Topics in Investment

1. Topics in Investment Risk Analysis of Accumulation and Withdrawal Plans Abteilung Finanzen

2. Gliederung • Agenda • Einleitung • Ansparpläne 2.1 Risikomaße und Analysedesign 2.2 Back Testing 2.3 Zukunftsmodellierung 2.4 Ergebnisse • Entnahmepläne 3.1 Auszahlungsregeln, Simulation, Ergebnisse 3.2 Constant Proportion Portfolio Insurance (CPPI) 3.3 Zusammenfassung • Diskussion

3. Einleitung- Die drei Säulen der Altersvorsorge - • Die drei Säulen der Altersvorsorge • Säule: die gesetzliche Rentenversicherung • Säule: die betriebliche Altersvorsorge • Säule: die private Altersvorsorge

4. Einleitung- Voraussetzung für das Umlageverfahren - • Bedingung für das Funktionieren des Umlageverfahrens • Anzahl der Beitragszahler * durchschnittliches Einkommen * Beitragssatz • = • Anzahl der Rentner * durchschnittliches Rentenniveau

5. Einleitung- Gründe für zunehmende private Altersvorsorge - • Probleme des Umlageverfahrens: • Demographische Entwicklung • Sinkende Geburtenrate • Steigende Lebenserwartung • Arbeitsmarktentwicklung • Hohe Arbeitslosigkeit • Kürzere Lebensarbeitszeit => steigende Finanzierungslücke

6. Einleitung- Reform der Altersversorgung - • Übergang vom 3-Säulen- zum 3-Schichten-Modell • Schicht: geförderte Basisversorgung • Schicht: geförderte Zusatzversorgung • Schicht: nicht geförderte private Zusatzversorgung

7. Einleitung- Zukunftsaussichten - • Zunehmende Versorgungslücke im Alter • Verhaltene Annahme der bisher staatl. geförderten Altervorsorgeprodukte • => Somit ist die private Altervorsorge unausweichlich

8. Risikomaße und Analysedesign- Einführung - • Volatilitätsmaße: Risiko als Ausmaß der Abweichung von einer Zielgröße • Varianz • Standardabweichung • Shortfallmaße: • Risiko als Gefahr der Unterschreitung einer (exogen) gegeben Benchmark • (Zielrendite) • Shortfallwahrscheinlichkeit • Mittlerer Exzessverlust • Shortfallerwartungswert

9. Risikomaße und Analysedesign- Volatilitätsmaße - • Varianz : • Die Varianz misst das Ausmaß der (quadrierten) Abweichungen der Realisationen vom Erwartungswert • Formal: • Standardabweichung : • ergibt sich aus der positiven Wurzel der Varianz • Formal: • Vorteil : gleiche Dimension wie der Erwartungswert

10. Risikomaße und Analysedesign- Kritik an den Volatilitätsmaßen - • Vorteile : • Technische Vorteile bei Portfoliobildung • Große Abweichungen werden stärker gewichtet • Nachteile : • positive und negative Abweichungen werden gleichermaßen berücksichtigt • Nichtbeachtung des Grades der Asymmetrie (bei längeren Anlagehorizonten)

11. Risikomaße und Analysedesign- Shortfallrisikomaße - • Shortfallwahrscheinlichkeit : • misst die Wahrscheinlichkeit einer Unterschreitung der Benchmark • Formal : • Nachteil : • Keine Berücksichtigung der Höhe der Unterschreitung

12. Risikomaße und Analysedesign- Shortfallrisikomaße - • Mittlerer Exzessverlust : • Der Mittlerer Exzessverlust erfasst den mittleren Betrag der Unterschreitung der Benchmark, unter der Bedingung eines Shortfalls. • Formal : • Auch bedingter Shortfallerwartungswert • Stellt ein Worst-Case-Risikomaß dar

13. Risikomaße und Analysedesign- Shortfallrisikomaße - • Shortfallerwartungswert : • Gibt den mittleren Betrag der Unterschreitung der Benchmark an Verlusthöhe und jeweilige Wahrscheinlichkeit gehen somit in die Berechnung ein • Formal: • Es gilt folgende Beziehung zwischen SW, SE und MEL:

14. Risikomaße und Analysedesign- Kritik an den Shortfallrisikomaßen - • Vorteile : • sinnvolleres Risikoverständnis • Bezug zu Investor • bei asymmetrischer Verteilung vorzuziehen • Nachteile : • Ein Shortfallrisikomaß eines Portfolios ergibt sich nicht aus einer Funktion der einzelnen Shortfallrisikomaße

15. Risikomaße und Analysedesign- Vorstellung der Sparpläne - • Durchführung der Analyse anhand drei verschiedener Sparplanvarianten im Zeitraum von 1969 bis 2004 • Aktiensparplan (DAX) • Rentensparplan (REXP) • Statisches Portfolio • Betrachtung realer Renditen, Bereinigung durch Consumer Proce Index (CPI)

16. Risikomaße und Analysedesign- Sparplandesign - • Annahmen: • Jährliche Einzahlungen von 1200 EUR • Zahlung erfolgt vorschüssig zum 31.12 jeden Jahres • Vernachlässigung von Transaktionskosten (Ausgabeaufschläge und Managementgebühr)

17. Back Testing- Einleitung - • Ergebnisse des Back Testings • Entwicklung der einzelnen Sparpläne • Durchschnittsrendite • Endvermögen • Betrachtung der Shortfallrisiken • Shortfallwahrscheinlichkeit • Mittlerer Exzessverlust • Shortfallerwartungswert

18. Back Testing- Entwicklung der einzelnen Sparpläne - • Entwicklungder einzelnen Sparpläne

19. Back Testing- Entwicklung der einzelnen Sparpläne - • Entwicklung der Sparpläne • Investmentform: DAX REXP Stat. Portf. • Reale Rendite 2,45% 4% 3,25% • Reales Endvermögen 50.000 EUR 100.000 EUR 75.000 EUR • Nom. Endvermögen 85.000 EUR 175.000 EUR 130.000 EUR

20. Back Testing- Betrachtung der Shortfallrisiken - • Shortfallwahrscheinlichkeit

21. Back Testing- Betrachtung der Shortfallrisiken - • Shortfallwahrscheinlichkeit • Investmentform: DAX REXP Stat. P. • 5 Jahre 51,61% 9,68% 32,26% • Jahre 26,92% 0% 19,23% • 15 Jahre 14,29% 0% 0% • Jahre 18,75% 0% 0% • 25 Jahre 9,09% 0% 0% • 30 Jahre 16,67% 0% 0%

22. Back Testing- Betrachtung der Shortfallrisiken - • Shortfallwahrscheinlichkeit • Bei einem Renteninvestment und einem Investment in ein statisches Portfolio nimmt die Shortfallwahrscheinlichkeit sehr rasch den Wert Null an • Beim DAX-Investment nimmt die Shortfallwahrscheinlichkeit ebenfalls mit steigendem Zeithorizont ab, verbleibt aber auf einem signifikant hohen Niveau

23. Back Testing- Betrachtung der Shortfallrisiken - • Mittlerer Exzessverlust

24. Back Testing- Betrachtung der Shortfallrisiken - • Mittlerer Exzessverlust • Bei einem Renteninvestment und bei einem statischen Portfolio • nimmt der auch Mittlere Exzessverlust sehr rasch den Wert Null an, • bedingt durch den Wert Null der Shortfallwahrscheinlichkeit • Bei dem Investment in den DAX erhöht sich hingegen mit steigendem Zeithorizont der Mittlere Exzessverlust

25. Back Testing- Betrachtung der Shortfallrisiken - • Shortfallerwartungswert

26. Back Testing- Betrachtung der Shortfallrisiken - • Shortfallerwartungswert • DAX: Schwankt auf einem signifikanten Niveau, bedingt durch die • gegenläufigen Effekte von Shortfallwahrscheinlichkeit und Mittleren Exzessverlust • REXP und statisches Portfolio: Konvergiert direkt gegen Null und nimmt diesen Wert nach 10, bzw. 15 Jahren an

27. Back Testing- Ergebnisse - • Ergebnisse • Im beobachteten Zeitraum: • REXP: höhere Durchschnittsrendite geringeren Risiken • DAX: geringere Durchschnittsrendite • viel höhere und persitente Risiken • Bedingt durch die Baisse der Jahre 2000-2003 konnte mit einem Renteninvestment eine deutlich höhere Durchschnittsrendite bei gleichzeitig geringerem Risiko erzielt werden!

28. Zukunftsmodellierung- Einordnung - • Bisher wurde auf Basis der Daten der letzten 35 Jahre die • Leistungsfähigkeit von Investmentsparplänen untersucht, nun soll eine • Prognose für die Entwicklung in den nächsten 35 Jahren erfolgen. • Dazu muss die zukünftige Entwicklung der Kapitalmärkte simuliert • werden. • Das finanzmathematische Standardmodell zur Prognose von • zufallsabhängigen Wertentwicklungen wie z.B. Kursverläufe • von dividendenlosen Aktien bzw. thesaurierenden Aktienportfolios ist • die geometrische Brown’sche Bewegung (geometrische Wiener- • Prozess).

29. Zukunftsmodellierung- Die geometrische Brown`sche Bewegung - • Der Aktienkurs stellt sich nach dem Euler-Schema für die geometrische Brown‘sche Bewegung nach der nächsten kurzen Zeitperiode ∆t wie folgt dar: • für ∆t = 1 Jahr • Grundlagen: • - Markov-Eigenschaft: alle Informationen über die vergangenen Entwicklungen sind bereits im • aktuellen Kurs (Sn) enthalten. • Die Zuwächse stellen sich dabei als stochastisch unabhängige Zufallsgrößen dar. Zudem sind • die Zuwächse normalverteilt.

30. Zukunftsmodellierung- Die geometrische Brown`sche Bewegung - • Die einzelnen Komponenten der Rendite • Komponente: erwartete Wert der Rendite (Drift): Investoren erwarten prozentuale Rendite • 2. Komponente: stochastische Komponente der Rendite (Diffusion): • - Aktienkursentwicklung ist volatil bzw. unsicher: • - stochastische Komponente Zufallsstichprobe Z mit Z ~ N (0,1) • Hierbei gilt als Näherung für Z: • Die besten Schätzer für µ und sind hierbei die realisierten Werte des Backtest.

31. Zukunftsmodellierung- Vier mögliche Pfade eines DAX-Sparplans -

32. Zukunftsmodellierung- Monte-Carlo-Simulation - • Im Rahmen der Monte-Carlo-Simulation werden nun für den DAX und • den REXP jeweils 10.000 Pfade simuliert. Jeder einzelne stellt dabei • eine Möglichkeit der zukünftigen Entwicklung darstellen. • Durch die Simulation von 10.000 Pfaden und die Bildung des • Mittelwerts aus den einzelnen Ergebnissen lässt sich der • wahrscheinlichste Verlauf der Indizes und somit auch der darauf • basierenden Sparpläne ermitteln.

33. Zukunftsmodellierung- Ergebnisse der Simulation der Entwicklung der Sparpläne -

34. Zukunftsmodellierung- Auswertung der Entwicklung der Shortfallmaße -

35. Zukunftsmodellierung- Beurteilung der gefundenen Ergebnisse - • Hohes Maß an Übereinstimmung der Ergebnisse der Simulation und des Backtest durch die verwendeten Drift- und Streuungsparameter • Somit auch bei der Prognose deutliche Überlegenheit des Renteninvestments gegenüber von Aktienanlagen • Pfadabhängigkeit der Ergebnisse

36. Ergebnisse- Fazit - • Zeitraumbetrachtung • Renten haben in dieser Periode Aktien outperformt, • => Widerspruch zur geltenden Meinung • Persistenz des Risikos bei Aktien • Keine Pauschalisierung der Ergebnisse möglich • Diversifiziertes Portfolio für Altersvorsorge (sämtl. Assetklassen)

37. Teil 2- Entnahmepläne - • Agenda • Einleitung • Ansparpläne 2.1 Risikomaße und Analysedesign 2.2 Back Testing 2.3 Zukunftsmodellierung 2.4 Ergebnisse • Entnahmepläne 3.1 Auszahlungsregeln, Simulation, Ergebnisse 3.2 Constant Proportion Portfolio Insurance (CPPI) 3.3 Zusammenfassung • Diskussion

38. Problemstellung • Sorge um finanzielle Absicherung im Rentenalter • Immer mehr Rentner pro Arbeitnehmer • gesetzliche Rentenversicherung kann nicht mehr den gewohnten Lebensstandard gewährleisten • Zusätzliche private Absicherung sinnvoll Wie soll das angesparte und angelegte Vermögen im Alter optimal ENTNOMMEN werden?

39. Simulation der zukünftigen Renditen • Vermögen wird in ein Portfolio angelegt, dass zu 50 % aus DAX Werten und zu 50 % aus Renten des REXP besteht • Durchschnittliche Rendite und Varianz wurde aus einer historischen Zeitreihe geschätzt • mit Hilfe der geometrisch Brownschen Bewegung wurden jeweils 1000 zukünftige stetige Jahresrenditen über 45 Jahre simuliert • Verwendete Formel: • Wobei:

40. Vorstellung der Auszahlungsregeln (1) • Leibrente • Leistung wird vor Beginn der Rente durch Einmalzahlung erworben • Verpflichtung zu einer lebenslangen konstanten Rentenzahlung • Langlebigkeitsrisiko trägt die Versicherungsgesellschaft • Keine Vererbung des Restkapitals und keine Vererbung der Zahlungsansprüche • Verwendete Formel: • (Gesamtannuität)

41. Vorstellung der Auszahlungsregeln (2) • b) Entnahme eines festen Betrags • Ein fester Betrag wird in jeder Periode entnommen. • Bei der Simulation wird dieser Betrag bis zum max. Endalter von 110 Jahren entnommen. • c) Entnahme eines fixen Anteils • Bis zum Endalter wird jedes Jahr ein prozentualer Anteil des verbleibenden Vermögens ausgezahlt. • d) Entnahme eines Anteils nach der 1/T Regel • Mit zunehmendem Alter wird ein höherer Anteil des verbleibenden Vermögens entnommen. • Formel:

42. Risikomaße, Untersuchung & Ergebnisvorstellung • Betrachtung der durchschnittlichen Rendite und der Volatilität als Risikomaß für eine Untersuchung über mehrere Perioden nicht sinnvoll. • Betrachtung von Shortfall-WS, Shortfall-Erwartungswert & Mean Excess Loss (wie bereits definiert) • Shortfall tritt ein, wenn ein Referenzwert unterschritten wird • Speziell bei Entnahmeplänen, wenn die Auszahlung der Leibrente unterschritten wird. • Bei den Simulationen wurden Versicherungskosten, Inflation, Depotkosten etc. nicht berücksichtigt.

43. Modell Annahmen • Annahmen für die Untersuchung Leibrente vs. Festbetragsentnahme, • Entnahme eines Anteils & Entnahme nach der 1/T Regel • Für 100 Euro kann man eine sichere Leibrente in Höhe von 6,52 Euro jährlich erhalten • Fragestellung: Welches Risiko geht der Pensionär ein, wenn er das Vermögen in Höhe von 100 € selbst anlegt und jeweils jährlich 6,52 € , 6,52 % des Restvermögens bzw. den Anteil von 1/T des Restvermögens jährlich entnimmt? • Weitere Annahmen: maximale Lebenserwartung = 110 Jahre, Sterbetafel 1994 T (Sterbe-WS weiblich), 1000 Simulationspfade

44. Ergebnisse (1)

45. Ergebnisse (2)

46. Ergebnisse (3)

47. Ergebnisse (4)

48. Ergebnisse (5)

49. Schlussfolgerungen • Keine eindeutige Empfehlung für einen Entnahmeplan möglich • Entscheidung für einen Entnahmeplan abhängig von individuellen Verhältnisse & Bedürfnisse (Gesundheit, Konsumverhalten) • Leibrente als Benchmark wäre für einen risikoaversen Pensionär für die gesamte Laufzeit die beste Lösung • Unbeachtet blieben bei der Simulation Versicherungskosten, Inflation, Depotkosten, flexible Geldanlage aufgrund von unsicheren Märkten • In dem nun folgendem Modell werden einige dieser Punkte berücksichtigt.

50. Erste Überlegungen • Langfristige Entscheidungen unter Risiko treffen • Ohne Möglichkeit diese Entscheidungen zu ändern • Anlagezeitpunkt des Vermögens wichtig • Sicherheitsbedürfnis wächst stetig In einer Phase des Lebens, wo Risikoaversion am höchsten ist