13 多變數函數

13 多變數函數 Functions of Several Variables

13.1 多變數函數導論 13.2 極限與連續 13.3 偏導數 13.4 微分 13.5 多變數函數的連鎖規則 13.6 方向導數和梯度向量 13.7 切平面和法線 13.8 兩變數函數的極值 13.9 兩變數函數極值的應用 13.10 拉格朗日乘子法

P.565 Ch13 多變數函數 13.5 多變數函數的連鎖規則(Chain rule for functions of several variables) 定理13.6連鎖規則：一個獨立變數的情形

P.565 Ch13 多變數函數圖13.39連鎖規則：w是x和y的函數，而後兩者同時又是t的函數，本圖代表w對t的導函數。

P.565 Ch13 多變數函數例 1利用一個獨立變數的連鎖規則令 w =x2y –y2，而 x = sin t 和 y =et，求 t = 0 時 dw/dt =？解　由一個獨立變數的連鎖規則可得當 t = 0 時，。

P.566 Ch13 多變數函數例 2利用連鎖規則計算相關變率有兩個物體各自在橢圓軌道上運動，其對時間 t 的參數方程式為 x1 = 4 cos t和 y1 = 2 sin t x2 = 2 sin 2t和 y2 = 3 cos 2t 求在 t =π時兩物之間距離對 t 的變率。解　從圖13.40 可以寫下距離公式而在 t =π時，x1 = –4，y1 = 0，x2 = 0，y2 = 3，所以當 t =π時，s 對 x1, y1, x2, y2的偏導數是

P.566 Ch13 多變數函數例 2（續）當 t =π時，x1, y1, x2, y2對 t 的導數是

P.567 Ch13 多變數函數例 2（續）因此，利用連鎖規則，s 對 t 的變率是

P.566 Ch13 多變數函數圖13.40兩物在橢圓軌道上運動。

P.567 Ch13 多變數函數例 3以代入法求偏導數已知 x =s2 + t2，y =s/t 和 w = 2xy，求 ∂w/∂s 和 ∂w/∂t。解　以 x =s2 + t2，y =s/t 代入方程式 w = 2xy 得到然後，令t 為常數對 s 微分求 ∂w/∂s 。同理，令 s 為常數對 t 微分求 ∂w/∂t。

P.567 Ch13 多變數函數定理13.7連鎖規則：兩個獨立變數的情形證明　令 t 為常數，應用定理 13.6 求 ∂w/∂s 就可得出上式，同理，令 s 為常數並應用定理13.6 求出 ∂w/∂t。圖13.41 畫圖說明本定理中的連鎖規則。

P.568 Ch13 多變數函數圖13.41連鎖規則：兩個獨立變數。

P.568 Ch13 多變數函數例 4兩個獨立變數的連鎖規則利用連鎖規則求 ∂w/∂s 和 ∂w/∂t，其中 w = 2xy，x =s2 + t2和 y =s/t。解　利用定理13.7，令 t 為常數，對 s 微分得到

P.568 Ch13 多變數函數例 4（續）同理，令 s 為常數，對 t 微分得到

P.569 Ch13 多變數函數例 5三個變數函數的連鎖規則已知 w =xy +yz +zx，x =s cos t，y =s sin t 和 z =t ，求在 s = 1，t = 2π的 ∂w/∂s 和 ∂w/∂t。解　推廣定理 13.7 的規則得到當 s = 1，t = 2π時，x = 1，y = 0 和 z = 2π。因此 ∂w/ ∂s = 2π(1) + (1 + 2π)(0) + 0 = 2π。同理可得，

P.569 Ch13 多變數函數例 5（續）當 s = 1，t = 2π時代入 x = 1，y = 0 和 z = 2π得到

P.570 Ch13 多變數函數定理13.8 連鎖規則：隱微分

P.570 Ch13 多變數函數例 6隱微分求導數已知 y3 + y2 – 5y – x2 + 4 = 0，求 dy/dx。解　以 F 表下列函數 F(x, y) = y3 + y2 – 5y – x2 + 4 利用定理13.8 得出 Fx (x, y) = –2xFy (x, y) = 3y2 + 2y – 5 因此有

P.570 Ch13 多變數函數例 7隱微分求導數已知 3x2z – x2y2 + 2z3 + 3yz – 5 = 0，求 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y。解　令 F (x, y, z) = 3x2z – x2y2 + 2z3 + 3yz – 5 利用定理13.8 計算下列各偏導數： Fx (x, y, z) = 6xz – 2xy2 Fy (x, y, z) = –2x2y + 3z Fz (x, y, z) = 3x2 + 6z2 + 3y 根據該定理得出

13 多變數函數

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