第四章线性规划

第四章线性规划

目标函数和约束条件都是线性的优化问题称为线性规划问题目标函数和约束条件都是线性的优化问题称为线性规划问题

第一节线性规划的标准形式与基本问题 例4-1某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产品每件需要材料9Kg、3个工时、4kW电，可获利60元。生产乙种产品每件需要材料4Kg、10个工时、5kW电，可获利120元。若每天能供应材料360Kg、有300个工时、能供200kW电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。解设每天生产的甲、乙两种产品分别为件，则此问题的数学模型如下

线性规划的标准形式

简化形式

约束条件包括两个部分：等式约束条件、变量的非负条件。不等式约束条件可以转化成等式约束条件约束条件包括两个部分：等式约束条件、变量的非负条件。不等式约束条件可以转化成等式约束条件

非负条件的满足 在所有有实际意义的线性规划问题中，总有m<n。

线性规划的基本性质

用代数解法求解约束方程时，由于变量数n=5，方程数m=3，m<n，故有无穷多解。若在5个变量中使其中p=n-m=2个变量取零值，则当方程组有解时，其解是唯一的。这样的解称作基本解，其个数为用代数解法求解约束方程时，由于变量数n=5，方程数m=3，m<n，故有无穷多解。若在5个变量中使其中p=n-m=2个变量取零值，则当方程组有解时，其解是唯一的。这样的解称作基本解，其个数为

名词： • 基本解 • 可行解 • 基本可行解 • 基向量

第二节单纯形法 从一个基本解转到另一个基本解把约束条件的线性方程组Ax=b写成展开的形式

利用高斯消去法可以得到下式

继续上述过程，得到： 这一方程组称作正则方程组。（此过程就是高斯—约当消元过程）从而得到一组基本解

例4-2 给定一个方程组 试进行基本解的转换计算。从而的一组基本解

从一个基本可行解转到另外一个基本可行解

要保证上式仍然是基本可行解，则m个变量中至少有一个变为0，其余均大于0。要保证上式仍然是基本可行解，则m个变量中至少有一个变为0，其余均大于0。

初始基本可行解的求法： 当用添加松弛变量的方法把不等式约束转换成为等式约束时，我们可以发现这些松弛变量就可以作为初始基本可行解中的一部分基本变量。

单纯形法 对于可行解（若由前m个变量组成可行解的基本变量时），目标函数可以写成

计算时，也可以直接把目标函数和约束条件同时列为转轴运算方程组。采用边计算可行解，边校验目标函数值的变化情况的方法来求最优解。这时，对于极小化问题，只要计算时，也可以直接把目标函数和约束条件同时列为转轴运算方程组。采用边计算可行解，边校验目标函数值的变化情况的方法来求最优解。这时，对于极小化问题，只要

单纯形法的运算过程主要是围绕两个规则进行：单纯形法的运算过程主要是围绕两个规则进行：一是θ规则，用来说明如何进行基本变量中的变量交换，使一个可行解通过转轴运算转换成另一个新的基本可行解。二是最速度化规则，用来评价哪一组可行解是最优解。这两个规则的运算可以用矩阵的运算来表述，而且转轴运算可以直接调用标准程学，如高斯消去法或高斯—约当消去法程序进行。为此，在这里给出有关运算的矩阵表述。前已说明，线形规划问题的标准形式可以写成下面的一种矩阵形式

单纯形应用例子 例5-3 某建筑单位拟盖一批2人、3人和4人的宿舍单元，要确定每一种宿舍单元的数目，以获得最大利润。其限制条件如下： 1）预算不能超过9000千元。 2）宿舍单元总数不得少于350套。 3）每类宿舍单元的百分比为：2人的是不超过总数的20%，3人的是不超过总数的60%，4人的是不超过总数的40%（百分比总和超过100，这是上限）。 4）建造价格为：2人的宿舍单元是20千元，3人的宿舍单元是25千元，4人的宿舍单元是30千元。

5）净利润为：2人的宿舍单元是2千元，3人的宿舍单元是3千元，4人的宿舍单元是4千元。5）净利润为：2人的宿舍单元是2千元，3人的宿舍单元是3千元，4人的宿舍单元是4千元。解根据上述条件，利润总数就是目标函数。

结果表明：2人宿舍应是70个单元，3人宿舍应是160个单元，4人宿舍应是120个单元。这时的总利润是1100000元。结果表明：2人宿舍应是70个单元，3人宿舍应是160个单元，4人宿舍应是120个单元。这时的总利润是1100000元。下面进行约束条件的校核。 1）总投资为1400000+4000000+3600000=9000000元是对的。 2）宿舍单元数是70+160+120=350也是对的。 3）每类宿舍所占百分比的限制

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