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拉格朗日第二类方程

分析力学基础 / 拉氏第二类方程. 拉格朗日第二类方程. 方程的推导 拉格朗日函数 方程的初积分. 分析力学基础 / 拉氏第二类方程. 方程的推导. 质点系. 笛卡儿坐标阵. 广义坐标. 约束方程. 等时变分. 分析力学基础 / 拉氏第二类方程. 改变求和次序. 分析力学基础 / 拉氏第二类方程. 辅助公式. 导数. 偏导数. 导数. 分析力学基础 / 拉氏第二类方程. 分析力学基础 / 拉氏第二类方程. 以动能表达的动力学普遍方程. d 个广义坐标的变分 d w j 相互独立. 拉格朗日第二类方程. 分析力学基础 / 拉氏第二类方程.

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拉格朗日第二类方程

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Presentation Transcript

  1. 分析力学基础/拉氏第二类方程 拉格朗日第二类方程 • 方程的推导 • 拉格朗日函数 • 方程的初积分 理论力学CAI 分析力学基础

  2. 分析力学基础/拉氏第二类方程 方程的推导 质点系 笛卡儿坐标阵 广义坐标 约束方程 等时变分 理论力学CAI 分析力学基础

  3. 分析力学基础/拉氏第二类方程 改变求和次序 理论力学CAI 分析力学基础

  4. 分析力学基础/拉氏第二类方程 辅助公式 导数 偏导数 导数 理论力学CAI 分析力学基础

  5. 分析力学基础/拉氏第二类方程 理论力学CAI 分析力学基础

  6. 分析力学基础/拉氏第二类方程 以动能表达的动力学普遍方程 d个广义坐标的变分dwj相互独立 拉格朗日第二类方程 理论力学CAI 分析力学基础

  7. 分析力学基础/拉氏第二类方程 拉格朗日第二类方程 广义速度的二次的齐次式 对于定常约束 广义速度的一次的齐次式 广义速度的零次的齐次式 拉格朗日方程是广义坐标的二阶微分方程 理论力学CAI 分析力学基础

  8. 分析力学基础/拉氏第二类方程/例 建立一质量为m的自由质点的动力学方程 [例] 理论力学CAI 分析力学基础

  9. 分析力学基础/拉氏第二类方程/解 一自由质点的自由度为3 惯性基 广义坐标 动能 [解] 合力的虚功 合力的广义力 动量 牛顿方程 理论力学CAI 分析力学基础

  10. 分析力学基础/拉氏第二类方程/例 建立定轴转动刚体的动力学方程 [例] 理论力学CAI 分析力学基础

  11. 分析力学基础/拉氏第二类方程/解 连体基 惯性基 广义坐标 自由度为1 动能 [解] 主动力向点 O的简化 主动力的虚功 主动力的广义力 动量矩 理论力学CAI 分析力学基础

  12. 节名/小节名(/小小节名)分析力学基础/拉氏第二类方程/例节名/小节名(/小小节名)分析力学基础/拉氏第二类方程/例 变摆长的摆套在环上，摆绳原长为l0，以匀速v向下拉 小球视为质点，质量为m [例] 建立此摆的的动力学方程 理论力学CAI 分析力学基础

  13. 分析力学基础/拉氏第二类方程/解 惯性基 以小球为对象 广义坐标y 小球笛卡儿坐标 [解] 小球速度 非定常约束 小球动能 主动力 关于y 广义力 理论力学CAI 分析力学基础

  14. 分析力学基础/拉氏第二类方程/解 ， 小球动力学方程 理论力学CAI 分析力学基础

  15. 分析力学基础/拉氏第二类方程/解/例 一双质点摆，摆球P1与P2的质量分别为m1与m2，摆长分别为l1与l2 [例] 试利用拉格朗日第二类方程建立该双质点摆的动力学方程 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  16. 惯性基 分析力学基础/拉氏第二类方程/解 广义坐标 自由度为2 摆球坐标 [解] 导数 动能 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  17. 分析力学基础/拉氏第二类方程/解 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  18. 分析力学基础/拉氏第二类方程/解 主动力广义力 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  19. 分析力学基础/拉氏第二类方程/解 双质点摆的动力学方程 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  20. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数 拉格朗日函数 • 势力场拉格朗日第二类方程 • 拉格朗日第二类方程其他形式 理论力学CAI 分析力学基础

  21. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数 势力场拉格朗日第二类方程 质点系的主动力为有势力 势能函数 广义力 拉格朗日函数 势力场拉格朗日第二类方程 理论力学CAI 分析力学基础

  22. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数 拉格朗日第二类方程的其他形式 质点系的主动力为有势力又有非势力 有势力势能函数 有势力广义力 非势力广义力 所有主动力的广义力 拉格朗日函数 拉格朗日第二类方程 理论力学CAI 分析力学基础

  23. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/例分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/例 一单摆B2（不计）的支点固定在一可沿光滑的水平直线轨道平行移动的滑块B1上 [例] 利用拉格朗日第二类方程建立系统的动力学方程，且分析系统的运动 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  24. 惯性基 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 二自由度 广义坐标 滑块速度 摆的速度 滑块连体基 [解] 动点C2的速度 动能 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  25. 惯性基 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 广义坐标 主动力为有势力 以y=0为零势面 系统的势能 拉格朗日函数 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  26. 惯性基 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 广义坐标 拉格朗日函数 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  27. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 运动分析1 (摆球) 微振动的情况，令 为小量 线性化 摆作微振动的周期为 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  28. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 运动分析2 (滑块) 系统动量 px守恒 令系统初始时，B1与B2的速度为零 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  29. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 令系统初始时，B1与B2的速度为零 讨论1 滑块质心的水平位置 摆球质心的水平位置 系统质心的水平位置 系统在运动的过程中系统质心的水平位置保持不变 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  30. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 令系统初始时，B1与B2的速度为零 讨论2 摆球质心位置 摆球的运动轨迹的方程 椭圆摆 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  31. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数 方程初积分 如果可由拉格朗日方程得到联系广义速度、广义坐标、时间与一常数的方程时，称它们为拉格朗日方程的初积分 • 循环积分 • 广义能量积分 理论力学CAI 分析力学基础

  32. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数 循环积分 如果L不显含广义坐标wj 称wj为循环坐标 对于势力场 循环积分 初积分 该坐标方向的动量 wj为位置坐标 为关于wj的广义动量 该坐标方向的动量矩 wj为姿态坐标 循环积分的物理意义为对应循环坐标的广义动量守恒 理论力学CAI 分析力学基础

  33. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数 广义能量守恒 势力场 如果拉格朗日函数L不显时间t 理论力学CAI 分析力学基础

  34. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数 势力场 如果拉格朗日函数L不显时间t 广义能量积分 雅可比在研究相对运动时得到的，也称为雅可比积分 理论力学CAI 分析力学基础

  35. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数 如果拉格朗日函数L不显时间t 势力场 广义能量积分 当约束为定常时，动能不显含时间t 定常约束系统的机械能守恒，称为能量积分 理论力学CAI 分析力学基础

  36. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/例分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/例 水平面上一斜面B1上有一滑块B2，质量分别为m1与m2。斜面倾角为q [例] (1)设初始时B2在B1的顶点，两物体均无速度求当滑块B2下滑离开斜面时 (落差为h)， 求B1的速度与B2相对斜面的速度 (2) 如果斜面B1在力的作用下以匀速v向右运动，求滑块B2脱离斜面时，它相对斜面的速度 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  37. B1的连体基 惯性基 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 两个自由度 广义坐标 O1绝对坐标 C2相对坐标 [解] (1) 斜面速度(平动) 滑块速度 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  38. 主动力 不作功 主动力 作功 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 惯性基 B1的连体基 两个自由度 C2相对坐标 O1绝对坐标 B1作水平平动 势能 B2质心垂直方向的位移 初始位置为零势面 系统势能 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  39. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 惯性基 B1的连体基 两个自由度 C2相对坐标 O1绝对坐标 找初积分 x1为循环坐标 循环积分 能量积分（定常约束） 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  40. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 初积分方程 t = 0 定常数 降阶的动力学方程 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  41. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 滑块离开斜面 滑块相对斜面的速度 斜面的速度 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  42. C2相对坐标 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 惯性基 B1的连体基 斜面B1以匀速v向右运动，已知 对象滑块 系统的自由度为1 [解] (2) 广义坐标 滑块速度 系统动能 系统势能 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  43. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 惯性基 B1的连体基 广义坐标 C2相对坐标 找初积分 广义能量积分 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  44. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数/解 惯性基 B1的连体基 广义坐标 C2相对坐标 t = 0 定常数 降阶的动力学方程 滑块离开斜面 滑块相对斜面的速度 理论力学CAI 分析力学基础 EXIT

  45. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数 小结 • 方程的建立 • 确定系统广义坐标 • 通过约束运动学分析 • 系统动能的广义速度的表达式 • 速度分析 • 速度的广义速度的表达式 • 系统主动力的广义力的表达式 • 坐标法 • 速度法 • 对于有势系统写出系统势能的广义坐标表达式 • 代入方程得到系统二阶微分方程组 • 有势系统利用初积分 • 速度层次上的关系式 • 常数取决于初始条件 • 降阶的动力学方程 理论力学CAI 分析力学基础

  46. 分析力学基础/拉氏第二类方程/拉格朗日函数 比较 拉格朗日第二类方程 矢量力学独立坐标方法 动力学方程 考虑约束力 不考虑约束力 建方程的过程 利用运动学关系写出动量或动量矩 利用运动学关系写出动能 利用运动学关系写出广义力 以不出现约束力为原则利用动量或动量矩定理 利用功能关系写出势能 未知变量 直接得不到约束力 直接得不到约束力 约束力的处理 程式化低 程式化高 程式化比较 理论力学CAI 分析力学基础

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