§3－2 一维双原子链的晶格振动

1. §3－2 一维双原子链的晶格振动 一、模型与色散关系 设一维晶体由N个初基原胞组成，每个初基原胞有二个质量相等的原子，分别用A与B表示，每个原子和它的左右近邻间距不等，弹性系数也不等。晶格常数为a 。原子A与其右侧B原子距离为d，弹性系数为β2 ，与其左侧B原子的距离为（a-d）弹性系数为β1，为确定起见，并设d<（a-d），β1<β2。

3. 设U1（na）表示平衡位置为na的A原子 的绝对位移，U2（na）表示平衡位置 为（na+d）的B原子的绝对位移。 • 仍采用简谐近似和近邻作用近似，则 运动方程为

4. m （na）＝－β2[U1(na)－U2(na)]－β1[U1(na)－U2（(n-1）a）] m (na)＝－β2 [U2(na)－U1(na) ]－β1[U2(na)－U1((n+1)a)] (3-20)该方程组有2N个方程，应有2N个解， 此时该晶体的总自由度数也为2N。

5. 与一维单原子链比较，这里的近似条件相同，求解方法类似，而前者有式（3－8）解的形式，它启发我们作类似的试探解：与一维单原子链比较，这里的近似条件相同，求解方法类似，而前者有式（3－8）解的形式，它启发我们作类似的试探解： U1(na)＝A1ei(qna－ωt) U2(na)＝A2ei[q(na+d)－ωt] (3-21) 将其代入方程（3－20），并消去公因子ei(qna-ωt)得到

6. [mω2－（β1＋β2）]A1＋（β1e-iqa＋β2）eiqdA2＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqdA1＋[mω2－（β1＋β2）]A2＝0 （3－22） 注意:该代数方程组与n无关。 A1、A2有非零 解的条件是其系数行列式为零： mω2 －(β1＋β2) (β1e-iqa＋β2）eiqd ＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqd mω2－(β1＋β2) 解得

7. ω2 = （β1＋β2）/m± (β12＋β22＋ 2β1β2cosqa)1/2 /m（3－23） 即有两支ω～q 的色散关系。 当取“－”号时，ω记为ωA，称为声学支 取“＋”号时，ω记为ω0，称为光学支

9. 声学支（Acousticbranch） ωA2=（β1＋β2）/m -(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 它具有q=0时，ωA ＝0的特征。 而光学支（Optical branch）格波 ωO2 =（β1＋β2）/m +(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 它具有q＝0, ω0≠0的特征。

10. 二、关于声学波和光学波的讨论 （一）格波数 与一维单原子链类似，可得： －π/a ＜q≤π/a (3-24) q＝2πm/Na m：整数 (3-25) 在第一布里渊区内，可取的q点数为

11. 注意: • 这里的N为一维晶格的初基原胞数。每个q对应两个频率（ωA和ω0），则共有2N组ω,q），所以一维双原子链有2N个格波，或说有2N个简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这2N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时，晶体的总自由度数也为2N，推广的结论：

12. 允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数 以后可以看到，此结论对三维晶体也是适用的。

13. (二) .长波极限 当|q∣→0, λ→∞时, 相邻原胞间的振动相位差qa→0。 利用 cosqa ≈1 －（1/2）（qa）2 （1－x）1/2 ≈1－(x/2) （x为小量） 式（3－23）中 ωA2=（β1＋β2）/m- (β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可简化为 (3-28)

14. (3-29) 由此可知，在长波情况下，声学支格波具有声波的 线性色散关系：ωA＝υ0 q, 而且它的频率很低，可 以用超声波来激发，故得此名。光学支格波在q＝0 的附近ω0几乎与q无关，在q＝0处有极大值。

15. 入射红外光波与离子晶体中长光学波的共振能够引起对入射波的强烈吸收，这是红外光谱学中一个重要的效应。因为长光学波的这种特点，所以称ω0所对应的格波为光学波。入射红外光波与离子晶体中长光学波的共振能够引起对入射波的强烈吸收，这是红外光谱学中一个重要的效应。因为长光学波的这种特点，所以称ω0所对应的格波为光学波。 现在来考察一下两种原子的振幅比。把 式（3－23）代入（3－22）可得 (3-30)自推

16. 正号对应声学支，负号对应光学支。当q→0时 A2＝A1 声学支 A2＝－A1 光学支 在长波极限情况下， 声学格波描写原胞内原子的同相运动， 光学格波描写原胞内原子的反相运动。 两支格波最重要的差别： 分别描述了原子不同的运动状态。

17. 45 参见FD动画

18. （三）. q趋近第一布里渊区边界 当q→π/a时， 因 β2 >β1， 由式（3－23） ωO2 =（β1＋β2）/m+(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可得对于光学支格波 (3-32)

19. 对于声学支格波,由(3-23)式 ωA2=（β1＋β2）/m - (β12＋β22＋ 2β1β2cosqa)1/2 /m (3-33) 即在第一布里渊区边界上，存在格波频率“间隙” 在第一布里渊区边界上，由式（3－30）

20. 可得 • 对光学支 A2＝－A1 当d＜＜a , A2≈－A1 对声学支 A2＝A1 当d＜＜a , A2≈A1 由于q→π/a，相邻原胞运动的相位差 qa→π。 声学支格波仍描述原胞内原子的同相整体运动 光学支格波仍描述原胞内原子的反相运动。

22. 三 、三维晶格振动 设实际三维晶体沿基矢a1、a2、a3方向的初基原胞数分别为N1、N2、N3，即晶体由N＝N1·N2·N3初基原胞组成，每个初基原胞内含s个原子。 1 .原子振动方向 一维情况下，波矢q和原子振动方向相同，所以只有纵波。 三维情况下，有纵波也有横波。

23. 2 .格波支数 原则上讲，每支格波都描述了晶格中原子振动的一类运动形式。初基原胞有多少个自由度，晶格原子振动就有多少种可能的运动形式，就需要多少支格波来描述。 一维单原子链：仅存在一支格波，且为声学格波。 一维双原子链：存在两支格波―――声学波和光学波。

24. 定性地说，初基原胞质心的运动主要由声学格波代表，初基原胞内两原子的相对运动主要由光学格波代表定性地说，初基原胞质心的运动主要由声学格波代表，初基原胞内两原子的相对运动主要由光学格波代表 一维S原子链：存在S支格波―――其中一支声学波，S－1支光学波。

25. 三维晶体：原胞的总自由度数为3S,则晶体中原子振动可能存在的运动形式就有3S种，用3S支格波来描述。其中在三维空间定性地描述原胞质心运动的格波应有3支，也就是说应有3支声学格波，其余3（S-1）支则为光学格波。例如硅晶体属于金刚石结构，每个初基原胞含两个原子，即S=2 , 它有3支声学格波和3支光学格波。

26. 3 .格波个数 三维晶格：3S支格波，一个q对应3S个ω值，即对应3S个格波，允许的q取值数仍为初基原胞数N，则共有3NS组（ωi,q）数组，晶体中有3NS个格波。 格波数＝晶格的总自由度数＝3NS ――――晶格振动理论中的普适结论。 晶体中任何一原子的实际运动是这3NS个格波所确定的谐振动的线性叠加。

27. 4．波矢取值 一维：－π/a ＜q≤π/a • 在第一布里渊区内, q点的分布均匀, 每个q 点的“体 积”为2π／(Νa)＝b/N; • 在第一布里渊区内q可取N个值； m为整数 三维：q仍在第一布里渊区内取值，共有N个值（初基原胞数）

28. (3-42) 其中L1、L2、L3＝0，±1, ±2 ······，b1、b2、b3是倒格子基矢，N1，N2，N3是a1,a2,a3方向的初基原胞数。

29. 每一组整数（L1,L2,L3）对应一个波矢量q。将这 些波矢在倒空间逐点表示出来，它们仍是均匀分 布的。每个点所占的“体积”等于“边长”为(b1/N1)、 （b2/N2）、(b3/N3)的平行六面体的“体积”，它等 于： （3－43）

30. 式中Ω*是倒格子初基原胞的“体积”，也就是第一布里渊区的“体积”，而Ω*＝（2π）3/ Ω ，所以每个波矢q在倒空间所占的“体积”为： (3-44) 其中V=NΩ为晶体体积。

31. 在倒空间，波矢q的密度为 (3-45)

32. （四）格波的态密度函数 格波的态密度函数g()，又称为模式密度，其定义为:对给定体积的样品，在附近单位频率间隔内的格波总数。 对于第i支格波，在频率到＋d之间的格波数，就等于在q空间频率为到＋d这两个等频率面之间所包含的q点数，即

33. (3-46) 其中dq为倒空间体积元。

35. 其中dSω是等频率面上的面元，dqn是dq 在等频率面法线方向上的分量。因此对于 一支格波

36. 由梯度的意义，d可表示成 dω=∣▽qω(q)∣dqn (3-47) 积分已变换到等频率面上了。

37. 考虑到三维晶体中共有3S支格波，则格 波态密度函数为 (3-48)

38. 作业：1，2，3 思考题： 1.二维单原子阵列有几支声学支格波？ 2. 声学格波是否就是声波？