WYKŁAD 8. Siła spójności

1. WYKŁAD 8. Siła spójności A,B – dowolne podzbiory V(G) Ścieżkę P w grafie G o końcach a i b nazywamyA-B ścieżką, gdy Jeśli A={u}, B={v}, to piszemy u-v ścieżka.

2. Zbiory rozdzielające Mówimy, że zbiór wierzchołków (krawędzi) X rozdziela A i B, gdy każda A-B ścieżka zawiera element zbioru X. Mówimy, że X rozdzielaG, gdy w G-X istnieją wierzchołki u i v takie, że X rozdziela {u} i {v}. Wtedy zbiór X nazywamy, odpowiednio, cięciem wierzchołkowym lub cięciem krawędziowym.

3. Ilustracja A B X

4. Wierzchołki i krawędzie cięcia • Jeśli X={v} rozdziela dwa wierzchołki tej samej składowej grafu G, to v jest wierzchołkiem cięcia. • Krawędź, która rozdziela swoje końce, to krawędź cięcia. • Wierzchołek (krawędź) cięcia stanowi 1-elementowe cięcie wierzchołkowe (krawędziowe)

5. B_2 B_5 B_4 B_1 B_3 Bloki • Maksymalny, spójny podgraf H grafu G, bez wierzchołków cięcia (w H) nazywamy blokiem • Dwa bloki mają co najwyżej 1 wspólny wierzchołek, który jest wtedy wierzchołkiem cięcia grafu G;każda krawędź należy do innego bloku; G jest sumą swoich bloków.

6. 4 2 4 2 3 3 1 5 5 1 Graf bloków • Graf bloków grafu G to dwudzielny graf o dwupodziale (A, B), gdzie A to zbiór wierzchołków cięcia, B – zbiór bloków G, a krawędź łączy Fakt.Graf bloków jest lasem. (ćw.)

7. k-Spójność • Przyjmujemy, że każdy graf jest 0-spójny. • Dla k>0, graf G jest k-spójny, gdy |V(G)|>k i nie ma cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k (inaczej:G-X jest spójny dla każdego zbioru wierzchołków X mocy |X|<k). • Każdy spójny graf oprócz K_1 jest 1-spójny. • Blok jest maksymalnym 2-spójnym podgrafem, chyba, że jest mostem lub wierzchołkiem izolowanym.

8. Stopień spójności • Stopień spójności κ(G)to największe k, dla którego G jest k-spójny. • Np. κ(G)=0 gdy G jest niespójny; κ(K_n)=n-1 dla n=1,2,… • Jeśli G nie jest grafem pełnym, to κ(G)jest mocą najmniejszego cięcia wierzchołkowego w G.

9. Grafy 2-spójne Tw. Graf G jest 2-spójny wgdy można go otrzymać z cyklu przez sukcesywne dodawanie ścieżek zaczepionych obydwoma końcami w dotychczasowym grafie, tzn.istnieje ciąg grafów H_1,...,H_l, gdzie H_1 jest cyklem, H_l=G i dla każdego i=2,...,l graf H_i jest sumą H_{i-1} i ścieżki P_i o końcach u_i i v_i takiej, że Dowód na ćw.

10. P_i H_{i-1} Ilustracja

11. Krawędziowa k-spójność • Graf G jest k-krawędziowo-spójny, gdy |V(G)|>1 i nie ma cięcia krawędziowego mocy mniejszej niż k (inaczej:G-X jest spójny zawsze, gdy X jest zbiorem krawędzi mocy |X|<k). • Stopień spójności krawędziowej κ’(G)to największe k, dla którego G jest k- krawędziowo-spójny. • Równoważnie, κ’(G)to moc najmniejszego cięcia krawędziowego w G.

12. Krawędziowa k-spójność a RRD • Jeśli G ma k RRD, to G jest k-krawędziowo-spójny (oczywiste) • Jeśli G jest 2k-krawędziowo-spójny, to G ma k RRD (dowód na ćwiczeniach)

13. κ(G), κ’(G),δ(G) Twierdzenie (Whitney, 1932) Dowód: Prawa nierówność: Krawędzie incydentne z dowolnym wierzchołkiem stanowią cięcie krawędziowe. Lewa nierówność: Jeśli G=K_n, to κ(G)=κ’(G)=n-1.

14. X V_2 V_1 Lewa nierówność – c.d. • Niech X będzie najmniejszym cięciem krawędziowym w grafie G nie będącym grafem pełnym. • X można traktować jako dwudzielny podgraf grafu G z 2-podziałem V_1, V_2=V(G)-V_1. • Każda krawędź między V_1 i V_2 należy do X.

15. Lewa nierówność – dokończenie • Jeśli V_1={v}, to istnieje u taki, że uv nie jest krawędzią w G (w przeciwnym razie G byłby pełny). Wtedy sąsiedzi v tworzą cięcie wierzchołkowe (rozdziela u i v) mocy nie większej niż |X|. • Jeśli |V_1|,|V_2|>1, to istnieją v w V_1 i u w V_2 takie, że uv nie jest krawędzią w G.(ćw.) Biorąc po 1 końcu każdej krawędzi zbioru X, ale tak by ominąć v i u, otrzymujemy cięcie wierzchołkowe (rozdziela u i v) mocy nie większej niż |X|.

16. u v d(v)=δ X V_2 V_1 Ilustracja

17. Tw. Mengera (1927) • Jeśli istnieje k parami rozłącznych A-B ścieżek, to każdy zbiór wierzchołków rozdzielający A i B musi mieć moc co najmniej k. Tw 1. Niech A,B będą dowolnymi podzbiorami V(G). Wtedy najmniejsza moc zbioru wierzchołków rozdzielających A i B równa się największej mocy zbioru rozłącznych A-B ścieżek. Bez dowodu.

18. Ilustracja V_2 V_1

19. B A Tw. Königa raz jeszcze Wniosek 1 : Tw. Königa Dowód: Niech G będzie grafem 2-dzielnym o 2-podziale (A,B). Zbiór rozdzielający to pokrycie wierzchołkowe. Rozłączne A-B ścieżki to skojarzenie. 

20. A i B -- jednoelementowe • Dwie u-v ścieżki nazywamy niezależnymi, gdy ich jedynymi wspólnymi wierzchołkami są ich końce. Wn.2.Niech a i b będą wierzchołkami grafu G. • Jeśli a i b nie są połączone krawędzią, to moc najmniejszego zbioru wierzchołków różnych od a i b, rozdzielającego a i b, jest równa mocy największego zbioru niezależnych a-b ścieżek. • Moc najmniejszego zbioru krawędzi rozdzielających a i b jest równa mocy największego zbioru krawędziowo rozłącznych a-b ścieżek.

21. b a A B Dowód Wniosku 2 (ćw.) • Zastosuj Tw. 1 do A=N(a) i B=N(b) • Zastosuj Tw. 1 do grafu krawędziowego L(G), A=E(a), B=E(b)

22. Globalne Tw. Mengera Tw 2. (Menger, 1927) (i) Graf jest k-spójny wgdy zawiera co najmniej k parami niezależnych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków. (ii) Graf jest k-krawędziowo-spójny wgdy zawiera co najmniej k parami krawędziowo rozłącznych ścieżek pomiędzy każdą parą wierzchołków.

23. Dowód Tw. 2(i)  Jeśli G ma k niezależnych ścieżek między każdą parą wierzchołków, to |V(G)|>k i G nie może mieć cięcia wierzchołkowego mocy mniejszej niż k. Zatem G jest k-spójny.  Przypuśćmy, że k-spójny graf G zawiera wierzchołki a i b nie połączone k niezależnymi ścieżkami. .

24. Dowód Tw. 2(i)  c.d. • Z Wniosku 2(i), ab jest krawędzią. • Podgraf G’:=G-ab ma co najwyżej k-2 niezależne a-b ścieżki. • Ponownie z Wniosku 2(i), istnieje zbiór wierzchołków X mocy |X|<k-1 rozdzielający a i b w G’. • Ponieważ |V(G)|>k, to istnieje w G wierzchołek v taki, że

25. Dowód Tw. 2(i)  dokończenie • X rozdziela w G’ wierzchołek v od a lub b (powiedzmy od a). • Wtedy X powiększony o b rozdziela w G v i a, co przeczy k-spójności G. Dowód Tw. 2 (ii) -- ćwiczenia

26. Ilustracja a b v X