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数 学 说 题

已知抛物线 交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B 、 C （点 B 在点 C 的右侧）．过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l ，在位于直线 l 下方的抛物线上任取一点 P ，过点 P 作直线 PQ 平行于 y 轴交直线 l 于点 Q ．连接 AP ． 写出 A 、 B 、 C 三点的坐标； 点 P 位于抛物线的对称轴的右侧： 如果以 A 、 P 、 Q 三点构成的三角形与△ AOC 相似，求出点 P 的坐标；

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数 学 说 题

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Presentation Transcript

  1. 已知抛物线 交y轴于点A，交x轴于点B、C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y轴的直线l，在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP． • 写出A、B、C三点的坐标； • 点P位于抛物线的对称轴的右侧： • 如果以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标； • 若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上．若存在，求出直线AP的解析式；若不存在，试说明理由． y Q A l P C B O x 知识点涉及：函数图象与坐标轴的交点，相似三角形性质，轴对称变换性质，勾股定理，用待定系数法求函数解析式，可考查学生的运算能力几何直观探究推理能力，培养学生分类讨论思想、数形结合思想、方程思想 。

  2. 数 学 说 题 东湖中学 葛利妹

  3. 说题流程 二、题目立意 三、试题解法 一、试题来源 四、数学思想方法 七、潜在价 值、教 学价值 五、变式与拓展 六、中考链接

  4. 一、试题来源 本题是二次函数综合题 2012年浙江省衢州市龙游华外中考数学模拟卷 2012年浙江省杭州市上城区中考数学二模试卷

  5. 二、题目立意 1、知识点涉及：函数图象与坐标轴的交点， 相似三角形性质，轴对称变换性质，勾 股定理，用待定系数法求函数解析式 2、考查学生的运算能力、几何直观、探究 推理能力 3、培养学生分类讨论思想、数形结合思想、 方程思想

  6. 三、试题解法 解：（1）由题意得，y=-x2+3x+4=-（x-4）（x+1），故可得：A（0，4），B（4，0），C（-1，0）， 归纳小结： 根据抛物线的解析式即可得出点A、B、C的坐标

  7. 三、试题解法 解（2）过点M作x轴的垂线交l于E，交另一条直线 于F， ①1）若△PQA∽△AOC，则AQ/QP=OC/AO， 即x/（x2-3x）=1/4， 解得：x=7；2）若△AQP∽△AOC，则AQ/QP=AO/OC， 即x/（x2-3x）=4/1， 解得：x=13/4综合1）2）可得点P均在抛物线对称轴的右侧， ∴点P的坐标为(13/4，51/16)或(7，-24)， 归纳小结： 分两种情况讨论： ①△PQA∽△AOC， ②△AQP∽△AOC，继而根据相似三角形的对应边成比例可得出点P的坐标

  8. 三、试题解法 解（2）过点M作x轴的垂线交l于E，交另一条直线于F，②设点Q（x，4），P（x，-x2+3x+4），则PQ=x2-3x=PM，∵△AEM∽△MFP．则有 AM/ME=MP/PF，∵ME=OA=4，AM=AQ=x，PM=PQ=x2-3x，解得：PF=4x-12， ∴OM=（4x-12）-x=3x-12，Rt△AOM中，由勾股定理得OM2+OA2=AM2，∴（3x-12）2+42=x2，解得x1=4，x2=5，均在抛物线对称轴的右侧，故点P的坐标为（4，0）或（5，-6）．即可得直线AP的解析式为y=-x+4或y=-2x+4 归纳小结：设点Q（x，4），P（x，-x2+3x+4），从而表示出PQ，结合△AEM∽△MFP，利用相似三角形的性质可得出关于x的方程，继而解出后检验即可得出答案

  9. 四、数学思想方法 数学思想 1、分类讨论思想 2、方程思想 3、数形结合思想 数学方法 待定系数法

  10. y Q A l P C B O x 五、变式与拓展 1、以A为旋转中心，将△AQP逆时针旋转90度，若P点的对应点是点N，则当点N落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标。

  11. y Q A l P C B O x 五、变式与拓展 2、是否存在以AP为直径的圆与x轴相切，若存在，求出点P的坐标。

  12. 五、变式与拓展 y Q A l P C B O x 3、动点F从A点开始，以每秒 个单位的速度沿AQ方向在射线AQ上运动，动点G从A点开始以每秒4个单位速度沿AB方向在射线AB上运动．设动点F、G同时出发运动时间为t，问在抛物线上是否存在点H；使以A、G、H、F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出相应t的值和H的坐标；若不存在，请说明理由

  13. 六、中考链接 （2012•仙桃）如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点． （1）求抛物线解析式及点D坐标；（2）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（3）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

  14. 七、潜在价值、教学价值 此题可以在初三第二轮复习时作为例题使用，通过本题教学提高学生的运算能力、几何直观、探究推理能力，培养学生分类讨论思想、数形结合思想、方程思想。

  15. 谢谢大家! 4.12/2013

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