南台科技大學 專題討論報告

1. 南台科技大學 專題討論報告 指導老師：黃振勝姓　　名：姚信豪學　　號：M98U0206 中華民國98年12月16日

2. 壹、報告內容

3. 報告之資料來源： 整合DEA 與PCA 於績效改善之應用 作者： 蔡榮發、黃文中 出處： 第一屆台灣作業研究學會學術研討會暨 2004 年科技與管理學術研討會、1073~1080

4. 摘要 • 資料包絡分析法（DEA）與主成份分析（PCA）分別為經濟指標與多變量統計分析應用於排名評估之方法，此兩者方法皆透過權重的加權表現於績效分數上。 • DEA 利用每個DMU的input 與output來產生權重，以加強自己本身的優勢，而PCA 利用整體觀點給予所有受評單位的各變數一權重值。 • 本研究整合DEA 與PCA，經由PCA 的方法分析DEA 權重的成份特性，分析及評估DEA 權重影響績效排名之特性。同時本方法更能夠透過分析結果，提出各DMU 績效改善之方向。

5. 一、介紹 • 資料包絡分析法（Data envelopment analysis，DEA）是績效評估的工具之一，其目的在於希望透過決策單位元（Decision Making Units，DMU）衡量多項產出與多項投入間相對的表現，並透過權重計算各DMU 的產出與投入比值。

6. 在DEA 評估中，權重是影響分數的重要因素之一，一般而言有兩個方法可決定權重，即事前主觀方式與事後客觀方式。 • Lidia 與Marcos（2002）發表的文章中指出DEA 鑑別度的問題， （1）權重值無法真正反應指標的重要性。 （2）評價指標與DMU 個數比過高時，有效率DMU 會過多。 （3）多個有效率的DMU 會得到多組權重的最佳解。 • 本研究將詳細探討權重在DEA 所扮演的角色、DEA 的權重如何影響分數、如何利用分析出來的權重結果做一些績效的改善。

7. PCA 是多變量統計分析的方法之一，它透過最大變異的原則給予每一個變數適當的權重，計算出總指標分數。 • 雖然DEA 與PCA 皆具權重與排名的共同性，但是其間有一些差異 （1）PCA 每一個DMU 的變數權重皆相等。DEA則有多組權重最佳解。 （2）PCA 不能同時存在輸入/輸出的變數，大部份都是只有輸入變數或只有輸出變數。 （3）PCA 產生權重是以全部DMUs 計算。DEA 每次只以單一DMU找出自己最有利的權重。 （4）PCA 能夠透過成份分析了解數據特性。

8. Zhu（1998）試圖利用此兩者皆透過客觀方式產生權重的共同性，來比較此兩種方法排名的結果是相似的，Zhu 利用單一輸出除以單一輸入將DEA 的資料型態轉變成PCA 的資料型態（表一），以解決差異（2）的問題。

9. Cinca 與Molinero（2004）利用Zhu 的18 個中國城市為例，將兩個輸入與三個輸出呈現成21 種模式（表二），並計算出21 種模式的DEA 分數，再利用PCA的方法分析，以了解模式選擇的問題。

10. 例如，在d1 欄位DMU 6 有最大之值0.2096，如果將此值最大化為100，則DMU 1 的d1 值等於27 等於DMU 1 的 A1 之值，其值即為DEA 分數。

11. 資料包絡分析法 • CCR 模式為固定規模報酬（constant returns to scale，CRS），BCC 為變動規模報酬（variable returns to scale，VRS），本研究將使用CCR 模式，假設產出與投入比為一固定規模報酬。其模式描述如下：

12. 上述模型為分數型態的非線性規劃，不易求解，故轉換為線性規劃模式上述模型為分數型態的非線性規劃，不易求解，故轉換為線性規劃模式

13. 二、主成份分析 • 主成份分析是一種尋找幾個解釋變數Xi 的線性組合，它們一方面要能保有原來變數資訊的代表性，且主成份間也不能重疊（獨立性），另一方面更能以少數幾個主成份代替原來較多的解釋變數（精簡性），它能夠充份反應變數的重要性。

14. 假設有N 個樣本，每個樣本有P 個指標，並以矩陣方式表示（即原始變數為一隨機向量）：X=【x1,x2,…,xp】，相關矩陣R（或共變異矩陣S）之特徵值（Eigenvalues）經由|R-λIp|=0 求出R 的特徵值，為λ1,λ2,λ3,…λp ，且各特徵值所對應之特徵向量（Eigenvectors）為γ1,γ2,⋯γp，則可以定義由原始變數所組成的主成份為：

15. 其中γ1,γ2,⋯γp 為R 中第i 個特徵向量γi 的各元素，而PC1，PC2，PCp 分別稱為第一主成份，第二主成份及第p 主成份。其解釋變異百分比M 為： • 為達到簡化的目的，主成份只粹取Q 個來代替原來的P 個變數，一般解釋變異百分比只需超過80%（M>80%）即具有代表性。而主成份可以表示為： ，其中wk = λk p

16. 三、結合DEA 與PCA 以了解績效分數之特性 • 將原始資料代入DEA 數學規劃模式。DEA 方法每一次執行，只針對一個DMU 的投入與產出做為目標式的函數，過程須執行n 次，分別找出不同DMU 的最佳權重解（表四）。 • 將多組權重值分別代入各優先考量之DMU 可得到一分數矩陣（表五）。 • Chen 及Ali（2002）的文章中指出快速檢視有效率DMU 的方法，在DMU 中如果其Output/Input具有最高的比值，必定是有效率的DMU。

17. 透過DEA 權重矩陣（表四）可以觀察這些權重是各DMU 綜觀各變數值後，找到自己最有利的變數給予較高的權重。

18. 權重優勢的不同，同時會產生一致性的問題，DMU2 僅認為自己及DMU10 效率值為1卻不認為DMU6 效率值為1，這將造成排名次序的不一致。

19. 表六為DEA 權重之PCA 分析。 • w1=-0.604，w2=-0.311。故PCA=-0.604PC1-0.311PC2。 • Output/Input 變數可以分成兩組，一組為Y2，Y3，X2 另一組為Y1，X2。

20. PCA 分數（表七）代表著權重值增加的優勢。 • DMU13 有最高PCA 分數4.29。 • 由PCA 分數可知DMU13最大化了它的權重優勢。 • DMU1 及DMU16 的DEA 分數雖然都為0.47 但是它們的PCA 分數分別為-0.50 及-0.25。 • 因此透過PCA 的分析，能夠發現DMU 的權重本質。

21. 表八及表九為DMU2、6、10的PCA 特徵值及分數 PCA=-0.746PC1-0.254PC2 • DMU2、6、10 其DEA 分數皆為1 但是其PCA 分數皆不高，它們並沒有得到太多的權重優勢，但是它們的本質非常的好，並不需要透過權重優勢就能使用其DEA 績效分數為最高。 Output/Input 變數可以分成兩組，一組為Y1，Y2，X1 另一組為Y3，X2。

22. 雖然它們皆為有效率的DMUs，但是其間還是有變數重視之差異。將此3 個DMU 透過PCA 分析將可以發現其間的差異。 • 在PC1 上DMU2 及DMU6 有著正負相反的分數，DMU2 主要權重在於Y3、X2，而DMU6 主要權重在Y1、Y2、X1，可以說是背道而馳，因此他們雖然DEA 分數皆為1，但是權重優勢卻完全不同。

23. 四、結論 • 本研究利用PCA 對DEA 權重進行分析，其目的在於了解各DMU 的權重傾向以及DMU 權重的特性並利用這些特性達成績效改善方向。 • 在DEA 分析，權重產生的方式造成一些問題，包括排名的一致性、權重無法充份反應變數的重要性、有效率的DMU 過多。 • PCA 分析所得到的權重能夠充份了解DEA 權重的重要性，並且能夠進一步針對有效率的DMU 進行分析，效率值同為1，但是其權重優勢可能不一樣，甚至有可能是背道而馳。 • DEA 權重與PCA 權重雖然產生方式不同，卻可以結合以分析DEA 之權重。本研究詳細探討權重的特性，並且可以提供各決策單元做績效之改善之方向，以提高DEA 分數，達成績效成長。

24. 貳、心得及問題討論

25. 心得 DEA績效評估方法的精神在於鼓勵各受評單位(DMU)發展自己特色，每個DMU會選取對其最有利之投入、產出權重，在本篇於例子考慮部分DMU依靠權重來取得優勢，因此對權數提出限制，惟此舉恐失去原DEA績效評估方法的精神。