第二章关系与序关系

第二章关系与序关系 • 关系的概念 • 关系的表示 • 关系的性质 • 等价关系 • 关系的运算 • 偏序关系

2.1 关系的概念 [例]设A={Alice,Bob,Tom}, B={Algebra,Graphs, Sets} Alice选修了Graphs, Bob选修了Algebra, Graph和Sets; Tom选修了Algebra,Graphs; R={<Alice,Graphs>,<Bob,Algebra>,<Bob,Graphs>,<Bob,Sets>,<Tom,Algrbra>,<Tom,Graphs> }  AB, 表示了学生集合A与课程集合B之间的选修关系。

2.1 关系的概念 [二元关系的一般性描述]一对对象之间的关系称为二元关系。 [例]teachers={a,b,c}，students={x,y,z} 建立教学关系 T: aTx iff a TEACHING x 用序偶集合表示为： T = {<a,x>,<a,z>,<b,y>,<c,y>,<c,z>} T  teachers  students 图示为：

2.1 关系的概念 [例]Subroutines={a,b,c,d,e} 子程序间调用关系图示为： Calling={<a,a>,<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>,<c,c>, <c,e>, <d,d>} Calling  Subroutines  Subroutines

2.1 关系的概念 [二元关系的集合定义]设X,Y是两个集合， X  Y的任何一个子集R 都确定了一种二元关系，称为从X到Y的二元关系。 • <x,y>R可记为 xRy，显然 R  X  Y <x,y>R可记为 xRy • 当 X=Y 即 X 与 Y 同一时，称 R 为 X 上的一个二元关系。

2.1 关系的概念 [例] F={<x,y>| x是y的父亲} S={<x,y>| x,y为正整数且x可整除y} T={<y2,y>| y为实数} • 对上述的：x，y，R，有<x,y>R 或<x,y>R，二者必居其一。

2.1 关系的概念 [定义域] 设二元关系S。由 <x,y>S的所有对象 x 组成的集合称为S的定义域，记为Dom(S) 。 [值域] 由<x,y>S的所有对象 y 组成的集合称为S的值域，记为Ran(S) (Range(S))。记 F(S) = D(S)  R(S) ，称为 S 的域。 • 描述：Dom(S) = {x| (y)(<x,y>S)} Ran(S) = {y| (x)(<x,y>S)}

2.1 关系的概念 • 若干特殊关系： ① X 到Y 的全域关系： Ex,y = XY 特别地：Ex,x = XX ② 空关系： ③ 恒等关系：Ix = {<xi,xi>|xiX} [例] 设 X={1,2,3,4}，求 X 上的关系 “ > ”(大于)及其定义域、值域。

<xi,yj>R • 0 其它 MR=[mij]mn， mij= 2.2 关系的表示方法 (1) 集合表示法借用集合的各种描述方法对表示关系的序偶集合进行描述 (2) 关系矩阵设 X={x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，m,n <+ R是X到Y的二元关系。构造矩阵

2.2 关系的表示方法 [例] 非0行对应元素构成 D(S) 非0列对应元素构成 R(S)

2.2 关系的表示方法 (3) 关系图表示法用结点表示X、Y上的元素；若 <x,y>R 则从结点x到结点y画一条弧。 [例] 上述Teaching关系的关系图：

2.2 关系的表示方法 [例] 设 X={1,2,3,4}，X 上的关系 “ > ”：

2.3 关系的性质 [定义] 设R是X上的二元关系，则： ① R 是自反的(x)(xXxRx) ② R 是对称的(x)(y)(x,yXxRyyRx) ③ R 是传递的(x)(y)(z)(x,y,zXxRyyRz xRz) ④ R 是反自反的(x)(xX¬(xRx)) ⑤ R 是反对称的(x)(y)(x,yXxRyyRx x = y)

2.2 关系的性质 [习题]设 X={1,2,3,4}，画出X 上的关系 “ > ”，“”和整除“|”的关系图和关系矩阵，并判断其性质。 [习题] 集合上的”is an element”以及”is a subset”具有什么性质？

2.3 关系的性质 [例] 正整数集合上的若干关系及其性质 • 判定关系“＜”的反对称性的前提条件总为F, 反对称性成立。

2.3 关系的性质 • 从关系矩阵和关系图看关系的性质： • R是自反的：MR的对角元均为1；关系图为自环图。 • R是对称的：MR为对称矩阵；关系图中弧成对出现。 • R是反自反的：MR的对角元均为0；关系图为无自环图。 • R是反对称的：MR为反对称矩阵；关系图中只出现单向弧。

2.3 关系的性质 • 存在着既非自反也非反自反的关系，如： • 存在着既对称又反对称的关系，如：

2.3 关系的性质 • 存在着既非对称又非反对称的关系，如：

2.4 集合的划分与覆盖 [定义] 给定集合S，A={A1,A2,…,An}，AiS，i=1..n。 ② 若①成立且AiAj = (若ij)，则说A是S的一个划分，并称 A1,A2,…,An为此划分的块。

2.4 集合的划分与覆盖 [例]N={0,1,2,3,4,……} 自然数集合。取 A0={0,6,12,18,……} A1={1,7,13,19,……} A2={2,8,14,20,……} …… A5={5,11,17,23,……} 则 A={A0， A1， A2， A3， A4， A5}是N的一个划分。

2.4 集合的划分与覆盖 [例]S={a,b,c} 取 A = {{a},{b},{c}} B = {{a,b},{c}} C = {{a,b,c}} 均构成对S的划分。显然有 |A| > |B| > |C| 可以将 A 称为最大划分；将 C 称为最小划分。

关系IX具有自反、对称和传递性； • 设 X={1,2,3,4}，写出X上的模２同余关系，并判断其是否具有自反、对称和传递等性质。 • 具有自反、对称和传递性的关系称为等价关系。

2.5 等价关系 [等价关系]集合X上的关系R若具有自反性、对称性和传递性，则称R为X上的一个等价关系。 [例]N上的模6同余关系 R={<x,y>|x,yN  (xy)=6L，L为整数} 自反性：对称性：传递性：

2.5 等价关系 [定理] N上的模m同余关系是等价关系。 [证明] 自反性： xx = 0，故 xx = mL，这里L=0。对称性：设 xRy即 xy=mL，L为整数则 yx= mL，故 yRx。传递性：设 xRy且 yRz，即 xy=mL1，yz=mL2 ，L1、L2为整数则 xz = mL1+mL2=m(L1+L2) 故 xRz

2.5 等价关系 [等价类]设R为X上的一个等价关系，对任何xX，所有与x有关系R的元素的集合，称为X上由x生成的R–等价类。记为 [x]R。 [x]R={y|yX  xRy} [例]X={1,2,3,4,5,6,7}，R为X上的模3同余关系。则 [1]R={1,4,7}，[2]R={2,5}，[3]R={3,6}

2.5 等价关系 [性质] 设R为X上的一个等价关系，则 ①X中的任何一个元素，至少属于一个等价类。 ② 若x,yX，则x,y或属同一等价类，或属两个不同等价类但此两个不同等价类的交集为（不相交）。 [证明]

2.5 等价关系 [结论] 对X上的等价关系R， ①任意xX属于且只属于一个等价类； ②若xRy，则[x]R = [y]R ，否则 [x]R [y]R = 。

2.5 等价关系 [定理]集合X上的一个等价关系R产生对此集合的一个划分，该划分的块对应于R的等价类。 [证明] 由上述结论得到。 • 将该划分记作：X/R={[x]R|xX}

2.5 等价关系 [定理] X上的任意划分均可确定一个等价关系。 [证明] 设X上的一个划分为 A={A1, A2,…, An}，定义 R={<x,y>|x,yX(Ai)(AiAxAiyAi)} 可以证明R具有自反性：对称性：传递性：

2.5 等价关系 [问题] • X上由不同方法定义的等价关系R1、R2，若产生的等价类相同，则R1=R2。 • 不等价关系也能产生划分。

2.6 相容关系 [相容关系]X上的二元关系R，若R是自反的、对称的，则称R为X上的一个相容关系，记作  。 [例]X={2661,243,315,648,455} R={<x,y>|x,yX，x与y至少含有一个相同数字} 容易看出，R具有自反性、对称性。 R不具有传递性：如 <2661,243>,<243,455>R 但 <2661,455>R 因此R不是等价关系，R是一个相容关系。

2.6 相容关系 [相容类]设 A X， 是X上的一个相容关系。称A是X上的一个相容类当且仅当A中任二元素相容。即 (x)(y)(x,yAxy)。 [最大相容类]设 A是X上的一个相容类，若X-A中不存在与A中所有元素相容的元素，则称A为X的一个最大相容类。 • 在相容关系的关系图中，最大相容类对应于一个最大完全子图。

2.6 相容关系 例如，在上图表示的相容关系中，最大相容类为: {a, b, d , f}, {d, c ,f}, {d, e}, {g} [问题]相容类与覆盖的关系。

2.7 关系的运算 (1) 关系的一般运算 [定义]设 R、S是X到Y的二元关系，定义运算如下： RS={<x,y>|xRyxSy} RS={<x,y>|xRyxSy} RS={<x,y>|xRyxSy} ~R=XYR

2.7 关系的运算 (2)关系的复合运算 [复合关系]设二元关系R:XY，S:YZ，则称 SR={<x,z>|xXzZ(y)(yYxRyySz)} 为R和S的复合关系。 • 注意, 关系的复合运算定义和函数复合保持了一致。在某些课本上，以上关系的复合记作R S。

2.7 关系的运算 [例]X={x1, x2, x3}，Y={y1, y2, y3, y4}，Z={z1, z2, z3} R={<x1,y1>,<x2,y3>,<x2,y4>} S= {<y1,z3>,<y2,z1>,<y4,z2>} S R={<x1,z3>,<x2,z2>} • 显然有：Dom(S R)  Dom(R) • Ran (S R)  Ran(S)

2.7 关系的运算 • 关系的复合运算没有交换律。 [定理]关系复合运算的结合律：设二元关系 R：XY，S：YZ， P：ZW，则有 (P  S)  R= P (S  R) [证明]

2.7 关系的运算 [定理]关系复合运算与一般运算的结合律：设二元关系R1, R2 ：XY， S1 , S2：YZ，则有 • (S1 S2) R1 =(S1 R1)(S2 R1) • (S1S2)R1(S1R1)(S2R1) • S1(R1R1) =(S1R1)(S1R2) • S1 (R1R2) (S1R1)(S1R2) [证明]

2.7 关系的运算 [关系的幂运算] 设R为X上的二元关系，RR…R 记为Rn，规定 Rn=Rn1R，R0=IX

2.7 关系的运算 (3) 关系的逆运算 [逆关系]设二元关系 R：XY，定义 R-1={<y,x>|xXyY<x,y>R} 为R的逆关系。 [性质] • (R-1)-1 =R，-1 =  • (RS)-1 = R-1S-1，(RS)-1 = R-1S-1 • (~R)-1 = ~ (R-1) • (SR)-1 =R-1S-1 • R=S  R-1=S-1 RS  R-1S-1

2.7 关系的运算 [问题] 设Ａ上关系R，S的关系矩阵分别为ＭR, MS, 试求SR的关系矩阵。

2.7 关系的运算 (4) 关系的闭包运算 [闭包]设R为X上的二元关系，若另有一关系R ，满足： ①R 是自反的（对称/传递）； ②R  R ； ③ 对于任何自反（对称/传递）的关系R，若 R  R ，则R  R  。则称 R为R的自反（对称/传递）闭包，记为r(R) (s(R) / t(R))。

2.7 关系的运算 [例] 整数集上的“＜ ”关系的自反闭包是“≤”，对称闭包是“≠”，传递闭包仍然是“＜ ”。 [例] 整数“= ”的自反、对称、传递闭包都是它本身。 [例] 有关系矩阵求 Mr (R) 、 Ms (R) 、 Mt (R)

2.7 关系的运算

2.7 关系的运算 [定理] 设R为X上的二元关系，则 ① r(R) = RIx ② s(R) = RR-1 [证明]　③ 1) R t(R )(t( R) 表示右式无穷并） 2)t(R ) 是传递的； 3) 如果R’是包含R的传递关系，则对于任意n, RnR’, 所以，t(R ) 是包含R的最小传递关系。

2.7 关系的运算 问题：如何求传递闭包呢？设R是A上的关系，　|A|=n, 则 t(R) = R R1 …  Rn 这是因为如果从x到y有道路相连，则存在长度不超过n的道路。求传递闭包的Washall算法。参阅课本。

2.7 关系的运算 容易证明： • R是自反的当且仅当r(R) =R； • R是对称的当且仅当s(R ) = R; • R 是传递的当且仅当t(R ) = R. 问题：设R是A上的关系 • r(RS) = r(R )  r(S)? • s(RS) = s(R )  s(S)? • t(RS) = t(R )  t(S)? 如果将并换成交呢？

2.8 偏序关系 [偏序关系(partial order)]集合A上的一个关系R满足自反性、反对称性和传递性时，称R是A上的一个偏序关系，记为“  ”，用二元组〈A,  〉表示该偏序结构，或称之为偏序集。 [例]A={2,3,6,8}, “  ”={<x,y>|x,yA (x整除y)} “  ”= {…….. } 容易验证，上述关系为偏序关系。

2.8 偏序关系 • x、y之间存在偏序关系时，说 x、y（在该关系下）可比较，否则说 x、y不可比较。上例中，2和3不可比较（在上述定义的“  ”下）。 [盖住]盖住（紧邻遮盖）。设〈A,  〉，x，yA， y盖住x  xyxy(z)((xzzy)(x=zy=z)) 记 covA={<x,y>|x,yA(y盖住x)}

2.8 偏序关系 • 表达偏序关系的 Hasse图设有偏序关系 <A,  > ① 用结点表示集合元素 ② 若<x,y>  covA，则用线段连接结点x,y，且令x(小者)在y的下方。

第二章 关系与序关系