oletukset • 27 robottia, panoksina hinta ja toistettavuus (repeatibility);tuotoksina kuormitettavuus ja nopeus • Halutaan parantaa aikaisempaa menetelmää, missä käytettiin 1. vaiheessa DEA-analyysiä, löydettiin robotit joilla tehokkuus 1 ja jatkettiin tästä MADM1-mallilla • Parannusmotiivina teknisen tehokkuusluvun rajoitteet: ”kyseenalaiset” yksiköt; tehokkaiden yksiköiden vertailun puute; teknisesti tehottomien yksiköiden karsinta 1. vaiheessa (voivat olla parempia kuin 100% tehokkaat) • Cross-efficiency menetelmän käyttö mahdollistaa nämä parannukset, lisätietoa lähteessä (Baker ym., 1997) 1) Multi-AttributeDecisionMakingModel

29. Robottien tehokkuusvertailu:Tehokkuudet, panokset ja tuotokset • Tehokkuudet, panokset ja tuotokset: = tehokkuus, x1 = hinta,x2 = toistettavuus, y1 = kuormitettavuus ja y2 = nopeus

30. Robottien tehokkuusvertailu:Tehokkuuksien vertailu • Taulukosta nähdään, että robotit 1, 4, 7, 10, 13, 14, 19, 20 ja 27 ovat teknisesti tehokkaita. Seuraavassa taulukossa on esitetty tekniset tehokkuudet , tehokkuusluvut (aggressiivinen formulointi) sekä tehottomuusluvut (x100) • Roboteilla 4, 20, 1 ja 27 on te-hokkuudesta huolimatta isot arvot, joten alkuperäisen mallin 2. vaiheen vertailuun onvalittu turhia yksiköitä

31. Robottien tehokkuusvertailu:Tehokkuuksien tulkinta • Tutkimalla panoksia/tuotoksia huomataan: robotilla 4 erinomainen toistettavuus, muut panokset/tuotokset huonoja  tämä selittää tehokkuusluvun 1 ja korkean arvon. • Samoin robotti 20 on erittäin halpa, muut panos/tuotoksethuonot  = 1 ja korkea • Katsotaan vielä robottia 27: poikkeuksellisen hyvä kuor-mitettavuus, muut huonoja kyseenalainen tehokkuus • Nähdään myös, että esim. tehoton robotti 8 on parempi,kuin 4 tehokasta robottia

32. Robottien tehokkuusvertailu:Yhteenveto • Alkuperäisessä mallissa valittiin 1. vaiheessa robotit, jotka saavuttivat 100% teknisen tehokkuuden • Käyttämällä Cross-Efficiency –menetelmää saimme selville, että usean robotin tehokkuusluku oli kyseenalainen ja panoksia/tuotoksia tutkimalla nähtiin poikkeamia • Todettiin myös, että jotkin teknisesti tehottomista roboteista oli tehokkaampia kuin osa tehokkaista roboteista • Vertailuja voitaisiin vielä parantaa vertailemalla pareittain painojen korrelaatiokertoimia, ryhmittelemällä yksiköt, etsimällä malliyksiköt ja muodostamalla malliyksikköjoukot kuten Yliopistojen kirjanpito-osastojen vertailussa

33. Kotitehtävä • Taulukossa 1 on annettu 10 eri robotin tekniset tehokkuudet ja tehokkuusluvut . Tehtävänäsi on neuvoa robotin ostajaa päätöksenteossa. • Mitä robottia suosittelisit taulukon tietojen perusteella? Perustele vastauksesi (Vinkki: käytä apuna tehottomuuslukuja) • Ratkaise taulukon 2 datasta(2 panosta, 1 tuotos) • BCC-tehokkaat pisteet • Vertaile BCC-tehokkaiden pisteiden paremmuuttalaskemalla niiden supertehokkuudet • Miten tulkitset supertehokkaiden pisteiden painot? Taulukko 1 Taulukko 2

34. Lähteet • Doyle, J., Green, R., 1994. Efficiency and Cross-efficiency in DEA: Derivations, Meanings and Uses, Journal of the Operational Research Society 45/5, s. 567-578. • Andersen, P., Petersen, N.C., 1993. A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis, Management Science 39/10, s. 1261-1264. • Baker, R.C., Talluri, S., 1997. A closer look at the use of data envelopment analysis for technology selection, Computers & industrial engineering 32/1, s. 101-108.