第 3 章 資料和程式表示法

1. 第 3 章資料和程式表示法

2. 數位邏輯 • 硬體工程師使用邏輯閘設計電腦 • 數位輸入或輸出有兩種可能的狀態： • 5V 和 0V • high 和 low • true 和 false

3. 資料表示法 • 依照階層概念，資料表示法架構 於數位邏輯之上。 • 集合多個布林位元成為 • 數字 • 字元 • 位址

4. 位元（Bit） • 數位邏輯數值的直接表示方式 • 描述數位的兩個可能值： 0 和 1 • 多個位元可以代表更複雜的資料

5. 位元組（Byte） • k位元所組成的位元組 • K值並沒有任何的強制規定 • 位元組範例： • CDC使用 6位元的位元組 • BBN使用10位元的位元組 • IBM 使用10位元的位元組 • 現代電腦使用8位元的位元組

6. 位元組大小和數值 • 許多電腦使用位元組位址當作最小的記憶體單位。 • 6位元可以代表 64個數值 • 8位元可以代表256個數值

7. 二進位表示法

8. 位元意義 • 位元本身並沒有任何意義 • 相關的位元意義通常是由其硬體和軟體來加以詮釋

9. 直譯範例 • 比如：可以使用三個位元，來代表三個電腦周邊設備的狀態，如下： • 如果第一位元為1，表示磁碟已經連線。 • 如果第二位元為1，表示印表機已經連線。 • 如果第三位元為1，表示鍵盤已經連線。

10. 數值 • 最常使用的階層概念，就是把位元組合後，當作數值。 • 比如：二進位整數 • 使用前後順序的位置關係，來代表基底的冪次高低 。

11. 位置冪次的轉譯 • 考慮下列的二進位範例： 010101 • 根據位置冪次觀念，數值應解譯成： 0×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20=21

12. 數值範圍 • 一組k位元的組合可以用來代表整數，使用傳統的位置冪次觀念，k位元數值可以代表0到2k-1。

13. 十六進位觀念 • 為了幫助人們表示二進位數值 ，可以使用16進位數值 。 • 每四個二進制位元編成單一的16進位之位數（代表0～15） 。

14. 十六進位之位數

15. 十六進位常數 • 某些程式語言喜歡使用十六進位 • 典型語法：常數開頭加上0x(零x) • 比如： 0xDEC90949

16. 字元集 • 每一種電腦系統都必須定義自己的字元集。 • 字元集包含英文大寫、英文小寫、數字、標點符號、和特殊符號等。 • 每一個字元必須使用一個唯一的位元組，來加以代表。

17. 字元編碼範例 • EBCDIC • ASCII • Unicode

18. EBCDIC • 全名Extended Binary Coded Decimal Interchange Code • 1960年代最普遍的編碼方法 • IBM公司定義的字元集 • 目前仍然使用於IBM大型主機上 • 6位元的字元集

19. ASCII • 全名American Standard Code for Information Interchange • ANSI協會定義的字元集 • 非電腦廠商定義的字元集 • ASCII碼制訂128個字元 • 比如，英文字母a表示法為 01100001（二進制）

20. ASCII字元集

21. Unicode • Unicode設計成16位元字元集 • 這個字元集不但延伸ASCII字元集，也可以容納更多的字元。 • 適用於所有的語言 ，比如：中文。

22. 數端 • 位元數端 • 位元組數端

23. 位元數端 數端的討論對於彼此之間的資料轉移相當重要，舉例而言，想要在網路上傳送一個位元組時，雙方都必須同意這個位元組是先從最大位元傳送，還是先傳送最小位元！這種位元的排列順序稱為位元數端。

24. 位元組數端 同樣把數端主題延伸到多個位元組時，也有一樣的問題，比如：傳送32位元的整數，如果電腦的位元組是8位元，則整數會被分成4位元組，現在到底要先傳送最大的位元組、或先傳最小的位元組！這種位元組的排列順序稱為位元組數端。

25. 大端 與 小端

26. 二進位整數表示法 • 使用位置冪次表示法的二進位數值 • K位元的組合可以代表2k個數值 • 電腦習慣使用的k = 8,16,32和64 • 位置冪次表示法產生無號整數

27. 無號整數 • 最直接的位置冪次表示法 • 無號整數 • 每個位數都是2的冪次乘積。 • 全部是正整數，無法表示負數。 • 算術運算後可能產生溢位和欠位。 • 可能有循環觀念。

28. 溢位 • 溢位狀態指示：結果是否超過k位元範圍！ • 溢出的第k+1位元就是一般所謂的進位

29. 有號整數 • 大部分的程式需要有號整數 • 有多種表示法 • 大約有一半的數值，用來表示負數。

30. 有號整數表示法 • 符號位元 • 1’s補數 • 2’s補數 • 注意：以上每種表示法都有各自的優缺點

31. 符號位元表示法 • 可能會出現兩個零值： • 正零 • 負零 • 正零和負零都是零 • 儘管不會影響任何的數學觀念，但零值是電腦最常使用的數值，兩個零值恐怕會增加複雜度。

32. 1’s補數表示法 • 比如：4位元的1’s補數表示法 • 0010 代表 2 • 1101 代表-2 • 1’s補數也有兩個零值： • 所有位元為0 • 所有位元為1 • 依然存在兩個零值的問題。

33. 2’s補數表示法 • 比如：4位元的2’s補數表示法 • 0010 代表 2 • 1110 代表-2 • 正數和負數的數量並不對稱 • 負數比正數多一個數值

34. 無號/有號整數之代表意義不同

35. 無號/有號整數的硬體需求 • 不管無號整數或2’s補數表示法，電腦都使用相同的硬體。 • 執行軟體進行整數算術，只要選擇適合的整數表示法，即可。 • 比如：1001＋1＝1010 • 如果當作 無號整數，則解釋為”把9加1得到10”。 • 如果當作2’s補數法，則解釋為”把-7加1得到6”。

36. 符號延伸 • 大部分電腦會提供多重位元的能力 • 比如：16位元、32位元、和64位元等數值處理能力。 • 允許程式設計師自由選擇其中一種。 • 問題在於：如何把較少位元數的整數，改成較多位元數的整數呢？

37. 符號延伸的意義 • 就是延伸最高的符號位元 • 比如：如何把某個16位元數值改成32位元數值呢？ • 對齊最小位元，填入低階的16位元資料。 • 延伸其符號位元，填入高階的16位元。 • 若是正數(符號位元0)，高階16位元都填入0。 • 若是負數(符號位元1)，高階16位元都填入1。

38. 符號延伸後的數值大小 在2’s補數法中，一個k位元的整數Q要延伸超過k位元的數值，必須先對齊低階k位元，超過的較高階位元全數填入Q的最高位元（符號位元），這種符號延伸動作並不會影響到原數值的大小。

39. 符號延伸範例 • 8位元有號整數 11111101（-3） • 符號延伸成16位元有號整數 11111111 11111101（-3） • 數值大小仍然不變

40. 科學記號 • 化學知名的亞佛加厥數之科學記號為6.022×1023。 • 其中6.022為有效數 • 而23則為指數

41. 浮點數 • 電腦的浮點數源於一般的科學記號 • 但仍有差異 • 電腦浮點數的基底採用二進位，有些位元表示有效數，有些表示指數。

42. 最佳化浮點數格式 • 數值必須正規化 • 由於最前頭的位元總是為1，因此可以省略不寫。 • 指數必須能夠表示負值

43. IEEE 754標準浮點數表示法 • 分成兩種：單精準度和雙精準度。 • 單精準度有32位元 • 雙精準度有64位元

44. 特殊浮點數 • 零值 • 所有位元為0 • +∞（正無限大） • 指數全為1，有效數全為0，S欄位=0。 • -∞ （負無限大） • 指數全為1，有效數全為0，S欄位=1。

45. IEEE 754浮點數範圍 • 單精準度範圍約為 2-126~2127 • 改以十進位基底來看 • 單精準度範圍約為10-38~1038 • 雙精準度範圍約為10-308~10308

46. 聚合資料 • 連續的位元組位址 • 比如：儲存3 個16位元的聚合資料，會佔據連續6個位元組的位址。

47. 結論 • 底層的數位硬體有兩個可能的輸出值，稱為位元。 • 集合某些位元用來代表 • 整數 • 字元 • 浮點數 • 整數可以使用下列表示法 • 符號位元 • 1’s補數 • 2’s補數

48. 結論（cont.） • 無號整數和2’s補數的算術，使用相同的電腦硬體。 • 數端分成 • 大端順序 • 小端順序 • ANSI和IEEE組織定義標準的資料表示法