函数项级数的微积分性质

1. 级数 函数项级数的微积分性质

2. 函数项级数的微积分性质 • 函数项级数的连续性 • 函数项级数积分换序(逐项积分) • 函数项级数的可微性(逐项求导) • 若必要,为了记号上的简单,仍以为区间的情形来叙述相关的结果

3. 函数项级数的连续性 • 设unC(). 如果un在上一致收敛,则函数 在上连续. • 证明 这是极限定理的直接推论#

4. 函数项级数逐项积分(I) • 设unL().||<. 如果un在上一致收敛. 则=un L(), 且 • 证明: 由un在上一致收敛,  N>0, 使得当nN时

5. 逐项积分(I)证明(续) 因此由||<可知=un L() 所以

6. ||=时的反例 • =[0,), , n在上一致收敛到零函数而相应的积分列

7. 函数项级数逐项积分(II) • 设un在上非负可测.则 • 设un在上可测,且|un|L().则=un L(), 且

8. 函数项级数逐项求导(I) • 设开,un, un/xkC(), un 在上处处收敛, un/xk在上一致收敛, 则 因此

9. 逐项求导(I)的证明 • 取定x, 由开, 存在h>0, 连接x-hek和x+hek 的线段L含在内,则对于yL,由微积分基本定理

10. 逐项求导(I)的证明(续1) 注意un/xk在L上一致收敛,因此

11. 逐项求导(I)的证明(续2) 即 注意un/xk在L上是yk的连续函数,由微积分 基本定理就得到结果#

12. 函数项级数逐项求导(II) • 设开,un在上有偏导数un/xk, un 在上处 处收敛,un/xk在上一致收敛, 则

13. 逐项求导(II)的证明 • 为记号简单考虑一维情况,取定x,由开, 存在>0, L=[x-,x+], 设|h|<, 记=un考虑 差商 下面只要证明右边的级数关于h在 [-,]\{0}上 一致收敛就够了.

14. 逐项求导(II)的证明(续1) 任取>0,由dun/dx在L上一致收敛, N,n>N, m>0, 因此当n>N,m>0时

15. 逐项求导(I)的证明(续2) 由极限定理

16. 导函数列或级数不一致收敛的反例 • 考虑函数列： • 其极限函数： • 导数函数列： • 其极限函数： • 导函数列在(0,)上不一致收敛：

17. 级数定义的函数例1 • Riemann的(Zeta)函数: 在(0,)上有任意阶导数. • 解：只要证明>0, 在[1+,)上都一致收敛就够了(习题)#

18. 级数定义的函数例2 • Riemann的函数的积分形式: 解：只要利用几何级数和Levi定理就够了