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《 结构动力学 》

《 结构动力学 》. 2 单自由度体系的自由振动. 2.1 单自由度体系自由振动微分方程的建立. 2.2 自由振动微分方程的解答. 2.3 结构的自振周期和自振频率. 2.4 阻尼对自由振动的影响. y ( t ). y. 自由振动. k. m. y. ky. 等效. 2.1 自由振动微分方程的建立. 重要性：. 1 ）初步估算；. 2 ）多自由度分析的基础. 初始位移. 以一悬臂柱为对象：. 初始速度. 同时作用. m. 理解 两模 型中 “ k” 含义. 模型 2. k. “ 弹簧－小车 ”. m.

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  1. 《结构动力学》 Dynamics of Structures

  2. 2 单自由度体系的自由振动 2.1 单自由度体系自由振动微分方程的建立 2.2 自由振动微分方程的解答 2.3 结构的自振周期和自振频率 2.4 阻尼对自由振动的影响 Dynamics of Structures

  3. y(t) y 自由振动 k m y ky 等效 2.1 自由振动微分方程的建立 重要性： 1）初步估算； 2）多自由度分析的基础 初始位移 以一悬臂柱为对象： 初始速度 同时作用 m 理解 两模 型中 “k” 含义 模型2 k “弹簧－小车” m 模型1 隔离体 Dynamics of Structures

  4. 1 δ 建立自由振动的微分方程 两种方法： 1）刚度法 —力的平衡 2）柔度法 —位移协调 建立方程（依据定义） 刚度系数 k 柔度系数δ 概念理解 1）刚度法： 以模型2为对象 一 致 2）柔度法： 以模型1为对象 Dynamics of Structures

  5. y(t) y(t) T T y0 0 0 t t T/4 T/4 T/4 T/4 T/4 T/4 T/4 T/4 -y0 2.2 自由振动微分方程的解答 原方程： 通解为： （初始条件） 解为： Dynamics of Structures

  6. T y(t) 0 t 化成单项三角函数的形式 解又可表达为： 将其展开： 相比较得： 则： 自由振动总位移： Dynamics of Structures

  7. 思考？ 重要特性 t 经 后，质体完成了一个振动周期， 秒内的振动次数为 ， 2.3 结构的自由周期和自振频率 由式 可知 故T为周期 周期函数的条件:y(t+T )=y(t ) 表示每秒钟内的振动次数 工程频率 称其为圆频率→ 频率（习惯） 1)自振周期计算公式： 2)自振频率计算公式： Dynamics of Structures

  8. m m m l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/4 例题分析 [例1]求图示梁结构的自振周期和自振频率 解：为求柔度系数，在质点 上加单位力1（图乘法） m EI [思考]比较图示结构的自振频率 (a)<(b)<(c) (a) (b) (c) Dynamics of Structures

  9. W [例2] 图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3，基础底面积A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率 解:让振动质量向下单位位移 需施加的力为： k = cz A= 0.6×103×20 =12×103 kN/m 自振频率为： Dynamics of Structures

  10. h yst y y [例3] 如图所示简支梁，先将一重为W的物体从高h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律 W 设： 其中： 因物体接触到梁体才开始振动 解:自由落体后，以一定的初 速度上下作自由振动，其 振动平衡位置为yst 初始条件 Dynamics of Structures

  11. [具体例子比较] 例如，设 则 则振动规律为： 讨论： 如果 h＝0，即将物体无初速地放置在梁中点 比较结果可知，h＝10cm，时的振幅位移是h＝0的七倍。 Dynamics of Structures

  12. y y(t) 0 t 2.4 阻尼对自由振动的影响 阻尼是客观存在的 y=0 m m （1）产生阻尼的原因 1)结构与支承之间的外摩擦 2)材料之间的内摩擦 c k k 3)周围介质的阻力 （2）阻尼力的确定 1)与质点速度成正比 1) c不存在 2) c存在 2)与质点速度平方成正比 3)与质点速度无关 粘滞阻尼 振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼。 Dynamics of Structures

  13. y(t) c m k y ky 考虑阻尼的振动模型 ——称为阻尼比 二阶常微分方程可变为： 设特解为： 有阻尼模型 特征方程为： m 解为： 讨论？ 建立动平衡方程 （1） 标准化，得 令： 其中， 则代数方程解： Dynamics of Structures

  14. y 实部 虚部 t 初始条件 yk yk+1 tk T 低阻尼的情况－实际振动 则微分方程通解为： 也可 讨论？ 低 阻 尼 自 由 振 动 1)是一种衰减振动 2)对自振频率的影响 当ξ<0.2,则 0.96<ωr/ω<1 在工程结构问题中0.01<ξ<0.1 此时，阻尼的影响可以忽略。 Dynamics of Structures

  15. y θ0 y0 t 3)对振幅的影响 （2） 振幅为随时间衰减 相邻两个振幅的比(一个T) 解为： 则微分方程通解为： 4)阻尼比的测定 再由初始条件得： 对数递减率 设yk 和 yk+n相隔n个周期，则 这条曲线仍具有衰减性， 但不具有波动性。 工程上常用 Dynamics of Structures

  16. 9.8kN m EI=∞ 2 x w x 2 m 2 k = x w = = = c 2 m w w 临界阻尼常数为： 临界阻尼比为： （3） 体系不出现振动，很少遇到，不予讨论。 [例15.4]图示屋盖系统加一水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s 及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 解： Dynamics of Structures

  17. 3 单自由度体系的受迫振动 3.1 单自由度体系受迫振动微分方程的建立 3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应 3.3 一般荷载作用下结构的动力反应 3.4 阻尼对受简谐荷载受迫振动的影响 3.5 有阻尼时的杜哈梅积分 Dynamics of Structures

  18. y(t) y k m y ky 等效 3.1 受迫振动微分方程的建立 强迫振动 结构在动力荷载作用下的振动 以一悬臂柱为对象： m “弹簧－小车” 模型2 m 如何建立方程？ k 隔离体 模型1 2）刚度法： 1）柔度法： 以模型2为对象 以模型1为对象 Dynamics of Structures

  19. 过渡阶段 平稳阶段 3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应 简谐荷载 运动方程 二阶常系数非齐次微分方程 解的形式 方程通解 方程全解 Dynamics of Structures

  20. 思考？ 的重要特性 最大静位移 最大动位移 3 2 1 0 1 2 3 简谐荷载的动力系数 平稳阶段： 共振 动力系数 Dynamics of Structures

  21. Psinθt [例5] 如图所示刚梁，截面为I32b工字钢，I=11626cm4， I=726.7cm3，E＝2.1×108kPa。在跨中有电动机，重量Q=40kN，转速n＝400r/min，由于具有偏心，转动时产生离心力P=20kN，其竖向分量为 ，忽略梁本身的质量，试求钢梁在该荷载的动力系数和最大正应力。 P θt 2.5m 2.5m 例题分析 2)荷载频率： 3)动力系数： EI Q 1)自振频率： 解: 4)跨中截面最大正应力： Dynamics of Structures

  22. P0sinθt W [例6] 前提同[例2] 当机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min，求振幅及地基最大压力。 解:由[例15.2]已求出 k = 12×103 kN/m 1)荷载频率: 2)动力系数： 3)竖向振动振幅: 4)地基最大压力： Dynamics of Structures

  23. Δt t' 0 τ t' t 3.3 一般荷载作用下结构的动力反应 基本思路： 视为一系列瞬时冲量连续作用下响应的总和 t 瞬时冲量 t t Dynamics of Structures

  24. P(t) t t τ 一般动荷载的动力反应 时刻τ的微分冲量对t 瞬时(t>τ)引起的动力反应 微分冲量 杜哈梅积分 (Duhamel 积分) 若：初始位移 y0 和初始速度 v0 不为零 Dynamics of Structures

  25. P(t) Po t yst yst π 2π 3π 0 ωt y(t) yst 几种动荷载的动力反应 （1）突加荷载 举例说明 质点围绕静力平衡 位置作简谐振动 Dynamics of Structures

  26. P(t) u Po t （2）短时荷载 解决途径？ （1）方法一： 直接采用Duhamel积分 （2）方法二： 利用突加荷载结论，分段讨论 1）阶段Ⅰ(0< t <u)：同突加荷载： 2）阶段Ⅱ(t >u)：体系以 作自由振动 Dynamics of Structures

  27. P(t) P(t) P(t) u t t t u P P P （3）方法三： 还是利用突加荷载结论 思路 由两个突加荷载叠加而成 1)当0<ｔ< u 2)当ｔ> u Dynamics of Structures

  28. T/2 β 2 π 2π 3π 0 ωt 1 1/2 1/6 y(t) yst 最大动反应的求解 讨论 主要针对u展开 1）当u >T/2，最大动 位移发生在阶段Ⅰ 2）当0<u <T/2，最大动 位移发生在阶段Ⅱ 动力系数反应谱β(T,μ) Dynamics of Structures

  29. β 2.0 P(t) P0 1.8 1.6 tr t 1.4 1.2 1.0 0 1.0 2.0 3.0 4.0 （3）线性渐增荷载 动力系数反应谱β(T,tr ) 讨论：β与tr的关系 对于这种线性渐增荷载，其动力反应与升载时间tr的长短有很大的关系。 Dynamics of Structures

  30. y(t) c m k y ky 3.4 阻尼对受简谐荷载受迫振动的影响 简谐荷载 计算简图 方程的解 齐次解（ ）＋特解（ ） 设特解 m 列平衡方程 Dynamics of Structures

  31. β 动力系数反应谱 ξ=0 4.0 ξ=0.2 3.0 ξ=0.3 2.0 ξ=0.5 1.0 ξ=1.0 1.0 2.0 3.0 0 讨论 β与 和 的关系 1）当 或 时，可 以不考虑阻尼的影响 静荷载 位移为0 2）当 时，阻尼作用明显 共振 3）位移与动荷载相位差 关系 分三种情况 Dynamics of Structures

  32. P0sinθt W [例7] 当机器运转产生P0sinθt，P0=20kN，转速为400r/min，考虑阻尼的影响， ，求振幅及地基最大压力。 解:由[例15.2]已求出 1)荷载频率: 2)动力系数： 3)竖向振动振幅: 4)地基最大压力： Dynamics of Structures

  33. P(t) t t τ 3.5 有阻尼时的杜哈梅积分 有阻尼的瞬时振动（自由振动） 由冲量 引起的振动位移： 时刻τ的微分冲量对t 瞬时(t>τ)引起的动力反应： 有阻尼的平稳振动 微分冲量 地震作用 有阻尼杜哈梅积分 Dynamics of Structures

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