第二章－ 陣列

1. 第二章－陣列

2. 2.3 多項式抽象資料型態 • 陣列不僅只是陣列資料結構而已，我們也可以利用它來製作其他的抽象資料型態。例如，一種簡單而常見的資料結構：有序串列( ordered list )或線性串列( linear list ) 。我們可以找到許多此種資料結構的實例，例如： (1) 每週之星期( Sunday, Monday,…, Saturday ) (2) 一疊紙牌之點數（A,1,2,…,k） • 在串列上可以執行許多的運算，包括： (1) 找出串列的長度ｎ (2) 由左而右（或由右而左）讀取串列中的項目 (3) 從串列中擷取第ｉ個項目，

3. (4) 替換串列中第ｉ個項目之值， (5) 在串列的第ｉ個位置插入一個新的項目，　　　　。先前編號為i, i+1 ,…, n-1的各個項目變成i+1, i+2, …,n (6) 自串列的第ｉ個位置刪除一個項目， 　　　　。先前編號為i+1, i+2,…, n-1的各個項目變成i, i+1, …, n-2 • 最常用的實作法是以陣列來表示一個有序串列，其中串列的元素　　　　關聯到陣列的索引ｉ。我們稱此為循序映射( Sequential mapping )，因為如果採用陣列標準的實作法，　　　，　　　　將會儲存在陣列中連續的ｉ和ｉ＋１位置內。 • 所以，我們可以在常數時間內擷取一個項目，替換一個項目，或找出一個串列的長度。我們也可以從任何一個方向讀取串列中的項目，只要簡單的改變註標的控制項即可。 • 現在我們要對表示法做一些決定。非常合理的，第一個決定要求不同的指數

4. 以降冪順序安排。這個要求可以簡化許多的運算。使用我們的定義和此規定，我們可以寫出和Ｃ函數非常接近的ＡＤＤ函數（程式2.4） 。

5. 這個演算法的工作方式為比較兩個多項式之各項，直到一個或兩個多項式變成空的。Switch指令執行的工作為比較和將適當的項次相加以形成新的多項式，ｄ。如果有一個多項式變成空的，我們將非空的多項式餘下的項次複製到ｄ。這個演算法的工作方式為比較兩個多項式之各項，直到一個或兩個多項式變成空的。Switch指令執行的工作為比較和將適當的項次相加以形成新的多項式，ｄ。如果有一個多項式變成空的，我們將非空的多項式餘下的項次複製到ｄ。

6. class Polynomial { • // p(x) = ；一個 <ei，ai> 的有序對之集合， • // 其中ai是一個非零的 float 係數而是ei一個非負的整數指數。 • public: • Polynomial( ); • // 建立多項式p(x) = 0。 • Polynomial Add(Polynomial poly); • // 回傳 *this與poly兩個多項式之和。 • Polynomial Mult(Polynomial poly); • // 回傳 *this與poly兩個多項式之積。 • floatEval(floatf ); • // 求出當多項式 *this為 f時的值並且回傳它的結果。 • };

7. 2.4　　稀疏矩陣 • 　　簡介 • 在數學上，一個矩陣包含ｍ列和ｎ行的元素。 ( a ) ( b ) • 圖：兩個矩陣

8. 一種矩陣的標準表示法為二維陣列，如定義a[MAX_ROWS][MAX_COLS]。以這種表示法，我們可以用a[i][j]快速的找到一個元素，其中ｉ為列索引，ｊ為行索引。一種矩陣的標準表示法為二維陣列，如定義a[MAX_ROWS][MAX_COLS]。以這種表示法，我們可以用a[i][j]快速的找到一個元素，其中ｉ為列索引，ｊ為行索引。 • 還是有一些問題存在標準表示法中。例如：圖(b)，他包含了許多的０。我們稱此為稀疏矩陣( sparse matrix )。 • 因為稀疏矩陣很浪費空間，我們必須考慮不同的表示法。如果一個矩陣大多數都為０的元素，我們會浪費相當大的空間。因此，稀疏矩陣表示法應該只儲存不為０的元素。 • 在矩陣上執行的運算中，最少的運算集合包含了矩陣建立，相加，相乘，和轉置(transpose)。

10. 在實做這些運算之前，必須先建立稀疏矩陣的表示法。我們可以用一個三項式的陣列來表示一個稀疏矩陣。因為我們想要轉置運算可以有效率的進行，我門必須將三項式按照列索引的升冪順序來排列。在實做這些運算之前，必須先建立稀疏矩陣的表示法。我們可以用一個三項式的陣列來表示一個稀疏矩陣。因為我們想要轉置運算可以有效率的進行，我門必須將三項式按照列索引的升冪順序來排列。 • 我們可以更進一步的要求，任一列的三項式都依照其行索引的升冪順序來儲存。此外，為了保證運算會結束，我門必須知道矩陣中的行數，列數，和矩陣中非０元素的個數。

11. 圖2.4：以三項式儲存的稀疏矩陣及其轉置矩陣 (a) (b) • 因此a[0].row包含列數； a[0].col包含行數；而a[0].value包含全部不為零之元素個數。位置１到８儲存了代表不為０之元素的三項式。列索引在欄位row中；而元素值在欄位value中。三項式以列順序排列，各列中以行順序排列。

12. 轉置矩陣 • 要將矩陣轉置，我們必須將行和列互換。就是說，在原始矩陣中的每一個元素a[i][j]變成轉置矩陣中的b[i][j]。因為我們已將原始的矩陣依序排列，我們或許會以為下列的演算法式將矩陣轉置的一個好方法： for each row i take element <i , j, value> and store it as element <j, i, value> of the transpose; • 如果我們以索引來處理原始的陣列，除非我們以經處理了在元素<j, i, value>之前的所有元素，我們將不能確知該將它放到轉置矩陣的哪一個位置。 • 如果我們將三項式連續的放在轉置矩陣中，當我們插入新的三項式時，究必須移動元素以保持正確的順序。

13. 藉著使用行索引來決定元素放在轉置矩陣中的位置，我們可避免這種資料移動。藉著使用行索引來決定元素放在轉置矩陣中的位置，我們可避免這種資料移動。 • 我們應該“找出行０的所有元素，而後將它們存放在轉置矩陣的列０，找出行１的所有元素，而後將它們存放在轉置矩陣的列１，等”。因為原始的矩陣以列序排列，轉置矩陣中每一列的各行也會以升冪順序排列。 • 這個演算法應用在transpose函數(程式2.7)中。第一個陣列ａ為原始的陣列，而第二個陣列ｂ存放轉置矩陣。

15. 分析transpose：要決定此演算法的計算時間是容易的，因為所使用的巢狀for迴圈是決定性因素。分析transpose：要決定此演算法的計算時間是容易的，因為所使用的巢狀for迴圈是決定性因素。 • 外層的迴圈執行a[0].col次，其中a[0].col存放原始矩陣的行數。此外，內層迴圈每做一次需時a[0].value，其中a[0].value為原始矩陣中元素的個數。因此，巢狀for迴圈所需的全部時間為columns，elements。所以，漸進式的時間複雜度為O(columns*elements)。 • 當元素個數的次方為columns. rows，我們的轉置函數之時間從O(columns*elements)變成O(columns*columns*rows)。或許，為了節省空間，我們反而浪費了許多的時間。實際上，藉著多使用一點儲存空間，我們可以建立一個更好的演算法。 • 我們可將一個用一連串的三項式來表示的矩陣，在O(columns＋elements)時間內轉置完成。這個演算法是fast_transpose，它首先決定再原始矩陣中每一行的元素個數。

17. 分析：因為迴圈內的指令僅需常數時間，此演算法所需的計算時間為O(columns＋elements)。當元素個數的次方為columns*rows，時間變為O(columns*rows)分析：因為迴圈內的指令僅需常數時間，此演算法所需的計算時間為O(columns＋elements)。當元素個數的次方為columns*rows，時間變為O(columns*rows) • 如果我們以圖(a)之稀疏矩陣來試驗演算法，在執行第三個for迴圈以後，row_terms和starting_pos之值為： • 轉置矩陣中的列ｉ的元素個數包含於row_term[i]中。轉置矩陣中列ｉ的起始位置存放在starting_pos[i]。

18. 矩陣相乘 • 定義：對於Ａ和Ｂ，其中Ａ為ｍ＊ｎ，Ｂ為ｎ＊ｐ，則矩陣相乘所得的矩陣Ｄ的維度為ｍ＊ｐ。其元素<i, j>為： 其中0<=i<m　且　0<=j<p。 • 要將兩個以有序串列表示的稀疏矩陣相乘。我們必須計算Ｄ各列的元素，以便將元素儲存在適當的位置上而不必移動先前已計算的元素。要做這件事，我們選擇Ａ中的一列並找出Ｂ中行ｊ的所有元素。

22. 2.5 陣列的表示法 • 多維陣列的內部表示法需要更複雜的定址公式。如果陣列宣告為 • ，則陣列中的元素個數可以很清楚的表示為： • 其中為　　　的乘積。舉例而言，如果宣告ａ為a[10] [10] [10]，則需要10*10*10=1000個儲存單位來保存此陣列。

23. 字串，其組成的元素為字元．因為他是ＡＤＴ，我們定義字串的形式為字串，其組成的元素為字元．因為他是ＡＤＴ，我們定義字串的形式為 ，其中　　為程式語言字元集中的字元．如果ｎ＝０，則Ｓ為空字串或虛字串。 • classString • { • public: • String(char *init, intm); • //建構子：將 *this初始化為長度為m的字串 init。 • booloperator = = (Stringt); • //如果 *this所表示的字串等於 t，回傳true；否則回傳false。 • booloperator!( ); • // 如果 *this是空字串，回傳true； 否則回傳false。 • intLength( ); • // 回傳 *this 裡的字元數。

24. StringConcat(Stringt); • //回傳一個字串，它的內容是字串 *this 後接著字串t。 • StringSubstr(inti, intj); • //如果這些位置在 *this 裡是有效的，那麼回傳 *this裡的第i, i＋1, ..., i＋j－1 • // 共j個字元的子字串；否則丟出一個例外。 • intFind(Stringpat); • //回傳pat在 *this裡的開始位置 i； • // 如果 pat是空字串或者pat不是 *this的子字串則回傳－1。

25. 樣式比對 • 假設有兩個字串string和pat，其中pat是要在string中找尋的樣式。判斷pat是否在string中最簡單的方法是使用內建函數strstr。如果我們有下列的宣告： char pat[MAX_SIZE], string[MAX_SIZE], *t; • 則可用下列指令來判斷pat是否在string中： if (t = strstr(string, pat)) printf(“the string from strstr is :%s\n”, t); else printf(“the pattern was not found with strstr\n”); • 雖然strstr看起來對字串樣式比對非常的適合，但是我們仍要設計自有的樣式比對函數

26. intString::Find(Stringpat) • {// 如果在 *this 字串裡面找不到pat，那麼傳回 -1；否則回傳pat在 *this 裡的起始位置。 • for (intstart = 0;start <= Length( )－pat.Length();star ++) • { //從 str [start]開始檢查有沒有相同的字元 • intj; • for (j = 0;j < pat.Length( )&&str [start＋j] = = pat.str[j]; j++) • if (j = = pat.Length( )) returnstart; //找到相同的字串 • //在 start 這個位置沒找到匹配 • } • return－1 ; // pat為空字串或者不存在於在s中 • }