Calendrier (sur MathSV)

1. Evaluations (QCM) Contrôles Continus (problème) Calendrier (sur MathSV)

2. Le vendredi 2 avril • Cours de statistiques à 9h45 • Contrôle continu d’algèbre 11h30 - 12h15 • Pas de TD

3. Le plan des cours d’algèbre ‘Etude des phénomènes structurés en classes’ • Introduction aux matrices : exemples en dynamique de population • Les espaces vectoriels, les bases et les matrices : définitions et opérations • Les matrices pour résoudre des systèmes linéaires • Diagonalisation d’une matrice : applications en dynamique de population et en génétique • Normes et distances

4. y b (0,0) a x Vecteurs de IRn Un point (a , b) peut s’interpréter comme un point de IR2 ou un vecteur qui va de l’origine à ce point

5. Vecteurs et matrices • Un vecteur est une colonne de réels • Une matrice est un tableau de réels

6. Représentation graphique d’un système linéaire On lit sur le graphe : la solution du système est le point (x , y) = (4 , 2)

7. Représentation graphique d’un système linéaire Question : Combien de solutions un système linéaire a-t-il ? Une solution unique

8. y Une infinité de solutions 1 x … on n’a pas assez d’informations Représentation graphique d’un système linéaire Question : Combien de solutions un système linéaire a-t-il ?

9. y 1 x Représentation graphique d’un système linéaire Question : Combien de solutions un système linéaire a-t-il ? Pas de solution

10. Une solution unique …on n’a plus d’information que nécessaire Représentation graphique d’un système linéaire Question : Combien de solutions un système linéaire a-t-il ?

11. Pas de solution …on a des informations incohérentes Représentation graphique d’un système linéaire Question : Combien de solutions un système linéaire a-t-il ?

12. Un système linéaire peut s’écrire sous forme matricielle Les lignes de la matrice correspondent aux lignes du système linéaire

13.   Foin   Farine A 3 1 B 2 5 Résoudre les systèmes linéaires Un éleveur de bovins dispose en hiver de deux aliments (foin, farine) qui contiennent chacun deux éléments nutritifs indispensables (A, B) selon le tableau suivant (unités arbitraires) : Chaque animal doit quotidiennement disposer de 7 unités de A, 9 unités de B. Quelles sont les doses de foin et de farine que doit fournir l'éleveur à chaque bovin ?

14.   Foin   Farine A 3 1 B 2 5 Donc On pose x = nombre de doses de foin y = nombre de doses de farine l’éleveur veut donner x + y doses de foin et de farine. Donc il va donner 3 x + y unités du nutriment A et 2 x + 5 y de B Or, chaque animal doit quotidiennement disposer de 7 unités de A, 9 unités de B

15. y 3x + y = 7 2x + 5y = 9 2 x Ecrire sous forme matricielle... Il y a une seule solution : (x , y) = (2 , 1)

16. Résolution pratique a. Par combinaison de lignes et de colonnes. b. Par inversion de matrice. c. Par la méthode de Cramer (MathSV).

17. a. Par combinaison de lignes et de colonnes. - Multiplier la première ligne par 5 15x + 5y = 35 - Soustraire les deux lignes 13x + 0 = 26 donc x = 2 -Remplacer dans la première ligne donne y = 1

18. b. Par inversion de matrice. Si son déterminant est non nul, alors la matrice A est inversible et il existe une solution unique

19. b. Par inversion de matrice.

20. Recherche des solutions d’un système (S) • (S) admet une solution unique si et seulement si A est inversible (c’est-à-dire det(A) non nul) : • Sinon (S) admet soit 0 solution, soit une infinité de solutions.

21. si alors 2 11 unités du nutriment A et 16 du B Le lien entre les systèmes linéaires et les applications Et si l’éleveur veut changer les doses des différents aliments (on avait x = 2 doses de foin et y = 1 dose de farine) ? alors il va obtenir des quantités différentes des aliments nutritifs A et B :

22. L’éleveur décide des doses de foin et farine et veut connaître les quantités de nutriments A et B : Les quantités de nutriment : (7 , 9) ou (11 , 16) Les doses de foin et farine :(2 , 1) ou (3 , 2) y x

23. L’éleveur décide des doses de foin et farine et veut connaître les quantités de nutriments A et B : y x La matrice du système linéaire associe à tout point de gauche un point IMAGE à droite

24. La matrice du système linéaire associe à tout point de gauche un point IMAGE à droite y x Les lignes restent des lignes, l’origine (0,0) reste (0,0) : c’est une application LINEAIRE !

25. Matrice d’une application linéaire Les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de la base canonique f(1 , 0) = ? et f(0 , 1) = ?

26. Matrice d’une application linéaire Les colonnes de la matrice sont les images des vecteurs de la base canonique f(1 , 0) = (3 , 2) et f(0 , 1) = (1 , 5).

27. Opérations

28. Théorème Une application linéaire f est bijectivesi et seulement si sa matrice associée relativement à deux bases quelconques Mf est inversible. On rappelle qu’une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est NON nul.

29. Les matrices et les changements de base

30. y (2,2) dans B (2,0) dans B’ (0,0) x Chagement de base dans IR2

31. Chagement de base dans IR2 Comment passer des coordonnées (x , y) aux coordonnées (x’, y’) ?

32. donc Chagement de base dans IR2 On écrit les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l’ancienne base :

33. Les lignes de la matrice P = les lignes du système Les colonnes de la matrice P= les coordonnées de la nouvelle base dans l’ancienne base Chagement de base dans IR2 On écrit les coordonnées des vecteurs de l’ancienne base dans la nouvelle base :

34. Changement de base pour un vecteur “Les anciennes coordonnées” = P x “les nouvelles coordonnées” P est la matrice de passage

35. Changement de base pour une application linéaire

36. Si f est un endomorphisme de E, f : E  E, alors P = Q : On dit que les matrices et sont semblables. Changement de base pour une application linéaire

37. Application à la dynamique de population

38. (MathSV série 3 pb 2) Hirondelle de cheminée Deux classes d’individus : • 1 an (fécondité moyenne= 3 juvéniles par femelle) • 2 ans ou plus (fécondité moyenne = 6 juvéniles par femelle) 20 % des juvéniles atteignent l’âge d’1 an La survie des oiseaux de 1 an est de 0,49, celle des oiseaux de 2 ans ou plus est de 0,66 La sex ratio est de 0,5.

39. 1 an 1 an 2 ans ou plus 2 ans ou plus * Printemps été-automne-hiver Printemps ReproductionSurvieReproduction On compte les individus juste avant les naissances * Juvénile = 0 à 1 an1 an = 1 à 2 ans2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans

40. lignes du système = lignes de la matrice Système récurrent linéaire Juvénile = 0 à 1 an1 an = 1 à 2 ans n1t2 ans et plus = 2, 3, 4 … ans n2t Ecriture matricielle ...

41. Système récurrent linéaire Que devient cette population à long terme (elle augmente, diminue, reste stable) ?

42. La puissance d’une matrice Il est plus facile de calculer la puissance d’une matrice diagonale : Calculer D3

43. La puissance d’une matriceDIAGONALE

44. Diagonalisation d’une matrice • On cherche un changement de base tel que • P-1MP=D M = ? Mt = ?

45. car P-1 P D = I D = D Diagonalisation d’une matrice • On cherche un changement de base tel que • P-1MP=D Alors P P-1 M P P-1 = P D P-1 donc M = P D P-1 Mt = (P D P-1)t = (P D P-1)( P D P-1 )( P D P-1 ) … ( P D P-1) = P D D D … D P-1 Mt = P Dt P-1

46. Diagonalisation d’une matrice • On cherche un changement de base tel que • P-1MP=D • - Chercher les vecteurs {N} et les valeurs {l} tels que M N = l N • La matrice de passage P se construit à partir de ces vecteurs • Les éléments diagonaux de D sont les valeurs {l}

47. Diagonalisation d’une matrice • On cherche un changement de base tel que • P-1MP=D • - Chercher les vecteurs {N} et les valeurs {l} tels que M N = l N • La matrice de passage P se construit à partir de ces vecteurs • Les éléments diagonaux de D sont les valeurs {l} Pourquoi ? Comment calculer {N} et {l} Quelle interprétation biologique ?

48. Q2 “La structure en âge” est-elle stable ?Au bout d’un certain temps, le rapport des deux classes d’âge se stabilise : Exemple en dynamique de populaiton Q1 Quel est le taux d’accroissement de cette population ? Est-il constant comme dans toute croissance exponentielle ?