第十讲公钥加密算法 ( 续 )

第十讲公钥加密算法 (续) • 公钥密码(续) • RSA \ ElGamal algorithms

1. 公钥加密 • 公钥加密算法: 用于加密任何消息 • 常能用于签名和密钥交换 • eg. RSA, ElGamal • 基于不同有限域的指数运算 (galois 整数域、 elliptic curves etc) • 其它问题的公钥体制 (Error Correcting Codes) • 大多数都被攻破

2. RSA (Rivest, Shamir, Adleman) • 使用最广泛的公钥加密算法 • Rivest, Shamir & Adleman (RSA) in 1977 • R L Rivest, A Shamir, L Adleman, "On Digital Signatures and Public Key Cryptosystems", Communications of the ACM, vol 21 no 2, pp120-126, Feb 1978

3. RSA Setup • 每个用户生成自己的公钥\私钥对: • 选择两个随机大素数 (~100 digit), p, q • 计算模数 N=p.q • 选择一个随机加密密钥匙 e : e<N, gcd(e,ø(N))=1 • 解下列同余方程,求解密密钥 d: • e.d=1 mod ø(N) and 0<=d<=N • 公开加密密钥: Kr={er,Nr} • 保存其解密似钥: • K-1r={d,p,q}

4。RSA 参数选择 • 需要选择足够大的素数 p, q • 通常选择小的加密指数e,且与ø(N)互素 • e对所有用户可以是相同的 • 最初建议使用e=3 • 现在3太小 • 常使用 e=216-1 = 65535 • 解密指数比较大

5. RSA Usage • 要加密消息 M，发送者要得到接收者的公钥Kr={er,Nr} • 计算: C=Mer mod Nr, where 0<=M<N • 为解密 C，接收者使用私钥 • K-1r={d,p,q} • 计算: M=Cd mod Nr

6. RSA理论 • RSA 基于Fermat's Theorem: • if N = pq where p, q are primes, then:Xø(N) = 1 mod N • for all x not divisible by p or q, ie gcd(x,ø(N))=1 • where ø(N)=(p-1)(q-1) • 但在 RSA 中，e & d 是特殊选择的 • ie e.d=1 mod ø(N)或e.d=1+Rø(N) • hence have:M = Cd = Me.d = M1+Rø(N) = M1.(Mø(N))R = M1.(1)R = M1 mod N

8。RSA举例 例子： 1. 选素数p=47和q＝71，得n=3337,  (n)=46×70＝3220； 2. 选择e=79，求得私钥d=e -1 1019(mod 3220）。 3. 公开n=3337和e=79. 4. 现要发送明文688，计算： 68879(mod 3337)=1570 5.收到密文1570后，用私钥d＝1019进行解密： 15701019（mod 3337)=688

9。RSA 安全性 • RSA 安全性基于计算 ø(N)的困难性 • 要求分解模N

10. RSA的实现问题 • 需要计算模 300 digits (or 1024+ bits) 的乘法 • 计算机不能直接处理这么大的数 • （计算速度很慢） • 需要考虑其它技术，加速RSA的实现

11. RSA – 的快速实现 • 加密很快，指数小 • 解密比较慢，指数较大 • 利用中国剩余定理CRT， • CRT 对RSA解密算法生成两个解密方程（利用M = Cd mod R） • 即: M1 = M mod p = (C mod p)d mod (p-1) • M2 = M mod q = (C mod q)d mod (q-1) • 解方程 M = M1 mod p • M = M2 mod q • 具有唯一解（利用CRT）： • :M = [((M2 +q - M1)u mod q] p + M1 • 其中 p.u mod q = 1

12。El Gamal 公钥加密方案 • Diffie-Hellman key distribution scheme 的变形 • 能够用于安全交换密钥 • published in 1985 by ElGamal: • T. ElGamal, "A Public Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on Discrete Logarithms", IEEE Trans. Information Theory, vol IT-31(4), pp469-472, July 1985. • 安全性是基于离散对数 • 缺点：增加了消息长度（2倍）

13 密钥建立 • 密钥生成： • 选取一个大素数p及本原元a mod p • 接收者 Bob有一个密秘钥 xB • 计算 yB = axB mod p

14. El Gamal 加密 • 为加密 M • 发送者选择随机数k, 0<=k<=p-1 • 计算消息密钥 K : • K = yBk mod p • 计算密文对: C = {C1,C2} • C1 = ak mod p • C2 = K.M mod p • 发送到接收者 • k需要永久保密

15. El Gamal 解密 • 首先计算 message key K • K = C1xB mod p = ak.xBmod p • 计算明文: • M = C2.K-1mod p

16. El Gamal Example • 选择 p=97及本原根 a=5 • recipient Bob 选择秘密钥xB=58 & 计算并发布公钥yB=558=44 mod 97 • Alice 要加密 M=3 to Bob • 首先得到 Bob的公开密钥 yB=44 • 选择随机 k=36计算:K=4436=75 mod 97 • 计算密文对: • C1 = 536 = 50 mod 97 • C2 = 75.3 mod 97 = 31 mod 97 • 发送 {50,31} to Bob • Bob 恢复 message key K=5058=75 mod 97 • Bob 计算 K-1 = 22 mod 97 • Bob 恢复明文 M = 31.22 = 3 mod 97

17。公钥密码现状 • 已知的安全算法是有限域上指数运算素数域GF(p)上的整数运算 • 多项式运算 GF(2^n) • 椭圆曲线上的运算(elliptic curves) (harder to compute so use smaller sizes) • 基于其它困难问题的体制

18. 公钥密码方案的实际应用 • 实现速度 • 通常用于交换对称算法的加密密钥 • 数字签名算法（下节内容）

19 小结 • RSA 算法 • ElGamal 算法 • 实现问题

Exercises • Illustrate the operation of RSA, given the following parameters: System modulus n=119 (7x17) encryption exp e=11 Determine the decryption exponent d, and hence details the public and private keys for this user. Then show how a message M=20 would be encrypted and decrpyted.

END!

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