Спецификация Уравнения Регрессии: Выбор Функциональной Формы

1. Спецификация Уравнения Регрессии: Выбор Функциональной Формы

2. Выбор функциональной формы должен базироваться на экономической теории и лишь в исключительных случаях – на подборе формы, наилучше соответствующей выборке.

3. Линейный регрессионный анализ применим только к уравнениям линейным по коэффициентам. Т.е. коэффициенты входят в уравнение в простейшей форме – они не возведены в степень, не умножены и не разделены друг на друга, не содержат функций.

4. Общий вид линейного уравнения регрессии: f(Y)= β1+ β2*g2(X2) +… + βk*gk(Xk) + u, где f(•), g2(•), …, gk(•) – какие-то функции.

5. Примеры. (ЛР-линейная регрессия) • Y = β1 + 2*X3 +u(ЛР) • Y = e1 X2 eu(ЛР) • Y = β1 X2 u (ЛР) • Y =β1 + 2*Xβ3 + u(нет) • Y = β1 X 2 + u(нет)

6. Чтобы точнее выбрать форму модели надо знать свойства основных функций.

7. Основные характеристики функциональной формы: наклон или эластичность

8. И наклон и эластичность характеризуют реакцию Y на изменения Х. Но наклон – в абсолютных единицах, а эластичность – в относительных.

9. Линейная форма Y = 1 + 2*X2 + … + k*Xk + u Базируется на предположении, что данному приросту независимой переменной всегда соответствует один и тот же прирост зависимой переменной: Y = j*Xj (*)

10. Линейная форма Имеет постоянный наклон: Y/ Xj = j.

11. Y = 1 + 2*X2 + … + k*Xk + u Эта форма выбирается, когда предполагаемая связь между Y и Xjудовлетворяет (*):Y = j*Xj. Кроме того, это форма «по умолчанию».

12. Двойная логарифмическая (log-log) форма Y = eβ1*X22*…*Xkk*eu Форма приводится к линейной логарифмированием: lnY =1 + 2*lnX2 +… + k*lnXk + u

13. lnY =1+2*lnX2+ … + k*lnXk + u Форма используется, когда есть основания полагать, что эластичности Y по каждому Xj, j =2,…, k, постоянны. Y,Xj = j . Т.е., j – эластичность Y по Xj, j =1,…,k.

14. lnY =1 + 2*lnX2 + … + k*lnXk + u Интерпретация j: если Xjизменяется на 1% ( и при этом все остальные X сохраняют постоянные значения), то Y изменяется в среднем на j%-в. Это также форма «по умолчанию».

15. Важный пример log-log формы – производственная функция (ПФ) Кобба-Дугласа: Y = A*K*L*eu Y – выход продукции, K – затраты капитала, L – затраты труда. (А – константа.)

16. К линейному виду приводится логарифмированием: lnY = С+α*lnK + β*lnL + u (С=lnA) α- эластичность выпуска по затратам капитала,  - эластичность выпуска по затратам труда.

17. lnY = С+α*lnK + β*lnL + u Если  +  > 1, имеется возрастающий эффект от масштабов производства;  +  < 1 - убывающий;  +  = 1 - постоянный.

18. Полулогарифмические формы.Форма lin-log Y = β1 + 2*lnX + u Используется, когда есть основания предполагать, что с ростом X влияние X на Y уменьшается, но не пропадает совсем. Интерпретация 2: при изменении X на 1% Y изменяется на 2/100 единиц (в которых Y измеряется ).

19. Эластичность Y по Х: т. е. падает с ростом Y. Моделирование «возрастания с убывающей скоростью».

20. Применение. Например, большинство потребительских функций. При возрастании дохода (X) все меньшая его часть идет на потребление (Y). Y = β1 + 2*lnX + u

22. Полулогарифмические формы. Форма log-lin (экспоненциальная). lnY = 1 + 2*X + u Эластичность: растет с ростом Х. «Возрастание с возрастающей скоростью»

23. Интерпретация 2: при увеличении Х на 1 единицу (измерения Х) Y изменяется на 2*100%.

24. Применение. Например: • потребительские функции для товаров роскоши. • оплата труда: %-я надбавка в зависимости от стажа и опыта.

25. в регрессии Y по времени t, когда можно полагать, что Y имеет постоянный темп прироста во времени.

27. Y = β1*e2t*ε lnY = lnβ1 + 2*t + ν 2- относительный прирост Y за единицу времени: Темп прироста Y за единицу времени равен 2*100%.

28. Полиномиальная Форма (Парабола) Y =  + 1*X + 2*X2 +…+ k*Xk + u При k=2: Y =  + 1*X + 2*X2 + u Например, моделирование зависимости цены производства (Y) от объема выпуска (X); при этом 1 < 0, 2 >0.

30. Моделировании зависимости годовой зарплаты человека (Y) от возраста (X); при этом 1 > 0, 2 < 0.

31. Полиномы степени k>3 применяются редко.

32. Обратная Форма Зависимости (гиперболическая) Используется при предположении, что с ростом фактора X его влияние на фактор Y сводится к нулю. Моделирование быстрого насыщения.

34. Пример. Моделирование потребления товаров 1-й необходимости.

35. Пример. Кривая Филлипса, описывающая взаимосвязь между уровнем безработицы в год t в процентах (Ut) и темпами прироста зарплаты в год t в процентах (Wt):  < 0,  > 0.

36. Δwt ΔWt Естественный уровень безработицы, т. е. значение ut, при котором Δwt = 0 ut Ut

37. Взаимодействие Независимых Переменных Y= 1+ 2*X2 +3*X3 +4*X2*X3 + u Используется при предположении, что влияние X2на Y зависит от значения X3, а влияние X3на Y – от значения X2.

38. Проблема с R2 Качество уравнений регрессии не может сравниваться по R2, если зависимая переменная в них присутствует в различных функциональных формах.

39. Например, • Y = …….; R12 • lnY = …….; R22 Качество уравнений (1) и (2) нельзя сравнивать, сопоставляя R12 и R22 (если только R12>>R22 или R22>> R12).

40. . Для сравнения таких моделей используют: • Метод Зарембки. • Преобразование Бокса-Кокса.

41. Метод Зарембки = b1 + b2*X = c1 + c2*X

42. Вычисляют среднее геометрическое выборочных значений Yi: ( ), преобразуют переменные: Y*i = Yi/ и рассчитывают новые регрессии по таблицам:

43. = b1* + b2**X* = с1* + c2**X

44. Для этих уравнений рассчитывают RSS*1и RSS*2и модель с меньшей RSS дает лучшее соответствие линии регрессии выборке. .

45. Чтобы проверить, обеспечивает ли одна модель значимо лучшее соответствие, надо вычислить величину: 2 = | (n/2)*ln(RSS*1 / RSS*2 )|,

46. затем по таблице распределения 2 найти 2кр(1;α). Если 2 > 2кр(1;α), то различие в качестве объяснения двумя уравнениями значимое.

47. Примеры интерпретации коэффициентов в логарифмических и полулогарифмических моделях

48. Двойная логарифмическая модель Выпуск сектора экономики может быть смоделирован производственной функцией Кобба-Дугласа: Y = c*Kα*Lβ*u, где Y – выпуск в денежных единицах, К - затраты капитала в денежных единицах, L - затраты труда, например, в работниках, с – константа, α, β – параметры модели.

49. Для того, чтобы оценить по МНК модель Y = c*Kα*Lβ*u Надо взять логарифм от обеих ее частей: lnY = ln c + α*lnK + β*lnL + ln u

50. Или: lnY = А + α*lnK + β*lnL + v. Эта модель была оценена по данным для 41 фирмы одного из секторов экономики Индии (соответственно, все денежные единицы – тысячи рупий, затраты труда – в работниках).