Lineárne funkcie, rovnice a nerovnice

1. Lineárne funkcie, rovnice a nerovnice

2. Lineárna funkcia je každá funkcia definovaná na množine R, ktorá je daná v tvare: y = ax + b, kde a, b  R (a, b  0) • ak a = 0, y = b je to konštantná funkcia • ak b = 0, y = ax je topriama úmernosť

3. Definičný obor D(f) je množina všetkých x  R, pre ktoré je rovnica (nerovnica) definovaná. Označujeme ho D. Obor hodnôt H(f) (obor pravdivosti) je množina všetkých x  D, pre ktoré sa rovnica (nerovnica) stáva pravdivým výrokom. Koreňom rovnice nazývame také číslo x0, pri ktorom po dosadení tohto čísla do rovnice namiesto neznámej x dostávame pravdivý výrok.

4. Dve rovnice nazývame ekvivalentnými práve vtedy, keď sa ich obory hodnôt rovnajú. Ekvivalentné úpravy sú: • pripočítanie rovnakého čísla k obom stranám rovnice • vynásobenie obidvoch strán rovnice rovnakým nenulovým číslom • výmena strán rovnice Dôsledková (= neekvivalentná) úprava ROVNÍC je: • odmocňovanie  • umocňovanie • vynásobenie oboch strán rovnakým výrazom Dôsledková úprava NEROVNÍC je: • vynásobenie oboch strán rovnakým výrazom • umocňovanie, pričom sa mení znamienko nerovnosti na opačné • odmocňovanie

5. Monotónnosť funkcií

6. Sústavy rovníc s dvomi neznámymi Lineárna rovnicas dvoma neznámymi x, y je každá rovnica, ktorá má tvar ax + by = c, pričom a, b, c  R  a, b  0. Vyriešiť LR s dvoma premennými znamená nájsť v danom číselnom obore všetky usporiadané dvojice, pre ktoré po dosadení do danej rovnice dostaneme pravdivý výrok. Sústava LR s dvoma neznámymi je dvojica rovníc, ktoré majú byť splnené súčasne (konjunkcia LR). Koreňom rovnice je taká dvojica x, y, ktorá patrí do oborov hodnôt oboch rovníc sústavy. Metódy riešenia: GRAFICKÁ – znázorníme karteziánske grafy oboch rovníc, dostaneme 2 priamky: • ak sú priamky rovnobežné sústava nemá riešenie • ak sú priamky rôznobežné sústava má jedno riešenie • ak priamky splývajú sústava má nekonečne veľa riešení SČÍTACIA – rovnice sústavy násobíme voľnými číslami tak, aby sa po sčítaní rovníc jedna neznáma vylúčila DOSADZOVACIA – jednu neznámu vyjadríme z prvej rovnice a dosadíme do druhej, čím sa táto neznáma v rovnici vylúči.

7. Lineárne rovnice s tromi neznámymi Sústava LR s tromi neznámymi je konjunkcia LR s 3 neznámymi. Riešením je taká trojica čísel, ktorá je riešením každej rovnice sústavy. Metódy riešenia: • sčítacia, dosadzovacia • maticou • pomocou determinantu

8. Lineárne nerovnice Lineárne nerovnice definujeme obdobne ako lineárne rovnice. Riešime ich ako lineárne rovnice s tým rozdielom, že pri násobení nerovnice záporným číslom sa nám nerovnosť zmení na opačnú. Má tvar: ax + b  0 ( ;; ) Sústava dvoch (alebo viacerých) lineárnych nerovníc s jednou neznámou riešime tak, že určíme obor hodnôt každej z nich. Obor hodnôt sústavy nerovníc je prienik oborov hodnôt všetkých nerovníc sústavy.

9. LR s parametrom Okrem rovníc, ktoré obsahujú neznáme, môžu rovnice aj nerovnice obsahovať aj ďalšie premenné, ktoré nazývame parametre a takto získané rovnice (nerovnice) parametrické rovnice (nerovnice). Ide o rovnice (nerovnice), ktoré predstavujú zápis všetkých rovníc (nerovníc), ktoré dostaneme dosadením čísel z daného oboru za premenné (oboru parametra). RIEŠENIE

10. LR s absolútnymi hodnotami LR s abs. hodnotou nazývamekaždú rovnicu (s neznámou x  R) tvaru:|a1x + b1| + |a2x + b2| + ... + |anx + bn| = |a0x + b0|,kde a,b sú dané reálne čísla. Existuje niekoľko metód pre riešenie takéhoto typu rovníc : • Metóda nulových bodov (metóda intervalov) • Grafická metóda • Geometrická metóda