牛頓挑戰大怒神

1. 牛頓挑戰大怒神 指導老師 蔡文志

2. 摘要 • 吾人利用牛頓第二運動定律及簡單機械—定滑輪，嘗試設計簡單又準確測量重力加速度的方法與實驗組合。 • 我們所得到最佳的實驗組合，可於國民中學的實驗室裡使用簡單的器材測量出誤差在1%左右的重力加速度值。

3. 研究動機 • 理化15-4一節中學到自由落體的加速度約等於9.8m/s2，但是課本內並沒有相關的實驗可以驗證，其原因是國中實驗室沒有經費購買精密計時儀器。 • 與同學討論是否能夠利用現有簡單的實驗器材在學校實驗室內，測量出本地的重力加速度值，並嘗試經由實驗找出將誤差降低的實驗組合。 • 利用理化16-4牛頓第二運動定律及17-4簡單機械所學的知識為基礎，設計以下的實驗。

4. 研究目的 • 能以簡單的器材，在國中實驗室內測量出本地重力加速度值。 • 探討細繩種類對實驗誤差的影響。 • 探討砝碼輕重對實驗誤差的影響。 • 探討落下高度對實驗誤差的影響。 • 探討為了克服摩擦力所使用的小質量對實驗誤差的影響。 • 提出比較準確測量重力加速度的實驗組合。

5. 研究設備器材 • 鐵架 • 直徑6.5公分定滑輪 • 砝碼若干個 • 秒錶 • 棉線、尼龍線、釣魚線 • 潤滑油 • 捲尺 • 螺帽若干個 • 學生課桌椅一套 • 紙箱一只 【圖一】細繩種類

6. 研究過程與方式 （1）裝置如【圖三】 • 在定滑輪轉軸處加上少許潤 滑油 • 跨過定滑輪的細繩兩端各懸 掛一個質量為M（100公 克）的砝碼 • 調整繩長 • 當砝碼2接觸地面時，砝碼1在 比較接近定滑輪的地方，用捲 尺量出兩者的高度差150公分。 • 置一紙箱於地面，用以接住 落下的砝碼。 【圖三】實驗操作裝置圖

7. 研究過程與方式 （2）在砝碼1掛上適當的螺帽組質量為m0 如【圖四】 使系統獲得一個初速度後能做等速運動。（目視等速運動所造成的誤差問題於實驗四中另有探討） （3）在砝碼1掛上質量為m 的砝碼，手持砝碼2保持系統靜止。 【圖四】掛上適當螺帽組m0

8. 研究過程與方式 （4）釋放砝碼2同時開始計時如【圖五】 【圖五】開始計時 • 直到砝碼1碰地時停錶如【圖六】，紀錄系統運動的時間，操作測量5 次，求出平均值t。 【圖六】停止計時

9. 研究過程與方式 （5）用 a=2H/t2 計算出系統的加速度。 （6）改變m（10公克、15公克、20公克、25公克、30公克），重複以上步驟，可測得一 系列的(m，a)值。 （7）用g=a(2M+ m0+m)/m 計算出一系 列g值，與本地重力加速度標準值（高雄地區977.896cm/s2）比較，並求 出百分誤差。

10. 研究過程與方式 （8）用圖像（繪圖軟體名稱：K. graph）處理實驗數據，以m/(2M+ m0+m)為橫座標，以a為縱座標，直線斜率即為重力加速度g值。 （9）改變細繩種類（棉線、尼龍線、釣魚線）重複以上步驟。

11. 研究過程與方式 • （10）使用步驟9實驗結果誤差最小的細繩、高度150公分如【圖七】 • 改變懸掛質量M（50公克、100公克、150公克、200公克）與外掛質量m，重複以上步驟。 【圖七】高度150公分

12. 研究過程與方式 • （11）使用步驟9實驗結果誤差最小的 細繩、高度200公分如【圖八】 • 改變懸掛質量M（50公克、100公克、150公克、200公克）與外掛質量m，重複以上步驟。 【圖八】高度200公分

13. 研究過程與方式 （12）使用步驟11實驗結果誤差最小的組合，改變小質量m0，重複以上步驟。 （13）經以上實驗結果提出測量重力加速度g值誤差較小的實驗組合。

14. 六、實驗數據、繪圖與分析： 實驗（一） 控制變因：高度150公分、懸掛質量100公克 外掛質量10-30公克 操縱變因：細繩種類--棉線、尼龍線、釣魚線 細 繩 種 類： 釣魚線 高 度 ： 150公分 懸掛質量M： 100 公克 小質量m0： 3.3公克

16. 斜率：898.29 誤差：8.14%

17. 斜率：1004.02 誤差：2.67%

18. 斜率：996.92 誤差：1.95%

19. 【分析】落下高度150公分、懸掛質量100公克，改變細繩種類；實驗數據顯示，使用釣魚線時外掛質量25公克與30公克實驗誤差最小，畫成直線圖求斜率時，使用釣魚線的整體誤差也最小；故以下實驗均採用釣魚線為細繩。 。

20. 實驗（二） 控制變因：釣魚線、高度150公分 外掛質量10-30公克 操縱變因：懸掛質量--50、100、150、200公克 細繩種類： 釣魚線 高 度 ： 150公分 懸掛質量M： 100 公克 小質量m0： 3.3公克

22. 懸掛質量：50公克 斜率：925.57 誤差：5.35%

23. 懸掛質量：100公克 斜率：996.92 誤差：1.95%

24. 懸掛質量：150公克 斜率：1038.56 誤差：6.20%

25. 懸掛質量：200公克 斜率：989.73 誤差：1.21%

26. 【分析】 • 落下高度150公分、改變懸掛質量與外掛質量，實驗數據顯示：懸掛質量100公克、外掛質量25公克與30公克時誤差最小；，畫成直線圖求斜率時，懸掛質量為100公克與200公克時，整體實驗誤差較小。

27. 實驗（三）將實驗（二）的高度增加為200公分 ，其餘條件相同 控制變因：釣魚線、高度200公分 外掛質量10-30公克 操縱變因：懸掛質量--50、100、150、200公克 細繩種類： 釣魚線 高 度 ： 200公分 懸掛質量M： 100 公克 小質量m0： 3.3公克

29. 懸掛質量：50公克 斜率：953.80 誤差：2.46%

30. 懸掛質量：100公克 斜率：978.68 誤差：0.08%

31. 懸掛質量：150公克 斜率：930.69 誤差：4.83%

32. 懸掛質量：200公克 斜率：933.92 誤差：4.50%

33. 【分析】 • 落下增加到高度200公分、改變懸掛質量與外掛質量，實驗數據顯示： • 懸掛質量100公克、外掛質量25公克與30公克時誤差最小；，畫成直線圖求斜率時，懸掛質量為100公克整體實驗誤差最小（只有0.08%）。

34. 實驗（四） 取實驗（三）中誤差最小的組合，增減一個小螺帽，探討改變小質量m0，對實驗誤差的影響。 控制變因：釣魚線、高度200公分、 懸掛質量100公克、外掛質量10-30公克 操縱變因：小質量--2.2、4.4公克 細繩種類： 釣魚線 高 度 ： 200公分 懸掛質量M： 100 公克 小質量（減少一個螺帽）m0：2.2公克

36. 細繩種類： 釣魚線 高 度 ： 200公分 懸掛質量M： 100 公克 小質量（增加一個螺帽）m0：4.4公克

38. m0減少一個小螺帽 斜率：983.18 誤差：0.54%

39. m0增加一個小螺帽 斜率：1005.42 誤差：2.81%

40. 【分析】 落下高度200公分、懸掛質量100公克、外掛質量由10公克至30公克，改變小質量m0，實驗數據顯示：增減不同的m0會造成不同的實驗誤差，畫成直線圖求斜率時，也可發現其中的不同處（2.2公克時誤差0.54%、3.3公克時誤差0.08%、4.4公克時誤差2.81%），故在操作實驗時需謹慎目測等速與細心增減選擇小質量m0，方可提高實驗得準確度。

41. 討論 （1）本實驗計算原理為何？什麼原因可 以用手動秒錶計時來操作實驗，又 可以達到實驗目的？

42. 答： • 【圖九】先測量系統落下H高度的時 間t由等加速度運動公式 H=1/2at2 計算出系統的加速度a • 再由牛頓第二運動定律 F=ma 整 個系統所受外力為 mg （m0g是用來 克服動摩擦力的） • 整個系統的總質量為(2M+ m0+m) 因此 mg=(2M+ m0+m)a 移項求出 g=a(2M+ m0+m)/m • 將物體由200公分高度的自由落體落 下約0.64秒 • 經由本實驗可延長落下時間3至5倍， 使計時測量更方便、更準確。 【圖九】實驗構思圖

43. （2）造成實驗誤差的因素與改進方 法為何？實驗時如何分析？

45. （3）在實驗過程中為什麼要使用相同的 懸掛質量M？使用不同的懸掛質量M 可不可以？ 答：只需修改計算式即可，實驗時使用相 同的懸掛質量M的好處是，讓操作實驗 者容易知道整個系統所受的外力到底 是多少。

46. （4）為何高度只增加到200公分？ 若向上繼續增加高度，需使用鋁梯， 安全上較有疑慮且實驗結果顯示落下 高度200公分時的誤差已經可以達到 實驗的目標了。

47. （5）為何懸掛質量M的砝碼越重，反 而造成百分誤差增加？ • 答：轉軸負荷越大，摩擦力的影響就越明 顯，因此造成百分誤差增加，由實驗 中吾人得知使用直徑6.5公分的塑膠 定滑輪，懸掛質量M為100公克時最 合適。

48. （6）台灣地區各地之重力加速度值， 提供欲操作此實驗者參考。 台灣地區之重力加速度：（取自國立台灣大學物理系：普通物理學實驗講義）

49. 結論： （1）使用國中實驗室裡常用的定滑輪、細線、砝碼，經由本實驗的裝置與測量，可以延長落下時間，達到測量當地重力加速度的目的。 （2）細繩種類會影響實驗誤差，棉線與尼龍線摩擦力大所造成的誤差較大，釣魚線質輕、光滑所造成的誤差較小。 （3）定滑輪的總負重量太大時，轉軸無法承受，實驗結果顯示懸掛質量M 為100公克，可得較佳準確度。

50. 結論 （4）增加降落高度，可以延長測量的時間；但需考慮操作上的安全，實驗結果顯示降落高度200公分即可得較佳的準確值。 （5）實驗時目測等速下降的誤差，可經由增、減小質量m0來修正。 （6）使用簡單器材且能準確（誤差在1%左右）測量當地重力加速度，可採用本實驗的方法--選用釣魚線、高度200公分、懸掛質量M為100公克、細心測試小質量m0（3.3公克）、外掛質量m由10公克至30公克，計時多次求平均值t，由a=2H/t2計算出系統的加速度a，再由g=a(2M+ m0+m)/m求出重力加速度g值即可達成實驗目的。