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第 23 　圆的有关性质

第 23 　圆的有关性质. 1. 了解：圆的定义及其有关概念 , 圆心角和圆周角的概念 . 2. 理解：圆的轴对称性和中心对称性 . 3. 掌握：垂径定理及其推论 , 圆周角定理及其推论 . 4. 会：运用垂径定理及其推论和圆心角所对的弦、弧之间的关系定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题 . 5. 能：用垂径定理及圆周角的性质解决与圆有关的分类问题. 圆的有关性质 1. 圆的对称性：圆既是轴对称图形 , 又是中心对称图形 . 2. 垂直于弦的直径的性质及其推论： (1) 定理：垂直于弦的直径 ___________, 并且平分这条弦所 对的两条弧 .

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第 23 　圆的有关性质

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  1. 第23　圆的有关性质

  2. 1.了解：圆的定义及其有关概念,圆心角和圆周角的概念.1.了解：圆的定义及其有关概念,圆心角和圆周角的概念. 2.理解：圆的轴对称性和中心对称性. 3.掌握：垂径定理及其推论,圆周角定理及其推论. 4.会：运用垂径定理及其推论和圆心角所对的弦、弧之间的关系定理及其推论解决有关证明、计算和作图问题. 5.能：用垂径定理及圆周角的性质解决与圆有关的分类问题.

  3. 圆的有关性质 1.圆的对称性：圆既是轴对称图形,又是中心对称图形. 2.垂直于弦的直径的性质及其推论： (1)定理：垂直于弦的直径___________,并且平分这条弦所 对的两条弧. (2)推论：平分弦(不是直径)的直径_____于弦,并且平分弦 所对的_______. 平分这条弦 垂直 两条弧

  4. 3.圆心角、弧、弦之间的关系： 在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等,所对 的弦也相等. 4.圆周角定理及其推论： (1)定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角_____, 都等于这条弧所对的圆心角的_____. 相等 一半

  5. 直角 (2)推论：半圆(或直径)所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是直径. 5.三角形的外心： 外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离_____. 相等

  6. 1.有下列四个命题：①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;1.有下列四个命题：①直径是弦;②经过三个点一定可以作圆;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等; ④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有　( ) A.4个　　　B.3个　　　C.2个　　　D.1个 B

  7. 2.如图,△ABC内接于☉O,∠A=40°,则∠BOC的度数为　( ) A.20° B.40° C.60° D.80° 3.若☉O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB=__. D 8

  8. 4.等边三角形的边长为6,则其外接圆的半径为____.4.等边三角形的边长为6,则其外接圆的半径为____. 5.如图,已知☉O的半径是6cm,弦CB=6 cm,OD⊥BC,垂足为D, 则∠COB=_____. 120°

  9. 热点考向一 圆心角与圆周角  【例1】(1)(2012·湘潭中考)如图, 在☉O中,弦AB∥CD,若∠ABC=40°, 则∠BOD=() A.20°B.40° C.50° D.80°

  10. (2)(2013·娄底中考)如图,将直角 三角板60°角的顶点放在圆心O上, 斜边和一直角边分别与☉O相交于A, B两点,P是优弧AB上任意一点(与A,B 不重合),则∠APB=.

  11. 【思路点拨】(1)先根据平行线的性质求出∠BCD,再根据同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系求出∠BOD.【思路点拨】(1)先根据平行线的性质求出∠BCD,再根据同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系求出∠BOD. (2)∠AOB和∠APB为同弧所对的圆心角和圆周角,先找出∠AOB的度数,再求∠APB.

  12. 【自主解答】(1)选D.∵弦AB∥CD,∴∠ABC=∠BCD, ∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°. (2)根据同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半,则∠APB=30°. 答案：30°

  13. 【名师助学】圆中的“转化思想” 1.在圆中有“直径”这一条件时,要考虑到直径所对的圆周角是直角,有时需要添加辅助线构造直径所对的圆周角,由此转化为直角三角形的问题.

  14. 2.与圆有关的求角的大小、线段的长度时,要灵活运用两个转化：2.与圆有关的求角的大小、线段的长度时,要灵活运用两个转化： (1)“弧、弦与圆周角”之间的“等对等”转化,即同弧转化为相等的圆周角,相等的圆周角转化为等弧,等弧转化为等弦等. (2)圆心角和圆周角之间的倍分转化.

  15. 热点考向二 垂径定理  【例2】(1)(2013·张家界中考)如图,☉O的直径AB⊥弦CD,且∠BAC=40°,则∠BOD=_________.

  16. (2)(2013·邵阳中考)如图所示,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻璃,请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径.(2)(2013·邵阳中考)如图所示,某窗户由矩形和弓形组成,已知弓形的跨度AB=3m,弓形的高EF=1m,现计划安装玻璃,请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径.

  17. 【思路点拨】(1)由垂径定理知 ，由弧的关系找 ∠BAC和∠BOD的关系，求出∠BOD. (2)先由垂径定理求出BF，在Rt△OBF中，设圆O的半径为 x m，用含x的代数式表示出OF，再用勾股定理列方程，解 方程，求出弧AB所在圆O的半径.

  18. 【自主解答】(1)∵⊙O的直径AB与弦CD垂直，∴ , ∴∠BOD=2∠BAC=80°. 答案：80° (2)由垂径定理得BF= AB=1.5 m，OE⊥AB，设圆O半径为 x m，则OF=(x-1)m.在Rt△OBF中，根据勾股定理得 x2=1.52+(x-1)2,解得x=1.625，即圆O的半径是1.625 m.

  19. 【名师助学】垂径定理的应用 1.垂径定理及其推论是证线段相等、角相等、垂直关系的重要依据,应用时要注意：垂径定理的推论“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”,一定要强调“弦不是直径”. 2.利用垂径定理解决问题时,常常作圆心到弦的垂线段这一辅助线,把问题转化到半径、弦长的一半、圆心到弦的垂线段三者组成的直角三角形中,从而建立了已知量和未知量之间的关系.

  20. 热点考向三 三角形的外接圆  【例3】(1)(2012·鄂州中考)如图, OA=OB=OC且∠ACB=30°,则∠AOB的 大小是() A.40°B.50° C.60° D.70° (2)(2012·资阳中考)直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是________.

  21. 【解题探究】(1)①由OA=OB=OC,可得点A,B,C有什么特殊的位置关系?【解题探究】(1)①由OA=OB=OC,可得点A,B,C有什么特殊的位置关系? 提示：点A,B,C在同一圆上. ②∠ACB与∠AOB有什么位置关系与数量关系? 提示：∠ACB与∠AOB是同圆中同弧所对的圆周角与圆心角, ∠AOB=2∠ACB.

  22. (2)①直角三角形的两边长分别为16和12,一定是两直角边吗?可有几种情况?(2)①直角三角形的两边长分别为16和12,一定是两直角边吗?可有几种情况? 提示：不一定,可分两种情况：情况一、16和12都为直角边长;情况二、12为直角边长,16为斜边长. ②在直角三角形中怎样求外接圆的半径? 提示：直角三角形的斜边即为外接圆的直径,所以由勾股定理求出直角三角形的斜边即可.

  23. 【尝试解答】(1)选C.根据题意,可以以点O为圆心,以OA为半径作圆,如图,则有点A,B,C均在圆周上,故有∠AOB=2∠ACB【尝试解答】(1)选C.根据题意,可以以点O为圆心,以OA为半径作圆,如图,则有点A,B,C均在圆周上,故有∠AOB=2∠ACB =60°.

  24. (2)当已知的两边长分别为16和12的边为直角边时求得斜边为20,此时直角三角形的外接圆半径是10.当斜边长为16时,此时直角三角形的外接圆半径是8.所以三角形的外接圆半径是10或8.(2)当已知的两边长分别为16和12的边为直角边时求得斜边为20,此时直角三角形的外接圆半径是10.当斜边长为16时,此时直角三角形的外接圆半径是8.所以三角形的外接圆半径是10或8. 答案：10或8

  25. 【名师助学】三角形外心的三种位置 1.锐角三角形的外心在三角形的内部. 2.直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点. 3.钝角三角形的外心在三角形的外部.

  26. 解：如图，圆心O在△ABC的内部 ………… ① ………… ② 故应选A。 圆中的分类讨论 【典例】(2012·襄阳中考)△ABC是☉O的内接三角形,若∠AOC=160°,则∠ABC的度数是() A.80°B.160°C.100°D.80°或100°

  27. 【纠错路径】 1.找错：画出的图形仅考虑了圆心O在△ABC内部的情形,因此 错解从第___步出现错误. 2.错因：____________________________________________ ____________________________________________________ ________________ 3._____________________________________ ① 思考不周,犯了以偏概全的错误.符合要求的圆心O 可能在三角形的内部,也可能在三角形的外部.因此,本题应 分两种情况讨论. 纠错：选D.当圆心O在△ABC内部时,如图.

  28. ______________________________ __________________________ _________________________ _____________________________ ________________________________ 当圆心O在△AB′C外部时，如图. ∵四边形ABCB′内接于⊙O， ∴∠AB′C＋∠ABC＝180°. ∠AB′C＝180°－80°＝100°. 综上，∠ABC的度数是80°或100°.

  29. 【学以致用】 (2012·绥化中考)已知☉O为△ABC的外接圆,∠BOC=100°,则∠A=. 【解析】如图,当圆心O在△ABC内部时, ∠A= ∠BOC= ×100°=50°.当圆心O在 △A'BC外部时, ∵A,B,A',C四点共圆,

  30. ∴∠A+∠A'=180°, ∴∠A'=180°-50°=130°. 答案：50°或130°

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