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Digtlal Signal Processing —— Using MATLAB

Digtlal Signal Processing —— Using MATLAB. 第七章 FIR 滤波器设计. 数字频率 w 的概念. 定义： 其中： Ω= 2 π f 为模拟角频率 T: 抽样时间间隔， fs: 抽样频率 所以数字滤波器设计必须给出抽样频率 数字频率的 2 π 等价于模拟抽样频率 Ω s=2 π fs 按照 Nyquist 抽样定理，基带信号的频率特性只能限于 |w|<ws/2= π 的范围. 数字低通滤波器. π. 1. 数字高通滤波器. 数字滤波器幅度响应 (1). 1. 1. 数字滤波器幅度响应 (2).

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  1. Digtlal Signal Processing—— Using MATLAB 第七章 FIR滤波器设计

  2. 数字频率w的概念 • 定义： 其中：Ω=2πf为模拟角频率 T:抽样时间间隔，fs:抽样频率 所以数字滤波器设计必须给出抽样频率 • 数字频率的2π等价于模拟抽样频率Ωs=2πfs • 按照Nyquist抽样定理，基带信号的频率特性只能限于|w|<ws/2=π的范围

  3. 数字低通滤波器 π 1 数字高通滤波器 数字滤波器幅度响应(1)

  4. 1 1 数字滤波器幅度响应(2) 数字带通 数字带阻

  5. 7.1 概论 • 滤波器设计：给定技术要求设计系统 • 设计步骤： • 确定技术要求：由具体应用条件决定 • 提供一个逼近要求的滤波器的表述 • 根据表述实现滤波器 • 下面讨论时我们均假设技术要求已知

  6. 7.1.1 技术要求的给定 • 幅度要求： • 绝对指标要求：对幅度响应|H(ejw)|给出要求 • 相对指标要求：以分贝dB形式给出 • 相位要求：线性相位

  7. Passband ripple 通带波纹 Transition band 过渡带 Stopband ripple 阻带波纹 一、绝对指标要求(1)

  8. 绝对指标(2) • 频带 [0,wp] 称为 通带passband, δ1是在理想通带响应上可以接受的容度（或波纹） • 频带[ws,pi] 称为 阻带stopband,δ2是相应的阻带容度（或波纹） • 频带[wp, ws] 称为 过渡带transition band,在这个频带内幅度响应不作要求

  9. 二、 相对指标要求(1) 0

  10. 相对指标(2) • Rp:以dB计的通带波纹 • As:以dB计的阻带衰减 • 两种指标之间的关系： • Rp和 As的计算见P214 ex7.1 & ex7.2

  11. 三、为什么只讨论低通滤波器(LPF) • 上述指标都是针对低通滤波器的 • 其他类型的频率选择性滤波器(如高通或带通)也能给出类似要求 • 滤波器设计最重要的参数是频带容限和频带边缘频率

  12. 四、技术指标举例 • 设计一个低通滤波器，它具有一个通带 [0,wp] ，通带内频带容限为δ1(或Rp，单位 dB)，一个阻带[ws,pi]，阻带内容度为δ2(或As,单位dB) • 最后求得结果是得出滤波器的系统函数H(z)或差分方程

  13. 五、FIR滤波器的优点 • 相位响应可以真正线性 • 系统绝对稳定，设计相对容易 • 高效实现 • 可用DFT实现 • 实际应用时，我们感兴趣的是线性相位的FIR滤波器

  14. 六、线性相位响应的优点 • 设计问题中仅有实数运算 • 时延固定，没有时延失真 • 对长为M的滤波器，运算次数只有M/2量级

  15. 7.2 线性相位FIR滤波器性质 • 包括脉冲和频率响应的形状，系统函数零点的位置 • 设h(n)是长为M的脉冲响应，0≤n≤M-1，则 在原点z=0处有 (M-1)阶零点，在z平面其它处有 M-1个零点，频率响应函数可写为

  16. 线性相位的脉冲响应形状(1) • 因为频率响应函数具有线性相位 这里是恒定相位延迟(constant phase delay)，由第6章知，h(n)是对称脉冲响应 因此，h(n)关于对称，根据M的奇偶有两种对称类型

  17. 线性相位的脉冲响应形状(1)

  18. 线性相位的脉冲响应形状(2) • 第二类线性相位满足条件 相位响应不通过原点，但斜率恒为常数，此时称群时延( group delay)，可知h(n)是反对称脉冲响应 h(n)仍然关于对称，根据M的奇偶有两种对称类型

  19. 线性相位的脉冲响应形状(2)

  20. 对应频率响应特性H(ejw) • 将M为奇和偶数结合对称和反对称的情况， 得到四种类型的线性FIR滤波器 • 对应每种类型其频率响应特性都有独特性质，令 其中，Hr(w)是连续的振幅响应函数，可正可负的实函数 相位响应是一个不连续函数

  21. 例：设脉冲响应为h(n)={1，1，1，1}，求出并画出频率响应例：设脉冲响应为h(n)={1，1，1，1}，求出并画出频率响应 • 解：频率响应函数为 由方程可得：

  22. I类线性相位：对称脉冲响应，M为奇数 • 这种情况下，beta=0，alpha=(M-1)/2是整数 h(n)=h(M-1-n)， 0≤n≤M-1 将两式比较可得：

  23. II类线性相位:对称脉冲响应，M为偶数 • 这种情况下，beta=0，alpha=(M-1)/2不是整数 h(n)=h(M-1-n)， 0≤n≤M-1 注意： Hr(pi)=0,因此不能采用这种类型设高通or带阻滤波器

  24. III类线性相位：反对称脉冲响应，M为奇数 • 这种情况下，beta=pi/2，alpha=(M-1)/2是整数 h(n)=-h(M-1-n)， 0≤n≤M-1 Hr(0)=Hr(pi)=0, 因此这种滤波器不适合设计低通或高通滤波器 exp(jpi/2)=j，这种特性非常适合设计希尔伯特变换器和微分器

  25. IV类线性相位：反对称脉冲响应，M为偶数 • 这种情况和II类似，有 Hr(0)=0 and exp(jpi/2)=j.因此这种类型适合用于设计数字希尔伯特变换器和微分器

  26. MATLAB实现 • Hr_type1:求I类线性相位的Hr(w) • 调用格式：[Hr,w,a,L]=Hr_type1(h) • Hr_type2:求II类线性相位的Hr(w) • 调用格式：[Hr,w,b,L]=Hr_type2(h) • Hr_type3:求III类线性相位的Hr(w) • 调用格式：[Hr,w,c,L]=Hr_type3(h) • Hr_type4:求IV类线性相位的Hr(w) • 调用格式：[Hr,w,d,L]=Hr_type4(h)

  27. 小结 • 了解了线性相位FIR滤波器的各种特性，便可根据实际需要选择合适的FIR滤波器，同时设计时要遵循有关约束条件。 • 如：第3、4种情况，对于任何频率都有固定的π/2相移，一般微分器及90°相移器采用这两种情况，而选频性滤波器则用第1、2种情况。

  28. (1)设计线性相位的低通Digtal Filter • 从幅度特性考虑，只能选择第1种或第2种 • 第一种： • 第二种

  29. (2)设计线性相位的高通DF • 从幅度特性看，可用第一种或第四种 • 第一种 • 第四种

  30. (3)设计线性相位的带阻DF • 从幅度特性考虑，只能选择第一种

  31. (4)设计线性相位的带通DF • 从幅度特性考虑，可以选择任一种

  32. 线性相位滤波器的零点位置 • 对实序列而言，零点是共轭出现的; • 对对称序列而言，零点是镜像出现的; • 令q=z –1,f(q) 的系数与f(z)刚好倒序. • 由于h(n)的系数是对成的，倒序并不会改变系数. • 如果zk是多项式的根 ，则pk=zk-1也是.

  33. 对称系数多项式的镜像零点 • 如果 zk满足多项式: h0+h1zk-1+ h2zk-2 +..+ hM-2zk-M+2 + hM-1zk-M+1=0 此时 hM-1=h0 ,hM-2 =h1,… • 那么 rk = zk–1 同样会满足方程 h0+h1rk+ h2rk2 + …+ h1rkM-2 + h0rkM-1 = h0zkM-1 + h1zkM-2 + … + h2zk2+ h1zk + h0 = zkM-1(h0+ h1zk-1 + …+ h1zk-M+2 + h0zk–M+1) =0

  34. 1/conj(z1) z1 conj(z1) 1/z1

  35. 特殊的 • 如果零点为实数，则只有两个零点：z2,1/z2 • 如果零点在单位圆上且为虚数，则只有两个零点z3,z3* • 如果零点在单位圆上且为实数，则只有一个零点z4

  36. 7.3 窗口设计法 • 设计步骤 • 给定要求设计的理想滤波器的频率响应Hd(ejw) • 设计一个FIR滤波器频率响应H(ejw) • 由于设计是在时域中进行，使所设计滤波器的h(n)去逼近理想单位取样响应序列hd(n)

  37. 理想滤波器的频率响应Hd(ejw) • 设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejw)，对应脉冲响应为hd(n)，则它们满足关系： 若已知Hd(ejw)，即可求出hd(n)，再经过z变换，就可以求出系统函数H(z)，从而设计出系统 一般情况下，Hd(ejw)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而hd(n)是无限时宽的，且是非因果序列。

  38. 例：理想低通滤波器的传输函数Hd(ejw) • 无失真的理想低通的传输函数为 相应的单位取样响应hd(n) 由上式可知，hd(n)无限长，且为非因果序列

  39. 理想低通滤波器的Hd(ejw)和h(n)波形

  40. 设计实现一个FIR滤波器H(ejw) • 设实际实现的低通滤波器单位取样响应为h(n)，长为N，其系统函数 • 设计过程相当于找到一个有限长序列h(n)，去逼近理想低通的hd(n)，这必然会引入误差——频域的吉布斯(Gibbs)效应(截断效应) • 后果：引起通带和阻带内的波动效应，尤其是使阻带衰减减小

  41. 例：设计截止频率wc=/3时延为6的具有线性相位的FIR低通滤波器例：设计截止频率wc=/3时延为6的具有线性相位的FIR低通滤波器 • 为了构造一个长为N的线性相位滤波器，只有将hd(n)截取一段，并保证对(N-1)/2对称 • 设截取的段用h(n)表示，则 • 其中W(n)：长为N的窗函数(这里取矩形序列)当τ=(N-1)/2时，截取的h(n)对(N-1)/2对称，保证设计的滤波器具有线性相位

  42. 这里，hd(n)是以n=6为中心偶对称的无限长序列 现用一个有限长N=13的因果序列h(n)逼近它 最简单的方法：给hd(n)加矩形窗RN(n)， 即令W(n)=RN(n)，则

  43. 低通滤波器脉冲响应波形截断处理示意图 截断处理后，由于h(n)满足对称脉冲响应，所以一定满足第一类线性相位

  44. 设计步骤 • 先由Hd(ejw)求付里叶反变换hd(n). • 砍头去尾。 • 因为我们要设计FIR滤波器h(n)必须满足： • 因果性： t<0时， h(n) =0-->砍头 • 线性相位：要求h(n)中心对称或反对称，由于砍头，所以必须去尾，让它们中心对称。 即用有限长的h(n)去逼近无限长的hd(n). • 利用卷积过程。即h(n)=W(n)×hd(n) 可见窗函数序列的形状及长度的选择是设计关键。

  45. 窗口法设计数字滤波器 • 主要任务：寻找最有效的方法截断hd(n)，即用一个有限长度的窗口函数序列W(n)来截取hd(n)，使H(ejw)最逼近Hd(ejw) • 通过加窗可得到不同类型的数字滤波器 • 数字低通 • 数字高通 • 数字带通 • 数字带阻

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