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重點一、平面向量的表示法

重點一、平面向量的表示法. 1. 向量加法與係數積：. 本段結束. 2. 向量的平行：. 本段結束. 3. 平面向量的坐標表示法：. 本段結束. 4. 範例： 如圖，下面哪一選項中的向量與另兩個. 等於零向量 ?. <91 學測 >. 解：. 故選 (3) 。. ＃. 5. 範例： 如右圖， OABCDE 為坐標平面上一正六邊形，. 其中 O 為原點， A 點坐標為 (2, 0) ，. 之坐標表法為. y. <92 學測補考 >. 解：. C. D. B. E. 2. 故選 (2) 。. ＃. 60 . x.

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Presentation Transcript

  1. 重點一、平面向量的表示法 1. 向量加法與係數積： 本段結束

  2. 2. 向量的平行： 本段結束

  3. 3. 平面向量的坐標表示法： 本段結束

  4. 4.範例：如圖，下面哪一選項中的向量與另兩個4.範例：如圖，下面哪一選項中的向量與另兩個 等於零向量 ? <91學測> 解： 故選 (3)。 ＃

  5. 5. 範例：如右圖，OABCDE 為坐標平面上一正六邊形， 其中 O 為原點，A 點坐標為 (2, 0)， 之坐標表法為 y <92學測補考> 解： C D B E 2 故選 (2)。 ＃ 60 x O A(2, 0)

  6. 重點二、向量的線性組合 1. 內分點公式： 設 O、A、B三點不共線， O A B n m (x1, y1) (x2, y2) P 本段結束

  7. 2. 共線的充要條件：設 O 是一定點，則 P 在直線 AB 上 O O B B P A 2 2 5 P A 3 P為內分點： P為外分點： To be continued  範 例 注意：特別地，P為內分點時，x、y均為正數。 P為外分點時，x、y兩者之中必有一負數。

  8. 範例： O 解： 3k Q k B A P 因為 A、P、B三點共線 本段結束

  9. 3.重心：設 G 為 ABC 的重心，則： A 證明 F E G 證明 B C D O A G B C To be continued  範 例

  10. 範例： 且 G 為 DEF 的重心。 A F 解：因為 G為 DEF的重心 E  G B C D 本段結束

  11. A 4. 內心： o o 證明 例：設 I為 ABC 的內心， P h Q h B C D A 解： 2k 5 7 I k B C 7x D 5x 本段結束

  12. 重點三、平面向量的內積 1. 向量的內積： 而是一個「實數」。 本段結束

  13. 2. 內積與正射影： 證明： B  A O H To be continued  (2)

  14. 為銳角 為直角 為鈍角 B B B   = 90  A A O A O O=H H H 本段結束

  15. 3. 外心的內積性質： 設 O為 ABC 的外心。 A Q P O C B 4. 垂心的內積性質： 設 H為 ABC 的垂心。 A P Q H B C 本段結束

  16. 5. 柯西不等式： 本段結束

  17. 6. 範例：在四邊形 ABCD 中，A  120， <86學測> 解： 1， 12cos120 C D = 9×12 12×(1) + 4×22 2 120 = 13。 B A 1 ＃

  18. 7. 範例：設 A(2, 5)、B(5, 1)、C(3, 7)， 求 P 之坐標。 <84數乙> 解： C P(x，y) A B ＃

  19. 8. 範例：坐標平面中， 請問下列哪些選項是正確的？ < 100學測 > 解： y x O To be continued  詳解 (3)(4)(5)

  20. < 100學測 > = 0 + 9 = 9 > 0 解： y x O = 9c 。  9c = 2 故選(1)(2)(5)。 = 2 ＃

  21. 重點四、平面上的直線 1. 直線的參數式： (1) 方向向量： 設 A(x1 , y1)、B(x2 , y2)為直線 L上的相異兩點， 稱為直線 L的一個方向向量。 (2) 設 A(x0 , y0)為直線 L的定點， L 則直線 L上的任意一點 P(x , y) P(x , y) A(x0 , y0) 本段結束

  22. 2. 直線的法向量： L L Q(x2, y2) 的一個法向量。 P(x1, y1)   L2 L1 180 本段結束 

  23. 3. 點到直線的距離： P(x0 , y0) d 證明 L：ax + by + c = 0 L1 d L2 證明 本段結束

  24. 4. 範例：在坐標平面上，一道光線通過原點 O 後，沿著 y軸射向直線 碰到直線 L 後，假設光線依光學原理(入射角等於反射角) 反射後通過 x軸上的 R 點，則 R 點的 x坐標為。 <92學測補考> y 解： L: x2y+2=0 A   1 x B O R ＃

  25. 5. 範例：坐標平面上兩直線之斜率分別為 則下列何者為其一交角？ (1) 30(2) 36(3) 45(4) 60(5) 90 <86學測> 解： 故選 (1)。 所求交角為 30與 150， ＃

  26. 6. 範例：坐標平面上有相異兩點 P、Q，其中 P 點坐標為 (s, t)。已知 下列哪些選項是正確的? 的中垂線 L 的方程式為 3x4y=0， (3) Q 點坐標為 (t, s) (4) 過 Q 點與直線 L 平行之直線必過點 (s, t) (5) 以 O 表示原點， < 96學測 > y y = x 解： P(s , t) L:3x4y=0 M (3) 點 (s, t)與點 (t, s)對稱於直線 y = x。 Q O x 所以過 Q且與 L平行之直線必過 (s , t) 故選(1)(2)(4)(5)。 P(s ,t) ＃

  27. 重點五、二階行列式 1. 二階行列式： = (1) 行列互換其值不變： (2) 任意兩行（列）對調，其值變號：  ，  = = (兩列對調) (兩行對調) (3) 任一行（列）可以提出同一個數： = k k ， = To be continued  (4)(5)(6)

  28. (4) 兩行（列）成比例，其值為 0： ( 兩列成比例 ) ( 兩行成比例 )， = 0 = 0 (5) 將一行（列）的 k 倍加到另一行（列），其值不變： k = k ， = (6) 若某一行(列)之每個元素可分成兩行(列)元素的和， 此行列式可拆成兩個行列式的和： = + = + 本段結束

  29. 2. 一次方程組與克拉瑪公式： 兩直線恰交於一點   0 (克拉瑪公式) x、y其中有一不為 0 兩直線平行 方程組無解  = 0 x= y=0 兩直線重合 方程組有無限多組解 本段結束

  30. 3. 面積與行列式： 證明 C A B 本段結束

  31. 4. 範例：在坐標平面上，A(150, 200)，B(146, 203)，C(4, 3)，O(0, 0)， 則下列選項何者為真？ (1) 四邊形 ABCO 是一個平行四邊形 (2) 四邊形 ABCO 是一個長方形 (3) 四邊形 ABCO 的兩對角線互相垂直 (4) 四邊形 ABCO 的對角線 AC 長度大於 251 < 90學測 > (5) 四邊形 ABCO 的面積為 1250  ABCO 為平行四邊形。 解： B A ABCO為長方形。 C  對角線不垂直。 O = 450 + 800 = 1250。 故選 (1)(2)(5)。 ＃

  32. 5. 範例：坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD， 其中點 A 的坐標為 (2, 1)，點 B 的坐標為 (8, 2)， < 99學測 > 點 C 在第一象限且知其 x 坐標為 12。 若平行四邊形ABCD 的面積等於 38 平方單位，求點 D 的坐標。 C(12, y) D(, ) 解：設 C(12 , y)， y > 0，且 D(α,β) = 38。 B(8, 2) A(2, 1) 所以D(, ) = (6, 8)。 ＃

  33. 6. 範例：若實數 a、b、c、d 使得聯立方程組 且聯立方程組 則下列哪些選項一定正確？ (1) a  2 (2) c = 6 (3) b = 12 (4) d 9 (5)聯立方程組 < 101學測 > 解： To be continued  (5)

  34. 下列哪些選項一定正確？ (1) a  2 (2) c = 6 (3) b = 12 (4) d 9 (5)聯立方程組 < 101學測 > 解： b = 12 故選 (3) (4)。 ＃ 總複習 第十單元 結束

  35. 設 G為 ABC的重心， A 證明： F E G B C D ＃ 回 題 目

  36. 設 G為 ABC的重心， 證明： O A F E G B C D 回 題 目 ＃

  37. 內角平分線： 證明： (角平分線任一點到角的兩邊等距離) A o o P h Q h C B D ＃ 回 題 目

  38. 證明：設 A(x1, y1)為 L 上任一點， P(x0 , y0)   d  A(x1, y1) L：ax + by + c = 0 ax1+ by1+ c = 0 回 題 目 ＃

  39. 證明： L1 P(x1, y1) d L2 回 題 目 ＃

  40. 證明：  回 題 目 ＃

  41. 結 束 離 開 23 ＃ 總複習 第九章 結束 本段結束 Let’s do an exercise ! To be continued  注 意 To be continued  範 例

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