Un peu de maths (et d’info)

1. Un peu de maths (et d’info) • IFT6271--Hiver2014 • 2e cours • Louis Salvail

2. Pourquoi? • Nous commençons par étudier les outils cryptographiques nécessaires (mais pas suffisants) pour la mise au point de mécanismes de sécurité performants. • Ces outils sont des constructions mathématiques qui sont facilement représentables sur les ordinateurs. • La sécurité de la plupart des méthodes cryptographiques intéressantes repose sur la difficulté de résoudre certains problèmes mathématiques. • L’informatique théorique permet d’analyser la difficulté algorithmique pour la résolution de ces problèmes mathématiques.

3. Nombres entiers et premiers • Les nombres que nous allons utiliser par la suite sont des nombres entiers (positifs). • Le nombre entier a est divisible par le nombre entier b si a=kb pour k un autre nombre entier: a/b=k. • Les nombres premiers sont au centre de la plupart des protocoles cryptographiques. • Un nombre entier n est premier s’il n’admet que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. • Tout nombre entier n peut s’écrire de façon unique par un produit de puissances de nombres premiers : n=p1a1 p2a2 ... ptat

4. PGCD • Le PGCD entre les entiers a et b est le plus grand commun diviseur de a et b. • k=PGCD(a,b) -> k⋅i=a et k⋅j=b pour i,j des entiers. De plus, il n’existe pas d’entier k’>k, i’ et j’ tels que k’⋅i’=a et k’⋅j’=b. • Exemples: • PGCD(5,25)=5: 5⋅5=25 • PGCD(14,35) = 7: 14=2⋅7 et 35=5⋅7, • PGCD(21,55) = 1. • Lorsque les entiers n et m sont tels que PGCD(n,m)=1 on dit alors qu’ils sont relativement premiers.

5. Arithmétique modulaire 12 36 Un registre d’ordinateur est une horloge avec 2k valeurs possibles pour k=8,16,32,64,... Quelle heure sera-t-il dans 12 heures? Quelle heure sera-t-il dans 25 heures? 0 Quelle heure sera-t-il dans 23 heures? Quelle heure sera-t-il dans 34 heures? Quelle heure sera-t-il dans n heures, sachant qu’il est t heures? Rép: n+tmod 12

6. 0 1 0 0 1 1 0 1 Arithmétique modulaire (II) • L’expression nmodm désigne le reste de la division entière de n par m: • 39 mod 5 = 4 -> 39=7*5 + 4, • 7 mod 124 = 7 -> 7=0*124 + 7. • Si on ajoute le nombre entier v à un registre d’ordinateur de k bits contenant la valeur initiale n, le registre contiendra alors la valeur : • n+v mod 2k. k=8 Les valeurs 0,1,2,...,2k-1 peuvent être représentées.

7. Groupe additif Zm • On peut voir les valeurs possibles mod m comme l’ensemble des valeurs Zm = {0,1,2,...,m-1}. • L’addition mod m de deux éléments a et b dans Zm est toujours dans Zm puisque a+b mod m est par définition dans Zm. • De plus, comme l’addition de nombres naturels, chaque élément a∈Zm admet un autre élément b∈Zm tel que : • a+b = 0 mod m. • On peut appeler -a cet élément b. • Exemple : 3+4=0 mod 7 et donc 4=-3 mod 7.

8. Multiplication modulaire • Voyons le comportement de a⋅b mod m pour a,b∈Zm : • Z6 -> 1*3=3 mod 6, 2⋅3=0 mod 6, 3⋅3=3 mod 6, 4*3=0 mod 6, 5⋅3=3 mod 6. • Z5 -> 1⋅3=3 mod 5, 2⋅3=1 mod 5, 3⋅3= 4 mod 5, 3⋅4=2 mod 5. • Z5 a la propriété que pour tout a,b∈Z5 il existe un et un seul k∈Z5 tel que a⋅k=b mod 5. Cette propriété est vérifiée dans Zp pour n’importe quel nombre premier p. • Dit autrement, pour tout a∈Zp, il existe k∈Zp tel que a⋅k=1 mod p. Cet élément k, dénoté a-1, est appelé son inverse. a⋅k mod p induit une permutation de Zp-{0} lorsque k visite ces éléments.

9. Un peu de pratique • 1579+1580 mod 1581 = ? • 1579+2= 0 mod 1581 -> 1579 = -2 mod 1581, • 1580+1=0 mod 1581 -> 1580 = -1 mod 1581, • 1579+1580 mod 1581=-2-1 mod 1581 = -3 mod 1581 = 1578 mod 1581. • 1579⋅1580 mod 1581 = -2⋅-1 = 2 mod 1581. • Voyons un chiffrement dans Z26 (les lettres de l’alphabet) : • La clé secrète est k∈Z26 : • Chiffrement 1 :a∈ Z26 -> a+k mod 26, Déchiffrement? • Chiffrement 2 :a∈ Z26 -> a⋅k mod 26, Déchiffrement? • Supposons que les messages n’ont que 23 lettres différentes et supposons que k∈ Z23. Pouvons-nous déchiffrer le chiffrement 2?

10. Évaluation des formes modulaires • Lorsque nous additionnons ou multiplions mod m, nous pouvons réduire mod m avant ou après l’opération sans changer le résultat : • (a+b) mod m = [a (mod m) + b (mod m)] (mod m) • (a⋅b) mod m = [ a (mod m) ⋅ b (mod m)] (mod m) • Exemple: Est-ce que le nombre 13456515 est divisible par 3? • La méthode magique dit que 1+3+4+5+6+5+1+5= 30 et puisque 3+0 = 3 est divisible par 3 alors 13456515 est divisible par 3. 10r mod 3 = 1 pour toute valeur r. • Pourquoi? • x1x2...xt mod 3 = x1⋅10t-1+x2⋅10t-2+ ... +xt⋅100 (mod 3) • = x1⋅10t-1 mod 3+ ... +xt⋅100 mod 3 (mod 3) • = x1 mod 3+x2 mod 3+... +xt mod 3 (mod 3)

11. Le groupe multiplicatif Zn* • Zn*={a: PGCD(a,n)=1}, autrement dit Zn* contient tous les nombres inférieurs à n qui sont relativement premiers à n. • Le groupe Zn* est un groupe dans lequel il fait bon multiplier : • a,b∈Zn* -> a⋅b mod n ∈ Zn*, • pour chaque a∈Zn*, il existe a-1∈Zn* tel que a⋅a-1=1 mod n. • On nomme inverse de a cette valeur a-1. • Le chiffrement du message a∈Zn* avec clé k∈Zn*: a⋅k mod n est maintenant déchiffrable.

12. L’algorithme d’Euclide calcule PGCD(a,n), a<n en temps correspondant au nombre de chiffres dans le représentation décimale de a. Calculer le PGCD • Étant donné deux nombres a et n, comment trouver leur PGCD(a,n)? • Un des plus vieux algorithmes connus en théorie des nombres permet de le faire rapidement. Il s’agit de l’algorithme d’Euclide... • Une extension de cet algorithme permet aussi, étant donnés a et m, de calculer a-1 t.q. a⋅a-1= 1 mod m. Euclide Naissance : Grèce, env. -325

13. Exponentiation modulaire x fois! • Comme nous allons le voir lorsque nous parlerons des systèmes à clefs publiques, l’exponentiation modulaire est une opération très importante. • Tandis qu’il est facile et efficace de calculer y=ax mod n, il est difficile de calculer son inverse (c.-à-d. calculer x étant donnés y, a et n). • Souvenons-nous que ax mod n = a⋅a⋅...⋅a mod n.

14. Exponentiation rapide • Rappelons-nous l’évaluation des formes modulaires: • 312 mod 7 = (32 mod 7)6 = (2 mod 7)6 mod 7= (23 mod 7)2 mod 7= 12 mod 7 = 1 mod 7. • Attention: ax mod m ≠ ax mod m mod m, par exemple nous avons 25 mod 3 mod 3 = 1, mais 25 mod 3 = 2! Pour l’exponentiation rapide, nous utilisons la méthode suivante : a29 = a⋅a28 = a⋅(a14)2=a⋅((a7)2)2=...=a⋅((a⋅(a⋅a2)2)2)2 comparé à a29=a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅a 7 multiplications 28 multiplications

15. Le groupe RSA • Il s’agit du groupe multiplicatif ZN*= { a | PGCD(a,N)=1 } où N=pq pour p et q premiers. • La fonction φ(N) = |ZN*| = (p-1)(q-1) est le nombre d’éléments dans ZN*. • Z15*={1,2,4,7,8,11,13,14}. • Euler a montré que (sa généralisation du théorème de Fermat), pour tout a et N tels que PGCD(a,N)=1, • aφ(N) mod N = 1. • Chaque élément a∈ZN* admet un inverse a-1∈ZN*: • a⋅a-1 mod N = 1. (une conséquence d’Euler) a-1= aφ(N)-1 mod N

16. Logarithmes discrets • Le logarithme discret est en quelque sorte l’inverse de l’exponentiation modulaire : • Étant donné (y,a,n), trouver x tel que ax = y (mod n). • La valeur a est souvent appelée la base du logarithme. • Exemples : • logarithme en base 2 de 3 (mod 13): 21=2,22=4,23=8,24=3... Réponse : 4. • logarithme en base 3 de 4 (mod 13): 31=3,32=9,33=1,34=3⋅33=3,35=32⋅33=9,...! Réponse : aucun. • En général il est (supposé) difficile de calculer les logarithmes discrets... ça demande beaucoup, beaucoup de multiplications!

17. Arithmétique sur des bits • Les ordinateurs fonctionnant avec une représentation des nombres en binaire, les opérations sur des registres de bits sont très efficaces. • C’est pourquoi la plupart des systèmes de chiffrement efficaces sont définis par des opérations sur des registres de bits dont la taille est constante. • L’arithmétique des ordinateurs est basée sur Z2={0,1} : • l’addition : a,b∈Z2, a⊕b = a+b mod 2, • la multiplication : a,b∈Z2, a⋅b=a∧b = a⋅b mod 2.

18. Arithmétique sur des registres de bits Soient a=a1,a2,...,ak et b=b1,b2,...,bk des registres de k bits (c.-à-d. ai,bj∈Z2 pour tout 1≤i,j≤k). Nous définissons : a⊕b := a1⊕b1, a2⊕b2,..., ak⊕bk Nous définissons Bk comme étant l’ensemble des chaînes de k bits. L’addition dans Bk est semblable à celle dans Z2k mais est plus facile (efficace) à réaliser, car nous n’avons pas à nous préoccuper des retenues.

19. Problèmes difficiles • Certains problèmes mathématiques sont réputés difficiles à résoudre sur un ordinateur. • C’est-à-dire qu’aucun algorithme efficace n’est connu à ce jour pour les résoudre. • Ceci n’exclut pas qu’un algorithme efficace puisse être trouvé. • On dit d’un algorithme qu’il est efficace si le nombre d’étapes de calcul t(n) nécessaires pour traiter une entrée de n bits de long, est tel que t(n)<poly(n) pour un polynôme poly(n), pourvu que n soit suffisamment grand.

20. Retour sur l’exponentiation calcul de ax (mod n) Si x est long de t chiffres, alors la boucle Tant que sera exécutée jusqu’à lg(10)⋅t fois avec 2 multiplications à chaque fois. Si x est long de t chiffres, alors la boucle Pour sera exécutée jusqu’à 10t fois. De plus, multiplier a⋅y n’est pas gratuit! • Exp_iterative(a,x,n) • y=a; • pour i=1 a (x-1) faire • y=a*y mod n • fin_pour • retourne y • Exp_rapide(a,x,n) • r=1 • Tant que x <> 0 faire • Si (x mod 2)=1 alors • r = r*a mod n • x=x-1 • a=a*a mod n • x=x/2 • retourne r

21. Des problèmes de calcul modulaire faciles • Addition a+b mod m. • Multiplication a*b mod m. • Exponentiation ab mod m. • Trouver le PGCD(a,b) de deux nombres entiers a et b. Par l’algorithme d’Euclide. • Étant donné a et m, trouver a-1 tel que a⋅a-1=1 mod m lorsque a∈Z*m (Euclide modifié).

22. Des problèmes de calcul modulaire faciles (II) • Vérifier qu’un nombre N est premier, • Test probabiliste très performant (Rabin-Miller) • Tirer un nombre premier p aléatoire de k>0 bits. • Tirer un nombre Q aléatoire de k bits, • Vérifier si Q est premier (Rabin-Miller), • Si c’est le cas, alors retourner Q, • Sinon, recommencer... Il y a environ x/ln(x) nombres premiers entre 0..x

23. Des problèmes de calcul modulaire supposés difficiles • Le problème de factorisation : Étant donné un entier N, donner ses facteurs premiers. • Étant donné N=pq, trouver φ(N)=(p-1)(q-1). • Le problème RSA: Étant donnés e et N=pq pour p et q premiers inconnus, trouver d tel que e⋅d=1 mod φ(N). • Le problème de Diffie-Hellman : Étant donnés g et p premiers, gx mod p, gy mod p trouver gxy mod p. supposé difficile si p=2q+1, q premier, et si g=h2 mod p pour h un générateur.

24. Principes qui régissent la sécurité des systèmes modernes Ceci serait sûr en pratique! • Les cryptosystèmes modernes ont leur sécurité exprimée en ces termes : • « À moins que l’adversaire ne passe un temps déraisonnable à calculer, le système X est sûr.» • En fait, la sécurité de ces systèmes est habituellement exprimée en des termes plus faibles : • « En supposant que le problème Y ne peut être résolu en temps raisonnable, le système X est sûr.» • Les chiffres modernes pratiques à clé secrète ont une sécurité ad hoc. Le problème Y sous-jacent n’est pas bien défini. Ceci est sûr en pratique que si Y était difficile

25. L’Américain Lehmer en inventa une aussi en 1926! RSA • RSA est un problème proche du problème de factorisation. • Le problème de factorisation est à l’étude depuis longtemps. • Il y a près de 90 ans (1919), les Français Pierre et Eugène Carissan construisaient une machine à factoriser appelée machine à congruences. • Elle pouvait factoriser des nombres de moins de 13 chiffres décimaux en 18 minutes. • En 2005, la factorisation du problème RSA de 200 chiffres a été réussie (20 000 $): • Question ouverte pour 212 chiffres ($30 000)

26. La machine de Lehmer!

27. Nous allons maintenant voir comment fonctionne les chiffres à clé secrète modernes. • Nous verrons les principes de construction importants. • Nous en verrons deux qui sont utilisés aujourd’hui : DES et AES.