1 / 21

四川省中江县御河中学 邱定芳

四川省中江县御河中学 邱定芳. 三角函数与圆. 三角函数与圆. 思想方法提炼 感悟、渗透、应用 课时训练. 思想方法提炼. 三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出 现与角有关的求解问题，尤其会出现一些非特殊角求 其三角函数值的问题，或已知三角函数值求圆中的有 关线段长等问题.三角函数与圆的综合应用也是中考 中的热点问题之一. 感悟、渗透、应用. 【 例1】如图所示，已知 AB 为⊙ O 的直径， C 为 AB 延长线上的点，以 OC 为直径的圆交⊙ O 于 D ，连结 AD ， BD ， CD.

alka
Download Presentation

四川省中江县御河中学 邱定芳

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 四川省中江县御河中学 邱定芳 三角函数与圆

  2. 三角函数与圆 • 思想方法提炼 • 感悟、渗透、应用 • 课时训练

  3. 思想方法提炼 三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出 现与角有关的求解问题，尤其会出现一些非特殊角求 其三角函数值的问题，或已知三角函数值求圆中的有 关线段长等问题.三角函数与圆的综合应用也是中考 中的热点问题之一.

  4. 感悟、渗透、应用 【例1】如图所示，已知AB为⊙O的直径，C为AB延长线上的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AB=BC=2，求tan ∠A的值. 【解析】 (1)证∠CDO=90°即可，理由OC为圆的直径. (2)利用△BCD∽△DCA得到BD8DA的比值

  5. 解：(1)连结OD，∵OC为直径 ∴∠CDO=90° 又∵OD为⊙O的半径∴CD是⊙O的切线 (2)由切割线定理有：CD2=CB·CA=8∴CD=22 ∵∠BDC=∠A，∠BCD=∠DCA∴△BCD∽△DCA ∴ = ∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∴tan ∠A=

  6. 【例2】(2009年 四川省)已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于C，AE⊥CE, 交⊙O于D. (1)求证：DC=BC； (2)若DC:AB=3:5, 求sin∠CAD的值. 证明： 连接BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.又∠AEC=90°.∴BD//EC.∴∠ECD=∠BDC.∴BC=CD 又∠CAD=∠CAB ∴sin∠CAD=sin∠CAB=BC/AB=DC/AB=3/5.

  7. 【例3】已知：如图Z4-3，C为半圆上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F，【例3】已知：如图Z4-3，C为半圆上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F， (1)求证：AD=CD； (2)若DF=5/4，tan ∠ECB =3/4，求PB的长. 【分析】 (1)证△ACD为等腰三角形即可得. (2)先证明 CD=AD=FD，在Rt△ADP中再利用勾股定理及tan ∠DAP=tan ∠ECB=3/4，求出DP、PA、CP，最后利用△APC∽△CPB求PB的长.

  8. 解：(1)连结AC∵AC=CE∴∠CEA=∠CAE ∵∠CEA=∠CBA∴∠CBA=∠CAE ∵AB是直径∴∠ACB=90° ∵CP⊥AB∴∠CBA=∠ACP ∴∠CAE=∠ACP∴AD=CD (2)∵∠ACB=90°∠CAE=∠ACP ∴∠DCF=∠CFD∴AD=CD=DF=5/4 ∵∠ECB=∠DAP，tan ∠ECB=3/4 ∴tan ∠DAP=DPPA=3/4 ∵DP2+PA2=DA2 ∴DP=3/4 PA=1∴CP=2 ∵∠ACB=90°，CP⊥AB ∴△APC∽△CPB ∴ ∴PB=4

  9. 【例4】(2008年·河南省)已知如图所示，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE= . (1)求EM的长； (2)求sin ∠EOB的值. 【分析】 (1)用勾股定理求EC长，再用相交弦定理求EM的长. (2)构造Rt△EOF，利用三角函数求正弦值.

  10. 解：(1)∵DC为⊙O的直径∴DE⊥EC ∵DC=8，DE= ∴EC= =7 设EM=x，由于M为OB的中点∴BM=2，AM=6 ∴AM·MB=x·(7-x) 即6×2=x(7-x)，x2-7x+12=0 ∴x1=3，x2=4∵EM＞MC∴EM=4 (2)∵OE=EM=4∴△OEM为等腰三角形 过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=1 ∴EF= ∴sin ∠EOB=

  11. 【例5】(2008年·河南省)已知：如图所示，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点C，PD=8【例5】(2008年·河南省)已知：如图所示，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点C，PD=8 (1)求BC的长； (2)连结DC，求tan ∠PCD的值； (3)以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求 直线BD的解析式.

  12. 【解析】 (1)过O作OE⊥BC，垂足为E，则BE=EC，连结OD，则OD⊥DP 又∵DP⊥PB，∴四边形OEPD为矩形 ∴ OE=PD=8 ∵OB=1/2*AB=1/2×20=10 在Rt△OEB中，EB2=OB2-OE2=102-82=36 ∴EB=6，∴BC=2EB=12 (2)∵PB=PE+EB=DO+EB=16 ∴PC=PB-BC=16-12=4 在Rt△PCD中， DP=8， PC=4 ∴tan ∠PCD=PD/PC= =2

  13. 解： (1)BE=AB-AE=2(3-1) (2)连OD，则OD=3-1 ∵CD为⊙O的切线∴OD⊥CD ∴sin A= • 课时训练 1.如图所示，C是⊙O外一点，由C作⊙O的两条切线，切点为B、D，BO的延长线交⊙O于E，交CD的延长线于A，若AE=2，AB=23 求：(1)BE的长；(2)sin A的值.

  14. 3.△ABC中，AB=10，外接圆O的面积为25π，sin A，sin B是方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的个两根，其中m≠-5. (1)求m的值；(2)求△ABC的内切圆的半径. 解(1)设⊙O的内切圆的半径为r，⊙O的半径为R ∵πR2=25π∴R=5 因⊙O的内接△ABC的边AB=10=2R ∴AB是⊙O的直径，且∠ACB＝90°，则△ABC是直角三角形，从而∠A+∠B=90°，故sin B=cos A因sin A、sin B是一元二次方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的两个根，故 ①2-②×2得(sin A+cos A)2-2sin A·cos A 消去sin A和cos A，得m2-18m-40=0 解之得m=20或m=-2

  15. (2)当m=20时， 方程化为：25x2-35x+12=0 解之得 x=3/5，x=4/5 则sin A=3/5，sin B=45或sin A=4/5，sin B=3/5 即： AC=AB·sin B=10×4/5=8 BC=AB·sin A=10×3/5=6或AC=6，BC=8 于是内切圆半径r=1/2(a+b-c)= 1/2(8+6-10)=2 当m=-2时，方程化为x2+3x+4=0 ∵此方程无实根 ∴m=-2应舍去 ∴m=20，r=2

  16. 4.如图所示，抛物线y=ax2-3x+c交x轴正方向于A、B两点，交y轴正方向于C点，过A、B、C三点作⊙D，若⊙D与y轴相切.4.如图所示，抛物线y=ax2-3x+c交x轴正方向于A、B两点，交y轴正方向于C点，过A、B、C三点作⊙D，若⊙D与y轴相切. (1)求a、c满足的关系式； (2)设∠ACB=α，求tan α； (3)设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D的位置关系，并证明.

  17. 解：(1)A、B的横坐标是方程ax2-3x+c=0 的两根，设为x1，x2(x2＞x1)，C的纵坐标为c 又∵y轴与⊙D相切， ∴OA·OB=OC2∴x1·x2=c2， 又由方程ax2-3x+c=0和已知x1·x2= ∴c2= 即ac=1. (2)连结PD，交x轴于E，直线PD必为抛物线的对称轴， 连结AD、BD， ∴AE= AB，∠ACB= ∠ADB=∠ADE=α ∵a＞0，x2＞x1 ∴AB=x2-x1= ∴AE= 又ED=OC=c，∴tan α=

  18. (3)设∠PAB=β，∵P点坐标为( ) 又∵a＞0∴在Rt△PAE中，PE= ∴tan β= ∴tanβ=tan α∴β=α ∴∠PAE=∠ADE ∵∠ADE+∠DAE=90°∴∠PAE+∠DAE=90° 即∠PAD=90°∴PA和⊙D相切.

  19. 5.如图所示，已知A(5，-4)，⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相切于点D，5.如图所示，已知A(5，-4)，⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相切于点D， (1)求过D、B、C三点的抛物线的解析式； (2)连结BD，求tan ∠BDC的值； (3)点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线FG交DC于G，求sin ∠CGF的值.

  20. (3)求直线PC的解析式：y=-3/4x+6 设I为直线PC与y轴的交点，则I的坐标为(0，6) ∴ID=IC=10∴∠ICD=∠IDC ∴∠ICA=∠IDA=∠IDC+∠CDA=90° ∴∠ICO=∠BDC=∠PFD ∴∠CGF=∠GDF+1/2∠PFD=∠GDF+1/2∠BDC=∠HDF=45° ∵DA=AH=半径∴sin ∠CGF=sin 45°= . 解：(1)D(0，-4)，B(2，0)，C(8，0) ∴解析式为：y=-1/4x2+5/2x-4 ∴y=-(x-5)2+9/4 (2)由垂径定理，作BC中点H， 可证∠BDC=∠BAH，∴tan ∠BDC=tan ∠BAH=3/4.

More Related