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计算机辅助设计. 曾建江 zengjj@nuaa.edu.cn. 几何造型技术. 参数曲线和曲面 形体在计算机内的表示 参数化造型 特征造型. 参数曲线和曲面. 显示、隐式和参数表示 Bezier 曲线与曲面 B 样条曲线与曲面 NURBS 曲线与曲面 Coons 曲面. 曲线曲面参数表示的基础知识. 曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示，由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，通常用参数形式描述曲线、曲面。. 显示、隐式和参数表示. 曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。
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计算机辅助设计 曾建江 zengjj@nuaa.edu.cn
几何造型技术 • 参数曲线和曲面 • 形体在计算机内的表示 • 参数化造型 • 特征造型
参数曲线和曲面 • 显示、隐式和参数表示 • Bezier 曲线与曲面 • B样条曲线与曲面 • NURBS曲线与曲面 • Coons曲面
曲线曲面参数表示的基础知识 • 曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示，由于参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，通常用参数形式描述曲线、曲面。
显示、隐式和参数表示 • 曲线和曲面的表示方程有参数表示和非参数表示之分，非参数表示又分为显式表示和隐式表示。 • 显式表示一般形式是：y=f(x)。在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线 • 平面曲线方程，表示成f(x,y)=0的形式，我们称之为隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数f(x,y)是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。
非参数表示形式方程存在问题 • 与坐标轴相关； • 会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）； • 对于非平面曲线、曲面，难以用常系数的非参数化函数表示； • 不便于计算机编程。
参数表示 • 在几何造型系统中，曲线曲面方程通常表示成参数的形式，即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为： P(t)=[x(t), y(t)]；
在曲线、曲面的表示优越性 • （1）可以满足几何不变性的要求。 • （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为： 只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为： 有8个系数可用来控制此曲线的形状
（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对曲线、曲面上的每个型值点进行几何变换；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。 • （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。
（5）由于坐标点各分量的表示是分离的，从而便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。（5）由于坐标点各分量的表示是分离的，从而便于把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间中去。 • （6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使得界定曲线、曲面的范围十分简单。 • （7）易于用矢量和矩阵运算，从而大大简化了计算。
曲线和曲面和矢量方程和参数方程 • 空间点A，从原点o到A点的连线oA表示一个矢量，此矢量称为位置矢量。 • 曲线矢量方程 • 参数方程
曲线的自然参数方程 • 曲线的参数方程中，由于参数选取的不同，得到的方程也会是不同的。 • 已知曲线自身的弧长是曲线的不变量，即不管坐标系如何选取，只要在其上取一初始点，确定一个方向，取一个单位长度，由曲线的弧长和参数增长方向便完全确定了。它是不依赖于坐标系的选取的。
设有一条空间曲线Γ，在Γ上任取一点M0(x0，y0，z0)，作为计算弧长的初始点。设有一条空间曲线Γ，在Γ上任取一点M0(x0，y0，z0)，作为计算弧长的初始点。 • 以曲线弧长作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数
基本三棱形 • 取坐标系的原点和曲线Γ上的动点M重合，使整个坐标系随M点的运动，这种坐标系称为活动坐标系 • 由切线和主法线所定的平面称为密切平面。由主法线和副法线组成的平面称为法平面。而由切线和副法线构成的平面称为从切面(或称次切面)。 • 这三个面构成了曲线Γ在 点M点处的基本三棱形 (或称基本三面形)。
曲率 由于|T(s)|=|T(s+Δs)|=1，都是单位矢量，(见图1-11)，故弦长|ΔT|与角度Δθ之比的极限为1，就得到 曲率表示切线方向对于弧长的转动率。转动越“快”，曲率越大，弯曲程度越厉害。
挠率 就绝对值而言，等于副法线方向(或密切面)对弧长的转动率。
曲面论基本公式 • 曲面的第一基本公式
插值样条函数 • 物理背景：
合成Ferguson曲线 • 一般曲线段之间的连续性条件 • 位置连续 • 斜率连续 • 曲率连续
C阶连续、G阶连续 • C阶连续：导矢连续 • G阶连续：单位导矢连续
