שיטת החילוץ של גאוס

1. שיטת החילוץ של גאוס לפתרון מערכת משואות לינאריות הילה מושיוב

2. המטרה : לעבור ממערכת המשוואות הנתונה למערכת שקולה שהפיתרון שלה מיידי. • הדרך: ע"י ביצוע פעולות אלמנטריות שיביאו למערכת שקולה בה כל נעלם יופיע במשוואה אחת בלבד.

3. פעולות אלמנטריות • החלפת מקומן של שתי משוואות במערכת זו בזו • החלפת אחת המשוואות של המערכת בכפולה של אותה משוואה בסקלר שונה מאפס • הוספת כפולה של משוואה אחת למשוואה אחרת של המערכת

4. משואה אחת עם נעלם אחד 6 = 2 + X4

5. שתי משואות עם שני נעלמים 0 = Y2 + X 3 = Y + X2 ככל שיש יותר משתנים כך נחוצה דרך יותר שיטתית לפתרון.

6. מערכת משוואות

7. המטרה: לאפס את המקדם של X במשוואה השנייה • נוסיף 2- פעמים המשוואה הראשונה למשוואה השניה:

8. המטרה: לאפס את המקדם של X במשוואה השלישית • נוסיף 3- פעמים המשוואה הראשונה למשוואה השלישית:

9. ביטלנו את X בכל המשוואות פרט לראשונה:

10. המטרה: המקדם של Y במשוואה השנייה יהיה 1 • נכפול את המשואה השנייה ב 1/3-

11. המטרה: לאפס את המקדם של Y במשוואה הראשונה • נוסיף 2- פעמים המשוואה השנייה למשוואה הראשונה:

12. המטרה: לאפס את המקדם של Y במשוואה השלישית • נוסיף 5 פעמים המשוואה השנייה למשוואה השלישית:

13. המטרה: המקדם של Z במשוואה השלישית יהיה 1 • נכפול את המשואה השלישית ב 1/3-

14. המטרה: לאפס את המקדם של Z במשוואה הראשונה • נוסיף 1- פעמים המשוואה השלישית למשוואה הראשונה:

15. המטרה: לאפס את המקדם של Z במשוואות הראשונה והשניה • נוסיף 1- פעמים המשוואה השלישית למשוואה הראשונה והשניה:

16. ניתן להציג את המקדמים של מערכת המשוואות כמטריצת מקדמים A • הפעולות שביצענו יצרו מטריצת יחידה

17. ניתן להציג את המקדמים החופשיים של המשוואות כווקטור עמודה B • ואת הפתרון של המשוואות כוקטור X • פתרון המשוואות יתקבל ע"י

18. מטריצת היחידה • מטריצת יחידה מסומנת בעזרת האות I • מטריצת היחידה משמשת כאיבר נטרלי ביחס לכפל מטריצות כפי שהמספר אחד משמש כאיבר נטרלי ביחס לכפל סקלרים: • מטריצה הופכית למטריצה A מסומנת: • לא לכל מטריצה יש הופכית. • מטריצה הפיכה נקראת רגולרית. • מטריצה לא הפיכה נקראת סינגולרית.

19. נחזור למערכת המשוואות הלינאריות. • נכפול את שני הצדדים ב - • ונקבל • במטלאב מסמנים זאת:

20. דרך נוספת לפתרון היא באמצעות הפונקציה rref יוצרים מטריצת מקדמים ומוסיפים לה, בעמודה נוספת, את וקטור המקדמים החופשיים ומפעילים עליה את הפונקציה rref