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射影几何

射影几何. 诸暨市教师进修学校 楼可飞 二 0 一二年十一月二日. 第一部分. 射影几何的诞生与发展. 第二部分. 对两个几何问题的射影探讨. 第三部分. 调和点列在高考试题中的应用. 第一部分 射影几何的诞生与发展. 一 . 从透视学到射影几何 1 ．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题： （ 1 ）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ （ 2 ）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？.

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Presentation Transcript

  1. 射影几何 诸暨市教师进修学校 楼可飞 二0一二年十一月二日

  2. 第一部分 • 射影几何的诞生与发展

  3. 第二部分 • 对两个几何问题的射影探讨

  4. 第三部分 • 调和点列在高考试题中的应用

  5. 第一部分 射影几何的诞生与发展 • 一.从透视学到射影几何 • 1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题： • （1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ • （2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？

  6. 了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。 • 3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。

  7. 1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。

  8. 二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点：二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点： • 1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状 • 2）变换与变换不变性 • 3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量

  9. 仿射坐标与仿射变换主要介绍仿射变换的概念，并在仿射坐标系下研究图形的仿射不变量和仿射不变性。 §1 透视仿射对应

  10. .

  11. 透视仿射对应的性质：

  12. 两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果。若两平面重合，仿射对应称为仿射变换。两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果。若两平面重合，仿射对应称为仿射变换。 • 仿射对应和仿射变换都是一串透视仿射对应的乘积，因此有下列性质： • （1）保持同素性和结合性； • （2）保持共线三点单比不变； • （3）保持直线的平行性。

  13. 仿射坐标系

  14. 定理3.2 在仿射坐标系下，经过两点P1（x1,y1）P2（x2,y2）的直线的方程为

  15. 仿射变换的定义

  16. 3.3 几种特殊的仿射变换

  17. §4 仿射性质 • 定义4.1图形经过仿射变换后保持不变的性质（量）称为图形的仿射性质（仿射不变量）。 • 同素性，结合性，以及平行性都是仿射性质；共线三点的单比是仿射不变量。 • 利用仿射变换的代数表示同样可以证明仿射性质。 • 定理4.1 两条平行直线经过仿射变换后仍变为两条平行直线。 • 推论1 两条相交直线经仿射变换后仍变为两条相交直线。 • 推论2 共点直线经仿射变换后，仍变为共点直线。 • 定理4.2 两条平行线段之比是仿射不变量。

  18. 定理4.3 两个三角形面积之比是仿射不变量。

  19. 推论1 两平行四边形面积之比是仿射不变量.推论2 两封闭图形面积比是仿射不变量。

  20. 例2 利用仿射变换求椭圆的面积。

  21. 第二部分 • 对两个几何问题的射影探讨 • 这篇短文将刊登在苏州大学《中学数学月刊》2012年第12期

  22. 探讨2 设AB中点为C，则JC平行于抛物线的对称 轴，过无穷远点.

  23. 联想到2012年福建试题19

  24. 第三部分 • 调和点列在高考试题中的应用 • 这篇短文刊登在湖北大学《中学数学》2012年第8期

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