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第 十章 弯曲内力. 山西农业大学工学院. §10-1 引言. §10-2 梁的计算简图. §10-3 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图. §10-4 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系. 第 10 章 弯曲内力. §10-1 引言. 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。. 梁 —— 以弯曲为主要变形的杆件称为梁。. 弯曲变形动画演示. 工程实例.
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第 十章 弯曲内力 山西农业大学工学院
§10-1 引言 §10-2 梁的计算简图 §10-3 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 §10-4 剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系 第 10 章 弯曲内力
§10-1 引言 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。 非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。
对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。 本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。
F §10-2梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。 这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。
(1) 支座的基本形式 1. 固定端——实例如图a，计算简图如图b, c。
2. 固定铰支座——实例如图中左边的支座，计算简图如图b、e。 3. 可动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图如图c、f。
悬臂梁 简支梁 外伸梁 (2) 梁的基本形式
(3) 静定梁和超静定梁 在竖直荷载作用下，图a、b、c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。 图d、e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。
例题 10-1 试求图a所示有中间铰C的梁在A、B处的约束力。
(b) 1. 带中间铰的梁可用平衡方程求此反力。该梁左端A为固定端，有3个未知约束力FAx，FAy和MA；右端B处为可动铰支座，有1个未知约束力FBy。此梁总共有4个未知的约束力。 解:
(b) 对于平面力系，虽然仅可列出3个独立的平衡方程，但此梁具有中间铰C，根据铰不能传递力矩的特点，作用在中间铰一侧(梁的AC或梁CB段)梁上的外力(荷载和约束力)对于中间铰C的力矩应等于零，还可列出1个独立的平衡方程。这样就可利用4个平衡方程求解4个未知的约束力。故该梁是静定梁。
(c) 2. 以CB段（图c）为分离体，求FBy。
(b) 3. 以整体（AB梁）（图b）为分离体，求FAx ，FAy ，MA 。
(c) (d) 该梁的约束力亦可将梁在中间铰C处拆开，先利用CB梁作为分离体求约束力FBy，FCx和FCy，其中FCx，FCy为AC梁对CB梁的作用力，将FCx，FCy等值反向后加在AC梁的C截面处，然后利用AC梁作为分离体求约束反力FAx，FAy和MA。这种先求副梁的支反力，再求主梁支反力的方法，简称为“先副后主”，这是求多跨静定梁支反力常用的方法。
作用在该梁CB段上的荷载是要通过中间铰传递到梁的AC段上的，但作用在AC段上的荷载是不会传递给CB段的。故习惯上把梁的AC段称为基本梁(或称主梁)，把梁的CB段称为副梁（或称次梁）。具有中间铰的梁称为多跨静定梁。作用在该梁CB段上的荷载是要通过中间铰传递到梁的AC段上的，但作用在AC段上的荷载是不会传递给CB段的。故习惯上把梁的AC段称为基本梁(或称主梁)，把梁的CB段称为副梁（或称次梁）。具有中间铰的梁称为多跨静定梁。
思考： 如果上述例题中所示的梁上，没有原来的荷载，但另外加一个作用在中间铰C上的集中荷载F =100 kN，试求该梁的约束力。
§10-3梁的剪力和弯矩 图a所示跨度为l的简支梁其约束力为 梁的左段内任一横截面m-m上的内力，由m-m左边分离体(图b)的平衡条件可知：
它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是 m-m右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。 故根据作用与反作用原理，m-m左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由m-m右边分离体的平衡条件加以检验：
梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定。为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定。
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。 (a) 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。
(b) 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。
§10-4剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。
例题 10-2 图a所示悬臂梁受集度为q的均布荷载作用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
FS(x) M(x) (b) 1. 列剪力方程和弯矩方程 解: 由分离体（图b）的平衡，得剪力方程和弯矩方程分别为
(c) (d) 2. 作剪力图和弯矩图 由(1)式可知FS图为斜直线，由 x=0， FS =0；x=l， FS =ql 可画出FS图如图c所示。 由(2)式可知，M图为二次抛物线，由 x=0， M=0；x=l/2， M =-ql2/8； x=l， M =-ql2/2 可画出M图如图d所示
(c) (d) 按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁的受拉侧)。
由图可见，该梁横截面上的最大剪力为FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值) 为，它们都发生在固定端右侧横截面上。 (c) (d)
例题 10-3 图a所示简支梁受集度为q的均布荷载作用。写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。
FS(x) (b) M(x) 1.求约束力 2.列剪力方程和弯矩方程 由分离体（图b）的平衡，得
3.作剪力图和弯矩图 由(1)式可知，FS图为斜直线，由x=0，x=l的FS值可画出FS图。 由(2)式可知，M图为二次抛物线，由x=0，l/4，l/2，的M值可画出M图。
由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为 ，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为 发生在跨中横截面上。
F 例题 10-4 图a所示简支梁受集中荷载F 作用。写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。
F 1. 列剪力方程和弯矩方程 解: 求约束力为 AC和CB两段的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。
FS(x) M(x) AC段梁
FS(x) M(x) CB段梁
2. 作剪力图和弯矩图 由(1)和(3)式可见FS图为平行于x轴的水平线，如图b所示
在集中力F作用（C截面）处，其左、右两侧的剪力发生突变，且二者的差值等于F，即在集中力F作用（C截面）处，其左、右两侧的剪力发生突变，且二者的差值等于F，即 其原因是把分布在小范围的分布力，抽象成为集中力所造成的。若集中力F视为作用在Dx段上的分布力，就不存在突变现象了（图d）。
例题 10-5 图a所示简支梁，在C截面受集中力偶矩Me作用。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作梁的剪力图和弯矩图。
解: 1.求约束力 2. 列剪力方程和弯矩方程 由分离体图可见，作用于AC段和BC段上的集中力相同，从而两段梁的剪力方程相同，即
至于两段梁的弯矩方程则不同： AC段梁：
