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引 言

第三章 一元函数积分学. 引 言. 积分学分 为不定积分与定积分两部分 ． 不定积分是作为函数导数的反问题提出的 ， 而定积分是作为微分的无限求和引进的 ， 两者概念不相同 ， 但在计算上却有着紧密的内在联系 ．. 本章主要研究不定积分和定积分的概念 、 性质及基本积分方法 ， 并揭示二者的联系 ， 从而着重论证微积分学核心定理 （ 牛顿莱布尼茨式 ), 解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何 、 物理及医学等方面的应用 ， 最后简单研究广义积分 ．. 本章主要内容： 第一节 不定积分 第二节 不定积分的计算 第三节 定积分

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  1. 第三章 一元函数积分学 引 言 积分学分为不定积分与定积分两部分．不定积分是作为函数导数的反问题提出的，而定积分是作为微分的无限求和引进的，两者概念不相同，但在计算上却有着紧密的内在联系．

  2. 本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理（牛顿莱布尼茨式),解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分．本章主要研究不定积分和定积分的概念、性质及基本积分方法，并揭示二者的联系，从而着重论证微积分学核心定理（牛顿莱布尼茨式),解决定积分的计算问题，同时研究定积分在几何、物理及医学等方面的应用，最后简单研究广义积分．

  3. 本章主要内容： 第一节 不定积分 第二节 不定积分的计算 第三节 定积分 第四节 定积分的计算 第五节 广义积分

  4. 第一节 不定积分 3.1.1 不定积分的概念 3.1.2 不定积分的基本公式和 运算法则

  5. 问题提出 3.1.1 不定积分的概念 在小学和中学我们学过逆运算： 如：加法的逆运算为减法 乘法的逆运算为除法 指数的逆运算为对数

  6. 微分法: 互逆运算 积分法:

  7. 定义1 若在某一区间上，F′(x) ＝ f(x) ， 则在这个区间上，函数F（x）叫做函数 f(x)的一个原函数（primitive function）

  8. 一个函数的原函数并不是唯一的， 而是有无穷多个．比如， (sinx)′＝ cosx 所以 sinx 是 cosx 的一个原函数， 而sinx ＋ C （C 可以取任意多的常数）是 cosx 的无穷多个原函数．

  9. 一般的，若F′(x)＝f(x),F(x)是f(x) 的一个原函数，则等式 [F(x)+ C]′＝ F′(x)＝ f(x) 成立（其中 C 为任意常数），从而一簇 曲线方程 F(x)＋ C 是f(x)无穷多个原函数．

  10. 问题提出 如果一个函数f(x)在一个区间有一个 原函数F(x) ，那么f(x)就有无穷多个 原函数存在，无穷多个原函数是否都有 一致的表达式 F(x)＋ C 呢？

  11. YES 定理1: 若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可以表示成 F(x)＋ C （C为任意常数）． 思考：如何证明？

  12. 其中∫ 称为积分号， x 称为积分变量 C 称为积分常数 f(x)称为被积函数， f(x)dx 称为被积表达式 定义2：若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 f(x)的所有原函数 F(x)＋ C 称为f(x)的 不定积分（indefinite integral）,记为 ∫ f（x）dx ＝ F（x） ＋ C

  13. 例1 　求函数f(x) ＝ ３x２ 的不定积分 例2 　求函数f(x) ＝ １/x 的不定积分

  14. 二、不定积分的几何意义 由于函数f(x)的不定积分F(x)＋C 中含有 任意常数C ，因此对于每一个给定的C ，都有 一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一 条确定的曲线，称为f(x)的积分曲线． 因为C 可以取任意值，因此不定积分表示 f(x)的一簇积分曲线，即 F(x)＋ C ．

  15. 二、不定积分的几何意义 因为F′(x)＝f(x)，这说明，在积分曲线 簇的每一条曲线中，对应于同一个横坐标x＝x０ 点处有相同的斜率f(x０)，所以对应于这些点处， 它们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之 间相差一个常数．因此，积分曲线簇y＝ F(x)＋C 中每一条曲线都可以由曲线y＝F(x)沿y 轴方向 上、下移动而得到

  16. 二、不定积分的几何意义

  17. 例3 求经过点（１ ，３） ，且其切线的斜率为２ x 的曲线方程．

  18. 3.1.2 不定积分的基本公式和运算法则 一、不定积分的基本公式 由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运算的逆运算．因此，有一个导数或微分公式，就对应地有一个不定积分公式．

  19. ( k为常数) 基本积分表

  20. 例 求 解:原式 =

  21. 例 求 解:原式=

  22. 关于不定积分，还有如下等式成立： １ ［∫f(x)dx］′＝ f(x) 或 d∫f(x)dx ＝ f(x)dx • ∫F′(x)dx ＝ F(x) ＋ C • 或 ∫dF(x)＝ F(x)＋ C

  23. 二、不定积分的运算法则 １ 不为零的常数因子，可移动到积分号前 ∫af(x)dx ＝ a∫f(x)dx　（a≠０） ２ 两个函数的代数和的积分等于函数积分的 代数和 ∫[f(x)±g(x)］dx＝f(x)dx±∫g(x)dx

  24. 例4 　求 解：原式=

  25. 例5 求 解：原式

  26. 例6 　求 解：原式=

  27. 例7 　求 解：原式=

  28. 课堂练习 课堂思考 下一节 本节给出了不定积分的定义、几何意义和基本公式及运算法则。

  29. 3.1节 课堂练习

  30. 3.1节 课堂思考

  31. ３.２ 　不定积分的计算 利用基本积分公式及不定积分的性质直接计算不定积分，有时很困难，因此，需要引进一些方法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法: 换元积分法与分部积分法

  32. ３.２ 　不定积分的计算 3.2.1 换元积分法 3.2.2 分部积分法 3.2.3*有理函数积分简介 3.2.4* 积分表的使用

  33. 3.2.1 换元积分法 一、第一类换元积分法（凑微分法） 有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来.

  34. 例如 想到基本积分公式 若令u＝４x，把４x看成一个整体（新的积分变量），这个积分可利用基本积分公式算出来

  35. u=2x 又如

  36. 第一类换元法 则有换元公式

  37. 例8 　求 解：原式=

  38. 推广： 解：

  39. 例9 　求 解：原式=

  40. 例10 　求 解：原式=

  41. 例11 　求 解：原式=

  42. 类似可得

  43. 二、第二类换元积分法 第一类换元积分法是利用凑微分的方法，把一个较复杂的积分化成便于利用基本积分公式的形式，但是，有时不易找出凑微分式，却可以设法作一个代换 x＝φ(t)，而积分 ∫f(x)dx＝∫f［φ(t)］φ′(t)dt 可用基本积分公式求解

  44. 定理2设f(x)连续，x＝φ(t)是单调可导的连续函数，且其导数φ′(t)≠０，x＝φ(t)的反函数t＝φ-1(x)存在且可导，并且 ∫f[φ(t)]φ′(t)dt＝F(t)＋ C 则 ∫f(x)dx ＝ F[φ-1(x)]＋ C

  45. 例12求 解:令 则 ∴ 原式

  46. 例13.求 解:令 则 ∴ 原式

  47. 例14.求 则 令 解: ∴ 原式

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