§4.1 衍射现象及其数学描述

1. 4 光波衍射与变换 §4.1 衍射现象及其数学描述

2. 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 主要内容 1. 光的衍射现象 2. 惠更斯原理 3. 惠更斯-菲涅耳原理 4. 菲涅耳-基尔霍夫衍射积分 5. 巴俾涅原理 6. 衍射现象的分类

3. 4.1.1 光的衍射现象 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 (1) 波动的衍射现象 声波的衍射现象： 水波的衍射现象： 衍射现象的定义：波动的传播偏离直线传播规律的行为衍：滋生、繁衍、衍生 (2) 光波衍射的基本特征 • 几何阴影区光强不为零，几何投影区光强非均匀分布 • 障碍物线度愈小，衍射效应愈强烈

4. (3) 波动的衍射与直射之关系 4 光波衍射与变换 4.1.1 光的衍射现象 4.1 衍射现象及其数学描述 衍射是波动的基本特征之一，反映了波动在传播过程中的一种边缘效应。任何波动在通过任何物体的边缘时，都会产生衍射现象。然而，只有当障碍物的几何线度与波长大小可以比拟时，其衍射现象才能明显地表现出来。当障碍物的线度远大于波长时，这种边沿效应将变得不明显，从而表现出直射（直线传播）特征。因此，波动的衍射与直射并不矛盾，只是传播条件不同而已。 衍射理论是现代变换光学的理论基础。从严格意义上讲，衍射是波动在传播过程中其波面受到限制的必然结果，而不仅仅是一种边缘效应。在波动的传播过程中，只要其波面受到了某种限制，如振幅或相位的突变等，就必然伴随着衍射现象的发生。

5. 4.1.2 惠更斯原理 平面波的直线传播 球面波的直线传播 图4.1-1 惠更斯原理与波动的直线传播 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 惠更斯原理的表述：在波动传播过程中的任一时刻，波面上的每一点都可以看作是一个新的波源，各自发射球面子波。所有子波的包络面，形成下一时刻的新波面。两个波面的空间间隔等于波的传播速度与传播时间间隔的乘积。 光的直线传播定律的解释：

6. 反射和折射定律的解释： B B' v1' v1 i1' i1 n1 A' A n2 i2 C v2 图4.1-2 反射和折射定律 4 光波衍射与变换 4.1.2 惠更斯原理 4.1 衍射现象及其数学描述 入射光：折射率n1，入射角i1，波面AB，速度v1 反射光：折射率n1，折射角i1'，波面A'B'，速度v1'= v1 折射光：折射率n2，折射角i2，波面A'C，速度v2 反射定律： (4.1-1) 折射定律： (4.1-2)

7. 衍射现象的定性解释： 图4.1-3 光波的衍射 4 光波衍射与变换 4.1.2 惠更斯原理 4.1 衍射现象及其数学描述

8. 4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 (1) 惠更斯原理的局限性 没有涉及波动的时空周期特性，即波长、振幅、相位等。虽然可以用于确定光的传播方向，但无助于确定沿不同方向传播的光波的振幅和相位大小。 (2) 惠更斯-菲涅耳原理 菲涅耳对惠更斯原理的贡献：将不同子波的干涉叠加引入惠更斯原理，并赋予其以相应的相位和振幅表达式。

9. S q0 dS n q Q r S R P 图4.1-4 惠更斯-菲涅耳原理 4 光波衍射与变换 4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理 4.1 衍射现象及其数学描述 S：光源 S：光源S发出的光波的任一波面 dS：波面Σ上位于Q点的面元 n：面元d Σ的法线方向单位矢量 q0：光源S到点Q连线与面元法线夹角 q：Q点到场点P的连线与面元法线夹角 惠更斯-菲涅耳原理的表述： 波面S 上的每个面元dS 都可以看作是新的波源，它们均发射球面子波，在与波面相距为r处的P点的光振动U(P)，等于所有球面子波在该点的光振动dU(P)的相干叠加： (4.1-3)

10. 4 光波衍射与变换 4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理 4.1 衍射现象及其数学描述 按照菲涅耳的假设，Q点处dS 面元发出的球面子波在P点的光振动复振幅： (4.1-4a) 或 (4.1-4b) K：比例常数；U0(Q)：光源S在Q点引起光振动复振幅； F(q0, q)：倾斜因子，随q0和q 的增大而减小。 P点总的光振动复振幅——菲涅耳衍射积分式： (4.1-5)

11. 4.1.4 菲涅耳－基尔霍夫衍射积分 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 基尔霍夫的数学结论（通过由电磁场理论严格地数学推导而得到）： (4.1-6) (4.1-7) 基尔霍夫边界条件：设波面处放置一开孔的无限大不透明光屏，且开孔所对应的波面面积为S0，则透过光屏的光振动满足： (4.1-8) 菲涅耳-基尔霍夫衍射积分： (4.1-9)

12. 4 光波衍射与变换 4.1.4 菲涅耳－基尔霍夫衍射积分 4.1 衍射现象及其数学描述 说明： ① 当波面为以S点为中心的球面时， q0=0，F(q0, q)=(1+cosq)/2，只与场点P相对波面的方位有关。 (4.1-10) ② 在傍轴条件下，cosθ0 ≈cosθ≈1，F(θ0, θ)=1。 (4.1-11) ③ 实际问题中，通常以光波在光屏平面上的波前代替实际波面，此时S0表示光屏透光孔的面积，而函数U0(Q)表示透过光屏开孔的波前上的光振动复振幅。

13. 4.1.5 巴俾涅原理 = + 图4.1-5 巴俾涅原理 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 假设：一对互补光屏（透光区域相反）的透光面积分别为SA和SB，且有S0= SA+SB，则由积分的线性和可加性可得 (4.1-12a) 即 (4.1-12b) 巴俾涅原理：由一对互补光屏分别在某个给定场点引起的衍射光场复振幅之和，等于没有光屏情况下，该场点的光振动之复振幅。

14. 巴俾涅原理的意义 4 光波衍射与变换 4.1.5 巴俾涅原理 4.1 衍射现象及其数学描述 已知光源发出的光波在自由空间中及透过某个光屏的复振幅分布，则两者之差即该光波透过相应互补屏的复振幅分布。在远场条件下，一对互补屏引起的衍射图样具有相同的形状，只是中心点的强度大小不同而已。

15. 4.1.6 衍射现象的分类 y0 y x0 P x Q r O0 O z 图4.1-6 子波源点与场点的几何关系 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 (1) 菲涅耳衍射：近场衍射 产生条件：衍射屏相距光源及观察点两者或两者之一为有限远 场点与衍射屏上的次级点源之距：

16. 4 光波衍射与变换 4.1.6 衍射现象的分类 4.1 衍射现象及其数学描述 场点的傍轴条件：z2 >> x2, y2 次级点源的傍轴条件：z2 >> x02, y02 衍射积分式： (4.1-13) 图样特点：光强分布与场点到衍射屏的距离及波面形状有关 观察方式：球面波照明时，可在衍射屏后任一平行平面上观察 平面波照明时，可在衍射屏后较近距离处观察

17. (2) 夫琅禾费衍射：远场衍射 4 光波衍射与变换 4.1.6 衍射现象的分类 4.1 衍射现象及其数学描述 产生条件：狭义：衍射屏距光源点及观察点均为无限远 广义：观察点与光源点所处平面为一对共轭平面 场点与衍射屏上的次级点源之距： 场点的远场条件：|z| >> x2/l, y2/l 次级点源的远场条件：|z| >> x02/l, y02/l 衍射积分式： (4.1-14)

18. 4 光波衍射与变换 4.1.6 衍射现象的分类 4.1 衍射现象及其数学描述 图样特点：光强分布与照明方式及观察位置无关 观察方式：远场或光源的共轭像平面上 说明： • 菲涅耳衍射衍射属于近场衍射，夫琅禾费衍射属于远场衍射。 • 由衍射积分式原则上可以求解所有的衍射问题，但当波前及衍射屏形状较为复杂时，求解过程变得复杂、烦琐。一般只在简单情况下的夫琅禾费衍射或傅里叶光学中使用衍射积分。 • 处理菲涅耳衍射问题，大多采用半定量的菲涅耳半波带法或振幅矢量叠加法。 • 可以由衍射积分出发利用计算机数值模拟出各种衍射现象。

19. (a) 圆孔 (b) 圆盘 (c) 环孔 (d) 方孔 (e) 三角孔 (f) 剃须刀片 图4.1-7 各种孔径（上）的菲涅耳衍射（中）和夫琅禾费衍射（下）仿真图样 4 光波衍射与变换 4.1.6 衍射现象的分类 4.1 衍射现象及其数学描述 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射的仿真实验结果

20. 本节重点 4.1 衍射现象及其数学描述 4 光波衍射与变换 1. 光的衍射现象的物理实质 2. 惠更斯原理的表述 3. 惠更斯-菲涅耳原理的表述 4. 巴俾涅原理的物理意义 5. 菲涅耳近似条件和夫琅禾费近似条件及区别