SOLUÇÕES EXATAS 2D DA EQ. DE NAVIER-STOKES

SOLUÇÕES EXATAS 2DDA EQ. DE NAVIER-STOKES 1oProblema de Stokes Escoamentonavizinhança de um ponto de estagnação (Hiemenz 1911) Canal ConvergenteouDivergente (Jeffery & Hamel )

Stokes 1stProblem • Mecanismo de transporte: difusão de quantidade de movimento. • O transporte é proporcional ao gradiente da propriedade transportada. • Placa plana colocada em movimento num meio semi-infinito. filme 200cs

Formulação

Propriedades Função Erro

Efeito da Viscosidade • Para problema puramente difusivos, foi visto que quanto maior for a difusividade mais rapidamente o domínio sente o movimento da parede, veja expressão para a altura de penetração (1% de velocidade da fronteira) • Observe este efeito quando a parede externa do cilindro começa a girar (a) fluido 100 cP e (b) 10000 cP

Reversibilidade 1º Prob. Stokes • Um fluido viscoso preenche o cilindro. • Sua parede é posta a girar, após alguns instantes ela para e inverte a rotação. • Observe o que acontece com o marcador do fluido: ele retorna para mesma posição. Porque? • O escoamento é reversível pq o fluido não possui termo convectivo (não-linear). Na ausência deste termo a equação permanece linear e portanto o esc. é reversível. Filme reverso

Transporte por Difusão • Quantidade de movimento, vorticidade, temperatura, concentração (escalares em geral , , h, s etc) são variáveis que são transportadas por difusão. • Note que as equações de transporte são similares! • A Difusão turbulenta é muitas vezes maior que a laminar. De fato o movimento aleatório dos vórtices transporta de forma eficaz as propriedades difusão laminar x turbulenta

Competição Difusão x Convecção

HiemenzProblem (1911) • Escoamento viscoso próximo a um ponto de estagnação 2D. • Mecanismo de transporte: difusão e convecção de quantidade de movimento K. Hiemenz , Die Grenzschicht an einem in den gleichförmigen Flüssigkeitsstrom eingetauchten geraden Kreiszylinder. Göttingen Dingl. Polytech. J. 326 (1911).

HiemenzProblem • Procura-se solução em termos de , satisfaz massa, uma eq. a menos! • Região efeitos viscosos ausentes: • Região efeitos viscosos presentes: o não deslizamento muda dependência de (u,v) em y mas não é evidente que ele altere a dependência de (u,v) em x

f’()= 1

Schilichting, 7th ed

Figure 8.1– Flow past a circular cylinder at Re = 0.16. The flow is from left to right. It resembles superficially the pattern of potential flow. The flow of water is shown by aluminum dust. (Courtesy of The Parabolic Press, Stanford, California. Reprinted with permission.)

JefferyHamelFlow (2D) • Escoamento desenvolvido num canal convergente / divergente formado por duas placas paralelas inclinadas entre si. • Linhas de corrente são retas que passam pela origem, em coordenadas cilindrico-polar (r, ): • u = 0 (desenvolvido) & rur = F() George Barker Jeffery (9 May 1891 – 27 April 1957) was a leading mathematical physicist in the early twentieth century. Georg Karl Wilhelm Hamel (12 September 1877 – 4 October 1954) was a German mathematician with interests in mechanics, the foundations of mathematics and function theory.

c d c 2d

Perfil de Velocidade (10º)

Comentários da Solução • O perfil de velocidades para um canal convergente ou divergente diferem entre sí. • Para o canal convergente a medida que Re aumenta o perfil tende a ficar cada vez mais uniforme em toda a extensão do canal; • Para o canal divergente o perfil depende de Re e pode apresentar valores negativos! Isto é, recirculação. • Para haver recirculação é necessário que o escoamento tenha separado (um estágio anterior). O modelo mostra que separação ocorre com o aumento do ângulo e a diminuição de Re

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