第九章 非正弦周期信号作用下电路的稳态分析

1. 电路基础 第九章 非正弦周期信号作用下电路的稳态分析 上海交通大学本科学位课程

2. 非正弦周期函数展开为傅立叶级数 数学上已知，任何一个周期为T的函数f(t)=f(T+t)，如果满足狄里赫利(Dirichlet)条件，即函数f(t)在一周期时间内连续，或具有有限个第一类间断点(间断点两恻函数有极限存在)，并且函数只有有限个极大值和极小值，则函数便可展开为傅氏级数。 上述傅氏级数形式也称三角级数，电路中经常遇到的非正弦周期函数，都能满足以上条件，并展开成傅氏级数。

3. 非正弦周期函数展开为傅立叶级数 傅氏级数中各项的系数称傅氏系数，利用三角函数的正交性，可确定傅氏系数。 电路理论中称A0为周期函数f(t)的恒定分量(直流分量或零次谐波)，其余各项称谐波分量。 T为原周期函数f(t)的周期, 为角频率。 谐波分量中频率同原信号频率的称基波分量，其余称高次谐波，并按其对基波频率之倍数称二次谐波、三次谐波，，k次谐波等。

4. 非正弦周期函数展开为傅立叶级数 求非正弦周期信号信号的傅氏级数，主要是求傅氏系数，并应充分利用周期函数的对称性。 • 求周期内波形面积代数和为0 如果函数f(t)在一周期内的平均值为零，即 则傅氏级数中就不存在恒定分量。若函数是电信号，则该信号中就不存在直流分量。具体可根据波形判断，只要在一周期内，函数波形正半周面积等于负半周面积，其平均值就为零。

5. 非正弦周期函数展开为傅立叶级数 • 奇函数—波形对称于原点（原点对称） 如果函数f(t)=-f(-t)，即f(t)的波形对称于坐标原点，称奇函数，则其傅氏系数为 当非正弦周期函数为奇函数时，傅氏级数中只含正弦项（正弦谐波分量）。

6. 非正弦周期函数展开为傅立叶级数 • 偶函数—波形对称于纵轴（纵轴对称） 如果函数f(t)=f(-t)即f(t)的波形对称于纵轴，称偶函数(如半波，全波整流波形)，则其傅氏系数为 当非正弦周期函数为偶函数时，傅氏级数中不含正弦项(正弦谐波分量)，只含常数项(直流分量)和余弦项(余弦谐波分量)。

7. 非正弦周期函数展开为傅立叶级数 如果函数 • 奇谐波函数—半波横轴对称 ，即f(t)前半个周期的波形 向后平移半个周期，便和后半个周期的波形对横轴成镜象对称，则其傅氏系数为 该函数的傅氏展开式中，只含奇次谐波而不含偶次谐波，故称奇谐波函数。该函数中，不含直流分量和偶次谐波分量，只含奇次谐波分量。

8. 非正弦周期函数展开为傅立叶级数 • 移动坐标原点 将一非正弦周期函数分解成奇函数，偶函数，常量等组合之和的方法可简化求解傅氏系数。 例 右图为半波整流后的工频电源的电压波形求其傅氏级数。 如按右图坐标计算A0,Akm和Bkm就较复杂。 若将坐标原点右移T/4，如右图蓝色坐标，便成偶函数，

9. 当k=1时

10. 当k=1时 当k>=2时 当k=3,5,7,… ，时 Akm=0

11. 若以黑色坐标为t’，则t’=t+T/4或t=t’-T/4

12. 例右图所示为锯齿波，不具备前述任何一种对称性。 如令f(t)=f1(t)+f2(t) 其中f1(t)=½Vm 则f2(t)就是一个奇函数。 A0=0，Akm=0

13. 非正弦周期函数展开为傅氏级数除表示为三角形式外，还可表示为复数形式。 其中 或 其中

14. 周期函数的频谱 如果以谐波振幅（包括直流分量）和角频率构一个平面，并以平面上横轴为角频率轴，纵轴为振幅轴，上式中每项的振幅和角频率便构成平面上的点。由这些点各作垂线并终止于横轴的相应的频率点上，便得到一种由长短不同但间距相同的线段组成的图像。这种图像称振幅频谱图；同理有相位频谱图。

15. 例 求右图所示三角波信号的振幅和相位频谱图。 波形既是原点对称又是半波横轴对称。因此，其傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。 可算出

16. 所求傅里叶级数 振幅频谱图 相位频谱图

17. 例 求右图所示信号的振幅和相位频谱图。 信号原点对称为奇函数，且又是半波横轴对称，所以其傅里叶级数仅是正弦奇次谐波分量组成。 所求傅里叶级数

18. 所求傅里叶级数 振幅频谱图 相位频谱图

19. 三角波信号 方波信号 • 三角波和方波的谱线衰减的快慢程度不同。表明信号波形不同，其傅里叶级数的收敛速度也不同。三角波和方波的谐波幅度分别按1/k2 和1/k的速度收敛。

20. 三角波信号 方波信号 • 在工程计算中允许在规定误差下作适当的近似。一个信号的傅里叶级数按理说应有无穷多项，实际上只能在不超过规定误差下取有限项数。由于三角波比方波的傅里叶级数衰减得快，所以在相同的误差下前者可取较少的项数。

21. 非正弦周期信号的有效值 非正弦周期信号的有效值的定义同正弦信号的有效值，也称方均根值。 其中f(t)可以是电压或电流，将它们展开成傅氏级数

22. 非正弦周期信号的有效值 将方括号展开的四种类型 • 直流分量的平方在一周内的平均值 • k次谐波的平方在一周内的平均值 • 直流分量与各次谐波乘积的2倍在一周内的平均值等于零 • 两个不同频率谐波分量乘积的2倍在一周内的平均值，根据三角函数的正交性，其结果为零

23. 非正弦周期信号的有效值 因此，非正弦周期信号的有效值 非正弦周期信号的有效值等于直流分量和各次谐波分量有效值的平方和开根号。 用最大值表示的公式中 而不是

24. 非正弦周期信号作用下的线性定常电路的稳态响应 非正弦周期信号展开成傅氏级数，分解成直流分量和各谐波分量之和，根据线性电路的迭加性，求解稳态响应便归结为求解直流响应和正弦稳态响应。 现以RLC串联电路在非正弦电压源v(t)作用下求解电流i(t)为例进行说明。 求解电路稳态响应的具体步骤

25. 将非正弦周期信号展开成傅氏级数 原电路用直流电路和一系列正弦稳态电路来代替，所求电流为各电路电流之和i(t)=I0+i1(t)+i2(t)+…

26. 求直流响应和用相量法求各谐波分量的正弦稳态响应求直流响应和用相量法求各谐波分量的正弦稳态响应 ①求I0直流作用,L→短路,C→开路, ∴I0=0 ②求i1,i2,… ∵v1,v2,…是一系列不同频率的正弦量 ∴i1, i2, …是一系列不同频率的稳态响应，要对每一种频率应用相量法求解 ⓐ求i1(t) ∵v1=V1msin(t+1)

27. ⓑ求i2(t) ∵v2=V2msin(2t+2) • 根据迭加性，将各分响应迭加后得出总响应 注意:不能 然后 的频率与 的频率2是不同的。

28. 谐波阻抗 在求解非正弦周期信号稳态响应中，由于各次谐波的频率不同，电路中的电感和电容对各次谐波呈现的感抗和容抗是不同的，因此，对非正弦周期信号电路，笼统地讲阻抗是没有意义的，必须说明是对哪次谐波的阻抗，这些阻抗统称为谐波阻抗。 对基波来说，角频率为，故基波感抗XL1=L基波容抗XC1=1/C 对k次谐波，角频率为k，故k次谐波感抗XLk= kL=kXL1，k次谐波容抗XCk=1/kC= XC1/k

29. RLC串联电路的k次谐波阻抗为 • 从k次谐波的感抗XLk=kL=kXL1可见，谐波的次数越高，感抗越大，因此电感线圈有抑制高次谐波电流的作用。如果一个非正弦电压作用于含有电感元件的支路上，支路电流波形较电压波形更接近于正弦波形。 • 从k次谐波的容抗XCk=1/kC=XC1/k可见，谐波次数越高，容抗越小，电流越易通过，所以电容器具有增强高次谐波电流的作用。若一个非正弦电压作用于电容元件的支路上，支路电流波形较电压波形的差别更大，即畸变更严重。

30. 图示LC滤波电路中,L=5H,C=10F,输入为正弦全波整流电压,电压的振幅Vmab=150V,角频率=314弧度/秒,负载电阻R=2000。求负载端电压vcd及电感中的电流i。 例 ①所示正弦全波整流电压vab的傅氏级数展开为 说明电压源vab中含有直流分量和偶次谐波分量

31. ⓐ恒定分量的作用，电感→短路，电容→断路 ②计算电源电压恒定分量和各次谐波分量的作用 ⓑ二次谐波分量的作用，RC并联电路的阻抗 全电路阻抗

32. ⓒ四次谐波分量的作用,方法同上,将2换成4ⓒ四次谐波分量的作用,方法同上,将2换成4 可见负载上的四次谐波电压只占直流电压的0.161/96=0.17%，四次以上谐波分量所占百分比则更小，可不再计算更高次谐波的影响。

33. ③将直流分量和各谐波分量相迭加，先将相量转换成瞬时值③将直流分量和各谐波分量相迭加，先将相量转换成瞬时值 考虑到电源电压vab的各谐波分量前均为负号，所以电压vcd和电流i各分量也应带有负号，即瞬时值

34. 负载电压的有效值 负载电压vcd中最大的谐波，即二次谐波，电压的振幅占恒定分量的3.5%，这表明电路具有滤掉各谐波分量的作用。利用电感、电容对各种谐波具有不同电抗的特点，还可组成其它类型的滤波电路。

35. 非正弦周期信号作用下电路的功率 设被测端口的电压v(t)，电流i(t)均为非正弦周期波形，其傅氏级数为 • 瞬时功率

36. 瞬时功率表达式中有四种情况 1电压和电流的直流分量的乘积 2 电压和电流同次谐波的乘积 3 不同次谐波的电压和电流的乘积 4 电压恒定分量与电流各次谐波的乘积和电流恒定分量与电压各次谐波的乘积

37. 平均功率（有功功率） 在瞬时功率展开表达式中已知有四种情况，各项在一周内的平均值为： 1电压和电流的直流分量的乘积 2电压和电流同次谐波的乘积

38. 3同次谐波的电压和电流的乘积，根据三角函数的正交性 4电压(电流)恒定分量和电流(电压)各次谐波的乘积 因此 非正弦电路中的平均功率等于直流分量的平均功率和各次谐波的平均功率之和。 注意：非同频率的电压谐波和电流谐波只形成于瞬时功率之中，而不出现在平均功率中。

39. 无功功率 • 视在功率 • 功率因数 • 畸变功率 在非正弦电路中，电压和电流波形中含有多次谐波波形，一般情况下，由于电路中元件参数的不同，如电感电容等，它们对高次谐波的响应有所不同，因此两波形(指电压和电流)会有差别，而造成 称T为畸变功率

40. 在电力系统中，畸变功率T的出现说明系统内的电压和电流已由正弦波畸变为非正弦波，并且电压和电流两者的波形也不相同。在电力系统中，畸变功率T的出现说明系统内的电压和电流已由正弦波畸变为非正弦波，并且电压和电流两者的波形也不相同。 • 在出现畸变功率的系统中， 则功率因数 必然降低，(较 时)使电力系统 的效率降低，所以在电力系统中，应尽量避免出现高次谐波。 • 非正弦电路的功率因数中的角，并不能象正弦稳态电路中表示电压与电流间的相位差，因为两个波形不同的非正弦周期波形间涉及不到相位差。

41. 非正弦周期信号下的谐振滤波器 • 非正弦周期信号下的电路的谐振 在非正弦周期电压和电流作用下电路的谐振要更复杂一些。现有一非正弦周期电压作用在 RLC串联电路上， 由第k次谐波分量引起的第k次电流谐波分量的有效值为 若L可调节，则当 时发生k次 谐波谐振，且

42. 谐振时L的值与谐波次数k的平方成正比 右图的虚线表达了三个电流谐波分量的谐振曲线。 右图的红线表达了总的电流有效值

43. 利用调谐到一定频率上的LC串联支路和并联支路，可构成谐振滤波器。 1 谐振滤波器可用来滤除信号中的某个或某些谐波分量，使某个或某些谐波分量不能进入负载； 2 谐振滤波器也可用来选择信号中某个或某些谐波分量，以允许某个或某些谐波分量进入负载。 • 谐振滤波器 右图所示滤波器为可以使某个单一频率的谐波分量进入负载的谐振滤波器。

44. 右图所示滤波器为可以使某个单一频率的谐波分量进入负载的谐振滤波器。 该滤波器中串联谐振电路和并联谐振电路的谐振频率均为某k次谐波频率k，那么，k次谐波电流可畅通无阻地通过L1C1串联谐振电路，而不能通过L2C2并联谐振电路。因此该谐波电流流经负载，其它频率的谐波电流则在L1C1上造成较大的电压。而电流则大部分被电感L2(低频)和电容C2(高频)分流，致使负载上主要保留了k次谐波。

45. 选频作用 右图所示滤波器为可以使某个单一频率的谐波分量进入负载的谐振滤波器。

46. 右图所示滤波器，L1C1调谐到对p次谐波发生谐振，L2C2调到q次谐波发生谐振。 那么，p次谐波电流不能通过L1C1并联谐振电路，而q次谐振电流又从L2C2串联谐振电路分流，因此，上右图滤波器能滤除信号中的p次和q次谐波。

47. 滤波作用