Sorozatok

1. Sorozatok Készítette: Horváth Zoltán (2012)

2. Tartalom Sorozatokés megadásuk Mértani sorozat és az n-dik tagja Számtani sorozatok Kamatos kamat,amortizáció Számtani sorozat n-dik tagja és differenciája Mértani sorozat első n tagjának összege Számtani sorozat első n tagjának összege

3. A természetes számok halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük.

4. Sorozatok megadásának néhány módja • Tagok felsorolásával: • Egyik tag és a differencia megadásával: • Szabállyal: • Diagrammal:

5. A következő sorozatnak írjuk fel néhány tagját, és ha lehet, ábrázoljuk grafikonon az összetartozó értékpárokat!

6. A következő sorozatnak írjuk fel néhány tagját, és ha lehet, ábrázoljuk grafikonon az összetartozó értékpárokat!

7. A következő sorozatnak írjuk fel néhány tagját, és ha lehet, ábrázoljuk grafikonon az összetartozó értékpárokat!

8. I.Számtani sorozat Egy sorozat számtani, ha a második tagtól kezdve bármelyik sorozattag és az azt megelőző sorozattag különbsége állandó. Ez az állandó különbség a számtani sorozat differenciája: d. Írjunk fel általánosan 3 egymást követő tagot! A felírásból jól látszik, hogy a középső tag a szomszédos két tag számtani közepe: Általánosan: A sorozat e számtani közép tulajdonság miatt kapta a fenti elnevezést.

9. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó,ezért a megadott sorozat növekvő számtani sorozat.

10. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó,ezért a megadott sorozat növekvő számtani sorozat.

11. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó,ezért a megadott sorozat csökkenőszámtani sorozat.

12. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó,ezért a megadott sorozat konstansszámtani sorozat.

13. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége állandó,ezért a megadott sorozat konstansszámtani sorozat.

14. Megállapítás • Ha a számtani sorozat differenciája pozitív, akkor a számtani sorozat növekvő. • Ha a számtani sorozat differenciája negatív, akkor a számtani sorozat csökkenő. • Ha a számtani sorozat differenciája zérus, akkor a számtani sorozat konstans.

15. További következtetések • Ha a számtani sorozat differenciája pozitív, akkor a számtani sorozat alulról korlátos. • Ha a számtani sorozat differenciája negatív, akkor a számtani sorozat felülről korlátos. • Ha a számtani sorozat differenciája zérus, akkor a számtani sorozat korlátos.

16. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEMszámtani sorozat.

17. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEMszámtani sorozat.

18. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEMszámtani sorozat.

19. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEMszámtani sorozat, hanem MÁSODRENDŰ SZÁMTANI SOROZAT. Mivel az egymást követő sorozattagok különbségéből alkotott sorozat számtani sorozatot alkot.

20. Számtani sorozat-e? Számoljuk ki az egymást követő sorozattagok különbségét! Az egymást követő sorozattagok különbsége NEM állandó, így a megadott sorozat NEMszámtani sorozat, hanem MÁSODRENDŰ SZÁMTANI SOROZAT. Mivel az egymást követő négyzetszámok különbségéből alkotott sorozat számtani sorozatot alkot.

21. Ábrázoljuk a következő sorozatot grafikonon! A grafikonon ábrázolt számtani sorozattagok értékei egy egyenesre illeszkednek.

22. Ábrázoljuk a következő sorozatot grafikonon! A grafikonon ábrázolt számtani sorozattagok értékei egy egyenesre illeszkednek.

23. Ábrázoljuk a következő sorozatot grafikonon! A grafikonon ábrázolt (mértani) sorozattagok értékei nem illeszkedik egy egyenesre.

24. Számtani sorozat differenciája és az n-dik tag kiszámítása

25. A számtani sorozat n-dik tagja Előző dia

26. Egy számtani sorozat harmadik tagja 6, ötödik tagja 14. Határozd meg a sorozat tizedik tagját! A harmadiktagtól hány lépéssel lehetaz ötödik tagig eljutni? 5-3=2 , azaz két lépés kell, hogy aharmadik tagtól az ötödik tagig eljussak. A harmadiktagtól hány lépéssel lehetaz tizedik tagig eljutni? 10-3=7 , azaz hét lépés kell, hogy aharmadik tagtól az tizedik tagig eljussak. A sorozat differenciája 4, tizedik tagja 34.

27. Egy számtani sorozat második tagja 5, ötödik tagja 15. Határozd meg a sorozat hetedik tagját! A másodiktagtól hány lépéssel lehetaz ötödik tagig eljutni? 5-2=3 , azaz három lépés kell, hogy amásodik tagtól az ötödik tagig eljussak. A másodiktagtól hány lépéssel leheta hetedik tagig eljutni? 7-2=5 , azaz öt lépés kell, hogy amásodik tagtól a hetedik tagig eljussak. A sorozat differenciája 10/3, hetedik tagja 65/3.

28. Határozd meg a számtani sorozat n-dik tagját, ha az első tagja 5, differenciája pedig 3! Írjuk fel a számtani sorozat n-dik tagjának meghatározására vonatkozó összefüggést! Behelyettesítés után a következőt kapjuk: A sorozat n-dik tagja:

29. Határozd meg a számtani sorozat n-dik tagját, ha az első tagja -15, differenciája pedig 2,4! Írjuk fel a számtani sorozat n-dik tagjának meghatározására vonatkozó összefüggést! Behelyettesítés után a következőt kapjuk: A sorozat n-dik tagja:

30. Vizsgáljuk meg a következő számtani sorozatot!

31. Általánosan: a középső tag mindig a szomszédos két tag, vagy a középsőtől mindkét irányba azonos távolságra vett értékek számtani közepe: Általánosan: A sorozat e számtani középtulajdonság miatt kapta a számtani elnevezést.

32. Egy számtani sorozat harmadik tagja 20, hetedik tagja 40. Mennyi a sorozat ötödik tagjának értéke? Vegyük észre, hogy az ötödik tag a hetedik és a harmadik között helyezkedik el középen. Használjuk fel a számtani sorozat elnevezésére utaló tulajdonságát! A sorozat ötödik tagjának értéke: 30.

33. Egy számtani sorozat tizedik tagja 20, tizenötödik tagja 40. Mennyi a sorozat huszadik tagjának értéke? Vegyük észre, hogy a tizenötödik tag a tizedik és a huszadik között helyezkedik el középen. Használjuk fel a számtani sorozat elnevezésére utaló tulajdonságát! A sorozat huszadik tagjának értéke: 60.

34. Egy számtani sorozat harmadik tagja 4, ötödik tagja 40. Mennyi a sorozat első tagjának értéke? Vegyük észre, hogy a harmadik tag az első és az ötödik között helyezkedik el középen. Használjuk fel a számtani sorozat elnevezésére utaló tulajdonságát! A sorozat első tagjának értéke: -32.

35. A számtani sorozat első n tagjának összege

36. A számtani sorozat első n tagjának összege Írjuk fel az első 7 pozitív egész számot, és adjuk össze azokat! 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 Ez még akár fejben is könnyen megy… Most adjuk össze az első 100 pozitív egész számot! Írjuk fel ugyanezt csökkenő sorrendben is közvetlenül ez alá! 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = S100 + 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + = S100 1 2•S100 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101 = = 2•S100 101 10100 100 = 2•S100 • Vagyis: 5050 = S100 Adjuk össze a két egyenletet!

37. Általánosan az n tagú sorozat összegképlete:

38. Egy számtani sorozat harmadik tagja 50; a sorozat tizedik tagja 10-zel kisebb a nyolcadik tagjánál. Határozd meg a sorozat első tagját! Innen a sorozat differenciája meghatározható: / -a8 / :2 A sorozat első tagja a 60.

39. Egy számtani sorozat harmadik tagja 50; a sorozat tizedik tagja 10-zel kisebb a nyolcadik tagjánál. Határozd meg a sorozat első tagját! / -a8 A sorozat első tagja a 60.

40. Egy számtani sorozat nyolcadik tagja 72; a sorozat huszadik tagja 12-vel kisebb a huszonharmadik tagjánál. Határozd meg a sorozat első tagját! / -a23 A sorozat első tagja a 44.

41. Egy számtani sorozat harmadik tagja 10. Mennyi az első öt tag összege? Írj példát ilyen sorozatra! A megoldáshoz használjuk fel a számtani sorozat számtani középre vonatkozó összefüggését! Eszerint: Vagyis: Innen: A sorozat első öt tagjának összege: 50. Példa ilyen sorozatra: Vagy:

42. Egy számtani sorozat negyedik tagja 40. Mennyi az első hét tag összege? Írj példát ilyen sorozatra! A megoldáshoz használjuk fel a számtani sorozat számtani középre vonatkozó összefüggését! Eszerint: Vagyis: Innen: A sorozat első hét tagjának összege: 280. Példa ilyen sorozatra: Vagy:

43. Egy számtani sorozat huszonnyolcadik tagja 28, kétszáznegyvenharmadik tagja 243. Mennyi az első kétszáznegyvenhárom tag összege? Először meghatározzuk a sorozat differenciáját! Ezután meghatározzuk a sorozat első elemét! A sorozat első kétszáznegyvenhárom elemének összege:

44. Egy számtani sorozat ötödik tagja 40, a hetvenötödik tagja 180. Mennyi az első hetvenöt tag összege? Először meghatározzuk a sorozat differenciáját! Ezután meghatározzuk a sorozat első elemét! A sorozat első hetvenöt elemének összege:

45. Egy számtani sorozat tagjai között az alábbi összefüggések állnak fenn: és Határozzuk meg a sorozat első tagját! Meghatározzuk a sorozat differenciáját! A sorozat első tagja a 19.

46. Egy számtani sorozat tagjai között az alábbi összefüggések állnak fenn: és Határozzuk meg a sorozat első tagját! Meghatározzuk a sorozat differenciáját! A sorozat első tagja a 28.

47. Mennyi a páratlan kétjegyű pozitív számok összege? Az egymást követő páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 11. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 99. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 45 tagból áll. 2475 a páratlan kétjegyű pozitív számok összege.

48. Mennyi a páros kétjegyű pozitív számok összege? Az egymást követő páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 10. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 98. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 45 tagból áll. 2430 a páros kétjegyű pozitív számok összege.

49. Mennyi a páratlan háromjegyű pozitív számok összege? Az egymást követő páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 101. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 999. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 450 tagból áll. 247500 a páratlan háromjegyű pozitív számok összege.

50. Mennyi a páros háromjegyű pozitív számok összege? Az egymást követő páratlan számok számtani sorozatot alkotnak, melynek differenciája 2. A sorozat első tagja a 100. A sorozat n-dik (utolsó) tagja a 998. Határozzuk meg a sorozat tagjainak számát! A sorozat 450 tagból áll. 243000 a páros háromjegyű pozitív számok összege.