第 4 章 关系

1. 第4章 关系

2. 4.1 序偶与笛卡尔积 4.2 关系及其表示 4.3 复合关系及逆关系 4.4 关系的性质 4.5 关系的闭包 4.6 等价关系和等价类 4.7 相容关系 4.8 偏序关系

3. 4.1 序偶与笛卡尔积 4.1.1 序偶及有序n元组 4.1.2 笛卡尔积

4. 4.1.1序偶及有序n元组 定义4.1 由两个元素x和y按一定的次序排列组成的有序序列称为序偶或有序对，记作<x，y>。 注： (1)当x≠y时，<x，y>≠<y，x>； (2)<x，y>＝<u，v>当且仅当x＝u∧y＝v； (3)序偶<x，y>与集合{x，y}不同。 定义4.2 n个元素x1、x2、…、xn按一定的次序排列组成的有序序列称为有序n元组，记作<x1，x2，…，xn>。 例如，表示时间的年月日组成一个三元组。

5. 4.1.2 笛卡尔积 定义4.3 设A和B为集合，称集合{<a，b>|a∈A∧b∈B}为A和B的笛卡尔积，记作A×B。当A＝B时，记为A2。 约定 若A＝或B＝，则A×B＝。 例如，若A＝{a,b}，B＝{1,2,3}，则： A×B＝ B×A＝ A2＝ B2＝ {<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3>} {<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>,<3,a>,<3,b>} {<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>} {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>}

6. 定义4.4 n个集合A1、A2、…、An的笛卡尔积可表示为A1×A2×…×An＝{<a1，a2，…，an>|a1∈A1∧a2∈A2∧…∧an∈An}。 一般用An表示 定理4.1 若A和B为有限集，则|A×B|＝|A|·|B|。 证明 设A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bm}，则A×B＝{<a1，b1>，<a1，b2>，…，<a1，bm>，<a2，b1>，<a2，b2>，…，<a2，bm>，…，<an，b1>，<an，b2>，…，<an，bm>}，所以|A×B|＝n×m＝|A|×|B|。

7. 定理4.2 设A、B和C为任意3个集合，则： (1)A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)。 (2)A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)。 (3)(A∪B)×C＝(A×C)∪(B×C)。 (4)(A∩B)×C＝(A×C)∩(B×C)。 证明 (1)因为<x，y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈(B∪C) x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) (<x，y>∈A×B)∨(<x，y>∈A×C) <x，y>∈(A×B)∪(A×C) 所以A×(B∪C)＝(A×B)∪(A×C)。

8. 定理4.3 若C≠，则 ABA×CB×CC×AC×B。 <x，y>∈A×Cx∈A∧y∈C 若y∈C，假定AB，则 证明 所以A×CB×C。 x∈B∧y∈C<x，y>∈B×C， 反之，若C≠，A×CB×C，取y∈C，则 x∈Ax∈A∧y∈C<x，y>∈A×C <x，y>∈B×Cx∈B∧y∈Cx∈B 所以AB。 同理可证ABC×AC×B。

9. 定理4.4 若A、B、C和D为4个非空集合，则A×BC×DAC且BD。 证明 若A×BC×D，则x∈A∧y∈B<x，y>∈A×B 所以AC且BD。 <x，y>∈C×Dx∈C∧y∈D， 反之，若AC且BD，则<x，y>∈A×Bx∈A∧y∈B x∈C∧y∈D<x，y>∈C×D 所以A×BC×D。 定理4.4中非空是必须的，否则定理不一定成立。例如，当A＝B＝时，或A≠且B≠时，结论为真。但当A和B之一为时结论不成立。如A＝C＝D＝，B＝{1}时结论不成立。

10. 例1 证明A×(B－C)＝(A×B)－(A×C)。 证明 因为<x，y>∈A×(B－C)x∈A∧y∈(B－C) x∈A∧(y∈B∧yC) (x∈A∧y∈B)∧(x∈A∧yC) (<x，y>∈A×B)∧(<x，y>A×C) <x，y>∈(A×B)－(A×C) 所以A×(B－C)＝(A×B)－(A×C)。

11. 例2 说明下列等式是否成立？ (1)(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)。 (2)(A∪B)×(C∪D)＝(A×C)∪(B×D)。 (3)(A－B)×(C－D)＝(A×C)－(B×D)。 证明 (1)式成立。 因为<x，y>∈(A∩B)×(C∩D) x∈(A∩B)∧y∈(C∩D) x∈A∧x∈B∧y∈C∧y∈D (x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D) <x，y>∈A×C∧<x，y>∈B×D <x，y>∈(A×C)∩(B×D)

12. 所以(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)。 (2)式不成立。 例如，令A＝D＝，B＝C＝{1}，则 (A∪B)×(C∪D)＝{1}×{1}＝{<1，1>} 而(A×C)∪(B×D)＝。 (3)式不成立。 例如，令B＝，C＝D＝A＝{1}，则 (A－B)×(C－D)＝{1}×＝， 而(A×C)－(B×D)＝{<1，1>}－＝{<1，1>}。

13. 4.2 关系及其表示 4.2.1 关系 4.2.2 关系矩阵与关系图

14. 4.2.1关系 定义4.5 任一序偶的集合确定了一个二元关系R，R中的任一序偶<a，b>可记作<a，b>∈R或aRb。不在R中的任一序偶<a，b>可记作<a，b>R或a b。若aRb，我们说a和b具有关系R。 定义4.6 令R为二元关系，DR＝{x|y(xRy)}和RR＝{y|x(xRy)}分别称为R的定义域(或前域)和值域。关系R的域记为FR＝DR∪RR。

15. 例如，设H＝{<1，2>，<1，4>，<2，4>，<3，4>}是一个二元关系，则例如，设H＝{<1，2>，<1，4>，<2，4>，<3，4>}是一个二元关系，则 DH＝{1，2，3}，RH＝{2，4}，FR＝{1，2，3，4}。 定义4.7 A×B的任意子集R称为A到B的二元关系。特别当A＝B时，称R为A上的二元关系。其中称为空关系，A×B称为全关系。 在计算机领域中，关系的概念也是到处存在的。如数据结构中的线性关系和非线性关系，数据库中的表关系等。

16. 例如，若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{a，b，c}，则R＝{<1，a>，<1，b>，<2，b>，<3，a>}是A到B的关系，S＝{<a，2>，<c，4>，<c，5>}是B到A的关系。例如，若A＝{1，2，3，4，5}，B＝{a，b，c}，则R＝{<1，a>，<1，b>，<2，b>，<3，a>}是A到B的关系，S＝{<a，2>，<c，4>，<c，5>}是B到A的关系。 定义4.8 若IA是A上的二元关系，且满足IA＝{<x，x>|x∈A}，则称IA为A上的恒等关系。 定理4.5 若R和S是集合A到B的两个二元关系，则： (1)DR∪S＝DR∪DS

17. (2)DR∩SDR∩DS (3)DR－DSDR－S (4)RR∪S＝RR∪RS (5)RR∩SRR∩RS (6)RR－RSRR－S 证明 ( 1) 因为x∈DR∪Sy(x(R∪S)y) y(xRy∨xSy)y(xRy)∨y(xSy) x∈DR∨x∈DSx∈(DR∪DS) 所以DR∪S＝DR∪DS。

18. (6)因为y∈(RR－RS)y∈RR∧yRS x(xRy)∧(x(xSy))x(xRy)∧x(xSy) aRy∧(aSy)x(xRy∧(xSy)) x(x(R－S)y)y∈RR－S 所以RR－RSRR－S。 定理4.6 若R和S是集合A到B的两个二元关系，则R和S的并、交、补、差仍是A到B的二元关系。

19. 例1 设A＝{1，2，3}，B＝{a，b}，R＝{<1，a>，<2，b>，<3，b>}和S＝{<1，a>，<2，a>}是A到B的两个二元关系，求它们的并、交、差、补。 解 {<1，a>，<2，a>，<2，b>，<3，b>} R∪S＝ R∩S＝ R－S＝ {<1，a>} {<2，b>，<3，b>} A×B＝ R= S= {<1，a>，<1，b>，<2，a>，<2，b>，<3，a>，<3，b>} A×B－R＝{<1，b>，<2，a>，<3，a>} A×B－S＝{<1，b>，<2，b>，<3，a>，<3，b>}

20. 定义4.9 设R是二元关系，A是集合，则R在A上的限制定义为R A＝{<x，y>|x∈A∧xRy}}。 定理4.7 设R是二元关系，A和B是集合，则： (1)R A＝R∩(A×RR)。 (2)ABR AR A。 (3)R (A∩B)＝R A∩R B。 (4)R (A∪B)＝R A∪R B。 (5)R (A－B)＝R A－R B。 (6)(R*S) A=(R A)*S

21. 证明 (3)因为<x，y>∈R (A∩B)x∈(A∩B)∧xRy (x∈A∧x∈B)∧xRy (x∈A∧xRy)∧(x∈B∧xRy) <x，y>∈R A∧<x，y>∈R B <x，y>∈R A∩R B 所以R (A∩B)＝R A∩R B。 定义4.10 设R是二元关系，A是集合，则A在R下的像定义为R[A]＝{y|x(x∈A∧xRy)}。

22. 定理4.8 设R是二元关系，A和B是集合，则： (1)R[A∪B]＝R[A]∪R[B]。 (2)R[A∩B]R[A]∩R[B]。 (3)R[A]－R[B]R[A－B]。 (4)ABR[A]R[B]。 (5)R[A]＝DR∩A＝。 (6)DR∩A R-1[R[A]] (7)R[A]∩BR[A ∩R-1[B]]

23. 证明 (6)因为x∈DR∩Ax∈DR∧x∈A y(xRy)∧x∈AxRc∧x∈A xRc∧(xRc∧x∈A)cR-1x∧w(wRc∧w∈A) cR-1x∧c∈R[A])u(uR-1x∧u∈R[A]) x∈R-1[R[A]] 所以DR∩AR-1[R[A]]。 例2设R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2}是N上的二元关系，求R {1，2}、R[{1，2}]。 解 R {1，2}＝{<1，1>，<2，4>}，R[{1，2}]＝{1，4}。

24. 4.2.2关系矩阵与关系图 定义4.11 设A＝{x1，x2，…，xn}，B＝{y1，y2，…，yn}，RA×B，则称MR＝(rij)为R的关系矩阵，其中： 例如，A＝{x1，x2，x3}，B＝{y1，y2}，R是A到B的关系，且R＝{<x1，y1>，<x2，y2>，<x3，y2>}，则R的关系矩阵为：

25. 一个有限集合A上的二元关系R，还可以用称为有向图的图形直观的表示，这种有向图称为R的关系图。在该图中，集合A中的元素a用带有元素标号的小圆圈(称为结点)来表示。若x、yA且xRy，则将结点x和y用一条带有箭头的直线或弧线连接起来，其方向由结点x指向结点y。一个有限集合A上的二元关系R，还可以用称为有向图的图形直观的表示，这种有向图称为R的关系图。在该图中，集合A中的元素a用带有元素标号的小圆圈(称为结点)来表示。若x、yA且xRy，则将结点x和y用一条带有箭头的直线或弧线连接起来，其方向由结点x指向结点y。 例如，A＝{1，2，3}上的二元关系R＝{<1，2>，<2，3>，<3，3>}的关系图如图4-1所示。

26. 4.3 复合关系及逆关系 定义4.12 设R和S是任意两个二元关系，则： (1)R的逆关系R-1(或RC)＝{<x，y>|(yRx)} (2)R与S的复合关系R*S＝{<x，y>|z(xRz∧zSy)}。 例1设R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2}和S＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x＋1}是N上的关系，求R-1、R*S、S*R。 解 R-1＝{<y，x>|x、y∈N∧y＝x2} R*S＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2＋1} S*R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝(x＋1)2}

27. 定理4.9 设R和S为任意两个二元关系，则： (1)(R-1)-1＝R。 (2)(R∪S)-1＝R-1∪S-1。 (3)(R∩S)-1＝R-1∩S-1。 (4)(R－S)-1＝R-1－S-1。 (5)(A×B)-1＝B×A。 证明 (2)因为<x，y>∈(R∪S)-1<y，x>∈(R∪S) <y，x>∈R∨<y，x>∈S

28. <x，y>∈R-1∨<x，y>∈S-1 <x，y>∈R-1∪S-1 所以(R∪S)-1＝R-1∪S-1。 (4)因为<x，y>∈(R－S)-1<y，x>∈R－S <y，x>∈R∧<y，x>S <x，y>∈R-1∧<x，y>S-1 <x，y>∈R-1－S-1 所以(R－S)-1＝R-1－S-1。

29. 定理4.10 设R、S和T为任意三个二元关系，则： (1)DR*SDR，RR*SRS。 (2)RS∧TWR*TS*W。 (3)R*(S∪T)＝(R*S)∪(R*T)。 (4)R*(S∩T)(R*S)∩(R*T)。 (5)R*S－R*TR*(S－T)。 (6)(R*S)-1＝S-1*R-1。 (7)(R*S)*T＝R*(S*T)。

30. 证明 (1)因为x∈DR*S(y)(xR*Sy)(y)(z)(xRz∧zSy) (z)(y)(xRz∧zSy)(z)(xRz∧(y)zSy)(z)xRz 所以DR*SDR。 (4)因为<x，y>∈R*(S∩T)(z)(xRz∧z(S∩T)y) (z)(xRz∧zSy∧zTy)(z)((xRz∧zSy)∧(xRz∧zTy)) (z)(xRz∧zSy)∧(z)(xRz∧zTy) <x，y>∈(R*S)∧<x，y>∈(R*T) <x，y>∈(R*S)∩(R*T) 所以R*(S∩T)(R*S)∩(R*T)。

31. 定义4.13 设R是有限集合A上的二元关系，R的n次幂定义如下： (1)R0＝{<x，x>|x∈A}。 (2)Rn＝Rn-1*R。 定理4.11 设R是有限集合A上的二元关系，m和n是自然数，则 (1)Rm*Rn＝Rm+n。 (2)(Rm)n＝Rmn。 证明 (1)对于任意给定的m，对n施行数学归纳法。 若n＝0，则Rm*R0＝Rm*IA＝Rm＝Rm+0。假设Rm*Rn＝Rm+n，则有Rm*Rn+1＝Rm*(Rn*R)＝(Rm*Rn)*R＝Rm+n*R＝Rm+n+1。所以对任意自然数n，Rm*Rn＝Rm+n

32. 定义4.14 若一个矩阵的元素要么为0要么为1，则称该矩阵为布尔矩阵。 定义4.15 布尔矩阵A＝(aij)和B＝(bij)的布尔和A∨B、布尔积AB定义如下： A∨B＝(cij)，其中cij＝aij∨bij AoB＝(cij)，其中cij＝ (aik∧bkj) 下面以关系的复合为例来说明R*S的关系矩阵与R和S的关系矩阵之间的关系

33. 设R是A＝{x1，x2，…，xm}到B＝{y1，y2，…，yn}的二元关系，S是B＝{y1，y2，…，xn}到C＝{z1，z2，…，zs}的二元关系，则R*S是A到C的二元关系。设R是A＝{x1，x2，…，xm}到B＝{y1，y2，…，yn}的二元关系，S是B＝{y1，y2，…，xn}到C＝{z1，z2，…，zs}的二元关系，则R*S是A到C的二元关系。 若将R、S和R*S的关系矩阵分别记为MR＝(rij)、MS＝(sij)和MR*S＝(mij)，则 MR*S＝MRMS。 这是因为mij＝1xi R*S zjk(xi R yk∧yk S zj)k(rik＝1∧skj＝1)(rik∧skj)＝1。

34. 例2 设R＝{<1，2>，<2，3>，<3，4>}和S＝{<2，4>，<3，1>，<4，3>}分别是集合A＝{1，2，3，4}上的关系，求R*S的关系矩阵。 解 R与S的关系矩阵MR和MS分别为 于是R*S的关系矩阵MR*S为

35. 4.4 关系的性质 定义4.16 设RA×A，则： (1)若x(x∈AxRx)，称R是自反的。 (2)若x(x∈A(xRx))，称R是反自反的。 (3)若xy(x、y∈A∧xRyyRx)，称R是对称的。 (4)若xy(x、y∈A∧xRyy(Rx))，称R是非对称的。 (5)若xy(x、y∈A∧xRy∧x≠y(yRx))，称R是反对称的。 (6)若xyz(x、y、z∈A∧xRy∧yRzxRz)，称R是传递的。

36. (7)若xy(x、y∈A∧x≠yxRy∨yRx)，称R是连通的。(7)若xy(x、y∈A∧x≠yxRy∨yRx)，称R是连通的。 (8)若xy(x、y∈AxRy∨yRx)，称R是强连通的。 例1 设A＝{1，2，3}，R1＝{<1，1>，<2，2>}、R2＝{<1，1>，<2，2>，<3，3>，<1，2>}和R3＝{<1，2>}都是A上的关系，说明R1、R2和R3是否为A上的自反关系和反自反关系。 解 R1既不是自反的也不是自反的，R2是自反的，R3是反自反的。

37. 例2设A＝{1，2，3}，R1＝{<1，1>，<2，2>}、R2＝{<1，1>，<1，2>，<2，1>}、R3＝{<1，2>，<1，3>}和R4＝{<1，2>，<2，1>，<1，3>}都是A上的关系，说明R1、R2、R3和R4是否为A上的对称关系和反对称关系。例2设A＝{1，2，3}，R1＝{<1，1>，<2，2>}、R2＝{<1，1>，<1，2>，<2，1>}、R3＝{<1，2>，<1，3>}和R4＝{<1，2>，<2，1>，<1，3>}都是A上的关系，说明R1、R2、R3和R4是否为A上的对称关系和反对称关系。 解 R1既是对称的也是反对称的，R2是对称的但不是反对称的，R3是反对称的但不是对称的，R4既不是对称的也不是反对称的。 例3设A＝{1，2，3}，R1＝{<1，2>，<2，2>}、R2＝{<1，2>，<2，3>}和R3＝{<1，2>}都是A上的关系，说明R1、R2和R3是否为A上的传递关系。 解 R1和R3是传递的，R2不是传递的。

38. 定理4.12 设R是A上的二元关系，则： (1)R是自反的IAR。 (2)R是反自反的R∩IA＝。 (3)R是对称的R＝R-1。 (4)R是反对称的R∩R-1IA。 (5)R是传递的R*RR。 证明 (5)若R是传递的，则<x，y>∈R*Rz(xRz∧zSy)xRc∧cSy， 由R是传递的得xRy，即有<x，y>∈R，所以R*RR。 反之，若R*RR，则对任意的x、y、z∈A， 如果xRz且zRy， 则<x，y>∈R*R，于是有<x，y>∈R，即有xRy 所以R是传递的。

39. 定理4.13 设R和S是A上的二元关系，则： (1)若R和S是自反的，则经过并、交、逆、合成运算后仍保持自反性。 (2)若R和S是反自反的，则经过并、交、逆、差运算后仍保持反自反性。 (3)若R和S是对称的，则经过并、交、逆、差运算后仍保持对称性。 (4)若R和S是反对称的，则经过交、逆、差运算后仍保持反对称性。 (5)若R和S是传递的，则经过交和逆运算后仍保持传递性。

40. 关系的性质不仅反映在它的集合表达式上，也明显的反映在它的关系矩阵和关系图上，如下表所示。关系的性质不仅反映在它的集合表达式上，也明显的反映在它的关系矩阵和关系图上，如下表所示。

41. 4.5 关系的闭包 定义4.17 对给定的关系R和一种性质P，包含R且满足性质P的最小关系称为R对于P的闭包，记作P(R)。 定义4.18 设R是A上的二元关系，R的自反闭包(对称闭包或传递闭包)是A上的关系S，且S满足： (1)S是自反的(对称的或传递的)； (2)RS； (3)对A上任何包含R的自反(对称、传递)关系R都有SR。

42. 一般将R的自反闭包、对称闭包和传递闭包分别记作r(R)、s(R)和t(R)。它们分别是具有自反性(对称性、传递性)的R的“最小”的关系。一般将R的自反闭包、对称闭包和传递闭包分别记作r(R)、s(R)和t(R)。它们分别是具有自反性(对称性、传递性)的R的“最小”的关系。 例如，在整数集Z上的“＜”关系的自反闭包是“≤”关系，它的对称闭包是“≠”关系，它的传递闭包是它自身。 定理4.14 设R是非空集合A上的二元关系，则： (1)R的自反闭包r(R)＝R∪IA。 (2)R的对称闭包s(R)＝R∪R-1。 (3)R的传递闭包t(R)＝ 。

43. 证明 (1)令S＝R∪IA，则RS。 对任意的x∈A， 因<x，x>∈IA， 于是<x，x>∈R∪IA， 即有<x，x>∈S 所以S是自反的。 设R是包含R的自反关系， 则对x∈A，有<x，x>∈R， 于是IAR。 又RR，所以S＝R∪IAR。 故r(R)＝S＝R∪IA。 (3)令S＝ ，显然有RS。

44. 对任意x、y、z∈A，有(x Ri y)∧(y Rj z)m(xRmy)∧n(yRnz)(xRmy)∧(yRnz)xRm*RnzxRm+nzx Riz，所以S是传递的。 设R是包含R的传递关系，下证S＝ RiR。只需证对任意正整数n有RnR。 当n＝1时，RR，结论成立。 假设n＝k时，RkR。对于n＝k＋1，有xRk+1yxRk*Ryz(xRkz∧zRy)xRkc∧cRyxRc∧cRyxRy，所以Rk+1R。 因此，对任意正整数n有RnR。于是S＝ RiR。 综上可得，t(R)＝ Ri。

45. 例1设A＝{a，b，c}，R是A上的二元关系，且R＝{<a，b>，<b，c>，<c，a>}，求r(R)、s(R)和t(R)。例1设A＝{a，b，c}，R是A上的二元关系，且R＝{<a，b>，<b，c>，<c，a>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪IA＝{<a，b>，<b，c>，<c，a>，<a，a>，<b，b>，<c，c>} s(R)＝R∪R－1＝{<a，b>，<b，c>，<c，a>，<b，a>，<c，b>，<a，c>} R2＝{<a，c>，<b，a>，<c，b>} R3＝{<a，a>，<b，b>，<c，c>} R4＝{<a，b>，<b，c>，<c，a>}＝R t(R)＝ Ri＝{<a，b>，<b，c>，<c，a>，<a，c>，<b，a>，<a，a>，<b，b>，<c，b>，<c，c>}。

46. 例2设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。例2设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>}

47. R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝ Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。

48. 定理4.15 设R是非空集合A上的二元关系，则： (1)R是自反的r(R)＝R。 (2)R是对称的s(R)＝R。 (3)R是传递的t(R)＝R。 证明 (1)若R是自反的，则对x∈A有xRx， 有IAR， 从而则r(R)R。 又显然有Rr(R)，所以r(R)＝R。 反之，若r(R)＝R，则R是自反的显然成立。

49. 定理4.16 设R1和R2是非空集合A上的二元关系，若R1R2，则： (1)r(R1)r(R2)。 (2)s(R1)s(R2)。 (3)t(R1)t(R2)。 证明 (3) 对任意正整数n，有R1nR2n。 当n＝1时，结论显然成立。 假设对于n＝k，R1kR2k。当n＝k＋1时，则有 <x，y>∈R1k+1z(xR1kz∧zR1y)

50. z(xR2kz∧zR2y)<x，y>∈R2k+1 所以R1k+1R2k+1。 因此，对任意正整数有R1nR2n。 从而有t(R1)＝∪R1i∪R2i＝t(R2)。 定理4.17 设R1和R2是非空集合A上的二元关系，则： (1)r(R1)∪r(R2)＝r(R1∪R2)。 (2)s(R1)∪s(R2)＝s(R1∪R2)。 (3)t(R1)∪t(R2)t(R1∪R2)。