第七节 曲率

1. 第七节曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径

2. 有向弧段 的值 ( ( s>0 M0 M0 M M 规定有向弧段 的值 s (简称 s<0 一、弧微分 • 曲线的基点与正向 • 设函数f(x)在区间(ab)内具有 • 连续导数 在曲线yf(x)上取固定点 • M0(x0y0)作为度量弧长的基点 并 • 规定依 x 增大的方向作为曲线的正向 对曲线上任一点 M(xy) 弧)如下s 的绝对值等于这弧段 的长度 当有向弧段的方向与曲 线的正向一致时s>0相反时s<0

3. 弧微分公式 设xxDx为(ab)内两个邻近的点 它们在曲线yf(x) 上的对应点为MN并设对应于x的增量Dx弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx0时Ds ~MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式: 或者

4. ) ) ) 二、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． 弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段短的弯曲大 问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？ 提示：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度.

5. 弧段 上的平均曲率 二、曲率及其计算公式 对应切线 在光滑弧上自点 M开始取弧段, 其长为 转角为 定义 点M处的曲率 注:直线上任意点处的曲率为 0 !

6. 例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率 . 解:如图所示 , 可见: R愈小, 则K愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R愈大, 则K愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .

7. 曲率K 的计算公式 则由 设曲线弧 二阶可导, 又 故曲率计算公式为 有曲率近似计算公式

8. 注:参数方程下曲率的计算

9. 例2 计算等边双曲线xy1在 点(1, 1)处的曲率. 解 因此y|x11y|x12 曲线在点(1 1)处的曲率为

10. 例3抛物线yax2bxc上 哪一点处的曲率最大？ 解由yax2bxc 得 y2axby2a 代入曲率公式 得 显然 当2axb0时曲率最大 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K|2a|

11. 例4.求椭圆 在t=0处的曲率. 解: 故曲率为 在t=0处,即在点(a,0)的曲率为

12. 三、 曲率圆与曲率半径 在点 设 M为曲线 C上任一点 , 在曲线 M处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点 D使 把以 D 为中心, R为半径的圆叫做曲线在点M处的 曲率中心. D叫做 曲率圆 R叫做曲率半径, ( 密切圆 ) , 在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .

13. 注: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲 率互为倒数. 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处 的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大 (曲线越弯曲). 3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).

14. 例5设工件表面的截线为抛物线y0.4x2. 现在要用 砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径 y0.8xy0.8 y|x00y|x00.8 把它们代入曲率公式 得 抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-11.25 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长 即直径 不得超过2.50单位长

15. 内容小结 或 1. 弧长微分 2. 曲率公式 3. 曲率圆 曲率半径

16. 作业：p-175 习题3-7 1, ； 3 ； 4; 5