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石家庄铁道学院计算机系

石家庄铁道学院计算机系. 数字图像处理 Digital Image Processing. 主讲人： 封筠. Email： fengjun7171@yahoo.com.cn ftp://202.206.41.8:6621/ User: Student.feng 200 7. 3. 第 3 章 图像变换. 3.1 概述 3.2 可分离图像变换 3.3 离散傅里叶变换和性质 3.4 快速傅里叶变换 3.5 离散沃尔什变换 3.6 离散余弦变换 3.7 小波变换. 3.1概述. 图像变换问题的引入.

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  1. 石家庄铁道学院计算机系 数字图像处理 Digital Image Processing 主讲人： 封筠 Email：fengjun7171@yahoo.com.cn ftp://202.206.41.8:6621/ User: Student.feng 2007. 3

  2. 第3章 图像变换 • 3.1 概述 • 3.2 可分离图像变换 • 3.3 离散傅里叶变换和性质 • 3.4 快速傅里叶变换 • 3.5 离散沃尔什变换 • 3.6 离散余弦变换 • 3.7 小波变换

  3. 3.1概述 图像变换问题的引入 数字图像处理方法主要分为两大类： （1）空域法：直接在图像原有的空间域进行处理； （2）频域法：即先需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外频域空间，再利用该空间的特有性质方便地进行处理加工，最后再转换回图像空间以得到所需的效果。I -> F -> I

  4. 3.1概述 图像变换问题的引入 方法 对图像信息进行变换，使能量保持但重新分配。 目的 有利于加工、处理，例如滤除不必要信息（噪声等），加强或提取感兴趣的部分或特征。

  5. 空间域 • 灰度 • 频率域 • 幅值与频率 3.1概述 图像变换问题的引入

  6. 常用变换及用途 3.1概述 常用可分离正交变换 2D-DFT , 2D-DCT , 2D-Walsh , 2D-DWT 用途 1．提取图像特征（如）： （1）直流分量 ； （2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。 2．图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。 3．图像增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。

  7. 图像变换的一般函数表示 3.2可分离图像变换 一维离散变换式 其中 g(x,u)称为正向变换核；h(x,u)为反向变换核。 二维图像离散变换式 其中 g(x,y,u,v)称为正向变换核；h(x,y,u,v)为反向变换核。

  8. 可分离性与对称性 3.2可分离图像变换 • 正交变换 正反变换核正交，即 。 • 可分离变换核 则称正/反变换核是可分离的。 • 对称核 若g1与g2的函数形式相同，则称正向变换核是对称的； 若h1与h2的函数形式相同，则称反向变换核是对称的。

  9. 可分离性与对称性 3.2可分离图像变换 • 可分离变换 变换核是可分离的变换称为可分离变换。具有可分离变换核的2-D变换可分为两个步骤计算，每个步骤用1个1 -D变换完成： （1）先沿f(x,y)的每一行进行1-D变换得到 （2）再沿T(x,v)的每一列进行1-D变换得到 • 举例 离散傅里叶变换是可分离变换，其变换核是对称的。

  10. 傅里叶变换(Fourier Transform) 3.3离散傅里叶变换和性质 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字图像之类的数字化系统，把傅里叶变换的理论与物理解释相结合，将有利于解决大多数图像处理问题。

  11. 傅里叶变换 3.3离散傅里叶变换和性质 • 连续傅里叶变换的定义 其中,f(x)为x的函数且满足狄里赫莱条件： (1)具有有限个间断点 (2)具有有限个极值点 (3)绝对可积

  12. 傅里叶变换 3.3离散傅里叶变换和性质 • 欧拉公式 • 一维基函数 • 二维基函数

  13. 一维离散傅里叶变换 3.3离散傅里叶变换和性质 设 f(x): f(0),f(1),……,f(N-1); • F(u): F(0), F(1),……,F(N-1)是数字序列， • 则序列f(x)的傅里叶变换生成序列F(u)表示如下： 正变换 反变换 令 函数Wx的周期为N

  14. f(x) 4 3 2 1 x 0 1 2 3 一维离散傅里叶变换 3.3离散傅里叶变换和性质 举例1： 因为函数f(x,y)的傅里叶变换是f(x,y)积分的函数，所以计算每一个傅里叶变换值，原函数f(x,y)的每一个点都需要参与。 F(0) = 1/4Σf(x)exp[0] = 1/4[f(0) + f1(1) + f(2) + f(3)] = 1/4(2 + 3 + 4 + 4)= 3.25 F(1) = 1/4Σf(x)exp[-j2πx/4] = 1/4(2e0 + 3e –j2π1/4 + 4e –j2π2/4 + 4e –j2π3/4) = 1/4(-2 + j) F(2)= -1/4(1 + j0) F(3) = -1/4(2 + j)

  15. 一维离散傅里叶变换 3.3离散傅里叶变换和性质 举例2：正变换 f(x)是输入函数，F(u)是输出函数，N=8 函数Wx的周期为N=8

  16. 一维离散傅里叶变换 3.3离散傅里叶变换和性质

  17. 二维离散傅里叶变换定义 3.3离散傅里叶变换和性质 • 图像矩阵 • 实数 • 频域矩阵 • 复数 正变换 反变换 变换对

  18. 二维离散傅里叶变换参数 3.3离散傅里叶变换和性质 代数表示 指数表示 • 傅里叶频谱（幅度）： |F(u,v)|= [R2(u,v)+I2(u,v)]1/2 • 相位角 (u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)) • 功率（能量）谱: E=|F(u,v)|2 = R2(u,v)+I2(u,v)

  19. 3.3离散傅里叶变换和性质 二维离散傅里叶变换举例 • 傅里叶频谱： |F(u,v)|= [R2(u,v)+I2(u,v)]1/2 • 相位: (u,v)= arctan(I(u,v)/R(u,v))

  20. 3.3离散傅里叶变换和性质 二维离散傅里叶变换举例

  21. 3.3离散傅里叶变换和性质 二维离散傅里叶变换举例

  22. 3.3离散傅里叶变换和性质 二维离散傅里叶变换举例

  23. 3.3离散傅里叶变换和性质 二维离散傅里叶变换举例

  24. 3.3离散傅里叶变换和性质 二维离散傅里叶变换举例 幅值谱 相位谱 幅值重构图像 相位重构图像

  25. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（1）可分离性 3.3离散傅里叶变换和性质 • 二维傅里叶变换可以分离为一维傅里叶变换处理 图像 对行作变换 对列作变换

  26. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（1）可分离性 3.3离散傅里叶变换和性质 • 先对行作变换 （0，0） （0，0） f(x,y) y F(x,v) v （N-1，M-1） （N-1，M-1） x x • 再对列作变换 （0，0） （0，0） F(x,v) v F(u,v) v （N-1，M-1） （N-1，M-1） x u

  27. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（2）周期性 3.3离散傅里叶变换和性质 如果f(x,y)F(u,v),则

  28. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（3）共扼对称性 3.3离散傅里叶变换和性质 如果f(x,y)F(u,v) , F*(-u,-v)是共轭复数，则 F(u,v)= F*(-u,-v) |F(u,v)|= |F*(-u,-v)|

  29. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（4）平移性 3.3离散傅里叶变换和性质 如果f(x,y)F(u,v) ，则 (1)f(x,y)exp[j2(u0x+v0y)/N]F(u-u0,v-v0) (2)f(x-x0,y-y0)F(u,v)exp[-j2(ux0+vy0)/N] (3)频移/空移时，幅度不变 (4) 当u0= v0=N/2时 • f(x,y)* (-1)(x+y)F(u-u0,v-v0) • 频谱 • 中心化

  30. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（4）平移性 3.3离散傅里叶变换和性质 平移性质表明，只要将f(x, y)乘以因子(－1)x+y，再进行离散傅里叶变换，即可将图像的频谱原点（0，0）移动到图像中心（N／2, N／2）处。 (a) （b） （c） 傅里叶频谱平移示意图 (a) 原图像；（b）无平移的傅立叶频谱；（c）平移后的傅立叶频谱 (c)

  31. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（5）旋转不变性 3.3离散傅里叶变换和性质 如果f(x,y)F(u,v) ，用极坐标 则

  32. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（5）旋转不变性 3.3离散傅里叶变换和性质

  33. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（6）线性 3.3离散傅里叶变换和性质 如果f1(x,y)F1(u,v), • f2(x,y)F2(u,v)，则 af1(x,y)+ bf2(x,y) aF1(u,v)+bF2(u,v) 其中a,b是常数。

  34. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（7）比例性 3.3离散傅里叶变换和性质 尺度变换（放缩）： 如果f(x,y)F(u,v), a,b是标量，则 （1） （2）

  35. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（8）平均值 3.3离散傅里叶变换和性质 直流分量：

  36. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（9）卷积 3.3离散傅里叶变换和性质 • 一维卷积定义： • 二维卷积定义：

  37. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（9）卷积 3.3离散傅里叶变换和性质 • f(x)和g(x)作卷积： 通过折叠、平移形成函数g(x-) f()和g(x- )乘积，再求和。

  38. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（9）卷积 3.3离散傅里叶变换和性质 • 卷积定理： 如果f(x,y)F(u,v), g(x,y)  G(u,v) • 则f(x,y)*g(x,y)  F(u,v)G(u,v) • 许多图像变换是卷积运算 • 在频域的乘积运算比在空域的卷积运算快，特别是有了快速傅里叶变换以后，效果更加明显。

  39. 二维离散傅里叶变换的性质 ---（10）能量定理 3.3离散傅里叶变换和性质 • 能量定义： • 能量定理：

  40. 提出的背景 3.4快速傅里叶变换 离散傅里叶变换计算量非常大，运算时间长。可以证明其运算次数正比于N2，特别是当N较大时，其运算时间将迅速增长， 以至于无法容忍。为此，研究离散傅里叶变换的快速算法（Fast Fourier Transform， 简称FFT）是非常有必要的。 下面介绍一种称为逐次加倍法的快速傅里叶变换算法（FFT），它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。采用该FFT算法，其运算次数正比于 Nlog2N，当N很大时计算量可以大大减少。例如，FFT的运算次数和DFT的运算次数之比，当N=1024时，比值为1／102.4；当N=4096时，比值可达1／341.3。

  41. 3.4快速傅里叶变换 提出的背景

  42. 旋转因子 3.4快速傅里叶变换 称 为旋转因子。则有 单位元表示：

  43. 旋转因子 3.4快速傅里叶变换 这样， 的一维离散傅里叶变换（DFT）用矩阵的形式表示为 式中，由 Wux 构成的矩阵称为W阵或系数矩阵。观察DFT的W阵，并结合W的定义表达式，可以发现系数W是以N为周期的。这样，W阵中很多系数就是相同的， 不必进行多次重复计算，且由于W的对称性，即 因此可进一步减少计算工作量。

  44. 旋转因子 3.4快速傅里叶变换 WNux的性质： • 对称性： • 周期性： • 可分性：

  45. 旋转因子 3.4快速傅里叶变换 例如，对于N=4， W阵为 由W的周期性得：W4＝W0，W6＝W2，W9＝W1；再由W的对称性可得： W3＝－W1，W2＝－W0。于是上式可变为

  46. 旋转因子 3.4快速傅里叶变换 可见N=4的W阵中只需计算W0和W1两个系数即可。这说明W阵的系数有许多计算工作是重复的，如果把一个离散序列分解成若干短序列， 并充分利用旋转因子W的周期性和对称性来计算离散傅里叶变换，便可以简化运算过程，这就是FFT的基本思想。 设N为2的正整数次幂， 即 如令M为正整数，且

  47. 分析思路 3.4快速傅里叶变换 将式 N=2M 代入原式，离散傅里叶变换可改写成如下形式： 由旋转因子W的定义可知 ， 因此上式变为 现定义

  48. 分析思路 3.4快速傅里叶变换 于是 进一步考虑W的对称性和周期性可知 和 ， 于是 由此，可将一个N点的离散傅立叶变换分解成两个N／2短序列的离散傅立叶变换，即分解为偶数和奇数序列的离散傅立叶变换Fe(u)和Fo(u) 。

  49. 分析思路 3.4快速傅里叶变换 在此，以计算N=8的DFT为例，此时n=3，M=4。由上面的公式可得

  50. 分析思路 3.4快速傅里叶变换 前式中，u 取0～7 时的F(u)、Fe(u) 和 Fo(u)的关系可用下图描述： 左方的两个节点为输入节点，代表输入数值；右方两个节点为输出节点，表示输入数值的叠加，运算由左向右进行。线旁的W18和－W18为加权系数，定义由F(1)、 F(5)、Fe(1)和Fo(1)所构成的结构为蝶形运算单元, 其表示的运算为 蝶形运算单元

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