Chapter 3

1. Chapter 3 遞迴

2. 3.1 何謂遞迴 • 遞迴程式簡單的說即是「一程式呼叫自己本身(call itself)」，在高階語言中，C、Pascal、Ada及人工智慧語言Lisp、Prolog都提供了遞迴呼叫的功能，根據呼叫形式的不同，又分為： *

3. 3.1 何謂遞迴 • 直接遞迴若一副程式P直接呼叫自己本身，便稱之為直接遞迴。 • 間接遞迴若一副程式P呼叫另一副程式Q，而副程式Q又呼叫副程式P，此種形式的遞迴關係便稱之為間接遞迴。 *

4. 3.1 何謂遞迴 • 在一般遞迴呼叫中，為滿足演算法的有限性（definite），所以必須有一結束遞迴呼叫的條件，此即「終止條件」（termination condition）。 *

5. 3.2 一些遞迴的例子 費式數列(Fibonacci number) • 圖3-2-1中，將兩塊玻璃背對放著，設 *

6. 3.2 一些遞迴的例子 • 當n=0時，表示光線方向不變，所以a0=1，而n＞1時，可分成兩種情況 • 光線跳到對面層，再以an-1的方式反彈，如a3中的第3、4、5種方式。 • 光線跳到中間層，再以an-2的方式反彈，如a3中的第1、2種方式。 • 由上述說明，可得到一數學關係式 *

7. 3.2 一些遞迴的例子 • 下面我們定義一數列Fn，其下一項值為前二項值之和，且初始條件為F0=0，F1=1 • 很顯然地，此數列滿足 • 這就是「費式數列」的數學定義式。 *

8. 3.2 一些遞迴的例子 • 底下程式則是說明如何求第n項費式數列值的遞迴程式。 　// 費氏級數，此項等於前兩項之和int recursion::fib(int n){ if (n<2) return n; else return (fib(n-1)+fib(n-2)); // 遞迴呼叫自已} *

9. 3.2 一些遞迴的例子 • 從費式數列的定義中，可知欲求fib(6)時，必先呼叫fib(5)及fib(4)，而在求fib(5)時，又要呼叫fib(4)及fib(3)，所有呼叫次序如圖3-2-2。

10. 3.2 一些遞迴的例子 漢諾塔(Hanoi Tower) • 一則有趣的故事傳說：在開天闢地之初，上帝將64個由大而小疊好的金盤放在一根金針上，命令一群教徒利用另兩根金針，把這些金盤搬到第三根金針上，且搬運過程中，必須遵守二條原則 (1)一次只能搬動一個盤子。 (2)小金盤必須在大金盤之上。 • 當他們完成這項工作的時候，也就是世界末日的來到。 *

11. 3.2 一些遞迴的例子 • 想要解決這個複雜的問題，可先考慮兩個盤子的解答。 * 圖3-2-3 兩個金盤的漢諾塔

12. 3.2 一些遞迴的例子 • 聰明的讀者可以發現，如果是搬n個盤子時，亦是同上圖，將n-1個盤子先移到B，再將第n個盤子移到C，最後將n-1個盤子移到C即可完成。 *

13. 3.2 一些遞迴的例子 • 以下程式實作漢諾塔的遞迴程式。 // 漢諾塔void recursion::hanoi(int plates,char source,char target, char put){ if (plates>0) { // 將n-1個盤子先移到B hanoi(plates-1,source,put,target);

14. 3.2 一些遞迴的例子 　 // 將第n個盤子移到C cout << "Move plate No." << plates << " from "<< source << " to " << target << endl; // 將n-1個盤子移到C hanoi(plates-1,put,target,source); }} *

15. 3.3 解遞迴式 • 在上面的費式數列中，若想知道fib(n)的值究竟有多大，必須呼叫圖3-2-2各節點，所以一時無法推估它的大小，這是許多遞迴程式共同的特徵，為克服此項缺點，我們以費式數列為例子，引進解遞迴式的方法。 *

16. 3.3 解遞迴式 • 考慮遞迴式如下：Fn=Fn-1+Fn-2 ,n＞1因為n=1時，左式等於1，右式等於0，所以 • 步驟一 將上式修正成Fn=Fn-1+Fn-2+（n=1） • 步驟二 令G(Z)= FnZn所以G(Z)= FnZn= [Fn-1+ Fn-2 +(n=1)] Z n= FnZn + Fn-2Zn + (n=1)Z n= FnZn+1+ FnZn+2+Z= ZG(Z)+ Z2 G(Z)+Z *

17. 3.3 解遞迴式 • 步驟三 設 • 因此 1-Z-Z2=1-(α+β)Z+αβZ2。 • 所以可得其中一組解 *

18. 3.3 解遞迴式 • (1+√5)/2就是藝術上所稱的「黃金比（golden ratio）」，意含此種比例設計最令人愉快，最後可得 　　G(Z)=1/√5((1/(1-αZ))-(1/(1-βZ)))　　　　=1/√5Σ(αn-βn)Zn 　所以 Fn=1/√5(αn-βn) • 因此，若想知道fib(n)之值，即可把n代入上式，即可求出。 *

19. 3.4 使用遞迴的優缺點 • 從圖3-2-2中看出，在計算fib(6)時，遞迴過程中呼叫次數如表3-4-1。 *

20. 3.4 使用遞迴的優缺點 • 因此其效率極差，若我們把它改成非遞迴的程式，效率將可大大改進： 　// 費氏級數，此項等於前兩項之和int unrecursion::fib(int n){ int i,prev=0,now=1,next; if (n<2) return n; else {

21. 3.4 使用遞迴的優缺點 for (i=2;i<=n;i++) { next=prev+now; prev=now; now=next; } } return now;} *

22. 3.4 使用遞迴的優缺點 • 再看看漢諾塔的效率問題，設Tn表示將n個盤子由一金針搬至另一金針所需的時間，由前面說明可看出，搬移m個盤子共需2Tn-1+1次移動，所以可得 *

23. 3.4 使用遞迴的優缺點 • 我們發現它的時間複雜度(time complexity)呈指數成長，因此即使要搬完64個金盤，也需264次才能完成，縱然每一微秒搬動一次，也要50000世紀才能完成。 *

24. 3.4 使用遞迴的優缺點 • 一般而言，使用遞迴會付出下列兩點代價： 較花時間，效率較差原因有二，第一，編譯器可能將遞迴程式編譯成效差的碼，在最差的情況下，一個遞迴性的程序效率只大約只有非遞迴性程序的一半。第二，我們的遞迴程式也許簡單但效率差，如費式級數就需要重複呼叫副程式多次。 *

25. 3.4 使用遞迴的優缺點 需較多記憶空間因為每一次遞迴呼叫中，都要將原來的變數、參數等存起來，所以遞迴深度愈大所需的記憶體就愈大。 *

26. 3.4 使用遞迴的優缺點 • 但遞迴程式，也具有下列二項優點： 效率分析簡單如上面漢諾塔的分析、簡易清晰。 設計自然、簡單下一節中，讀者可輕易觀察出對應遞迴程式的非遞迴程式，較遞迴程式複雜多了。 *