組長 : 胡林瑋 4A12C072 組員 : 黃冠智 4A12C075 陳坤篁 4A12C066 蘇昱偉 4A12C082 陳建志 4A12C105

平面極坐標方程式 與其圖形組長:胡林瑋4A12C072組員:黃冠智4A12C075陳坤篁4A12C066蘇昱偉4A12C082陳建志4A12C105

極座標 一個極座標系統須有一點稱為極心(pole)及由此極心射出的一條輻射線稱為極軸(polaraxis)。為了方便與直角座標系統作比較，我們把直角座標系統的原點作為極心，把右半條橫軸作為極軸。

一、廣義極座標 令P為平面上一點，其直角座標為(x,y)。令r= x2 y2 為OP之長度，θ為由極軸至OP角度，則稱(r,θ)p為P點之極座標。應注意到(r,θ)p= (r,2nπ+θ)p，nZ也可以寫成 (-r,π+θ)p= (-r,(2n+1)π+θ)p，nZ，因此P =(x,y) =(r,2nπ+θ)p= (-r,(2n+1)π+θ)p， P點只有一組直角座標，卻有無窮多組極座標。他們的主要關係是 2 x= r‧cosθ，y = r‧sinθ，r = x2 y2

1.r = a，圖形為以極心為心半徑為 |a| 之圓，相對應於x2+ y2= a2 1 0.8 (1,θ) 0.6 0.4 0.2 θ 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 圖一（r=1）

2. θ=α，圖形為以α為斜角之過極心之直線，相對應y= tanα‧x 10 8 6 (r ,α) 4 2 α 0 -2 -4 (-r ,α) -6 -8 -10 10 8 4 6 2 -4 -2 0 -6 -10 -8 圖二（θ=α）

3.r‧cosθ=d，相對應於x=d.r‧sinθ= d，相對應於y= d. 圖三（rcos(θ)=d）

4.r=a‧cosnθ，n為奇數時，圖形為n瓣花； n為偶數時，圖形為2n瓣花.r= a‧sin nθ 90 90 1 1 120 120 60 60 0.8 0.8 0.6 0.6 150 30 150 30 0.4 0.4 0.2 0.2 180 180 0 0 330 330 210 210 300 300 240 240 270 270 圖四(a)（r=cos(2θ)）圖四(b)（r=cos(5θ)）

5.r=θ，圖形為螺線. 90 6 120 60 4 30 150 2 180 0 210 330 240 300 270 圖五 (r=θ/3,r>0)

rabcos 6. rabsin，圖形為蚶線，| a | =| b| 時，稱為心臟線.  90 3 120 60 2 150 30 1 180 0 210 330 240 300 270 圖六 (r=1+2cos(θ))

二、實用極座標 在微積分中考慮雙重積分時，有時須把直角座標改為極座標，這時可不用廣義極座標而採用實用的極座標。 xrcos yrsin r0 I  其中I為一長度不超過2π的區間。常見的例子是把平面上的一塊區域用極座標描述出來。令RR2為一區域，如果它的邊界可用極座標來表示：

1. θ=α，θ=β，r =φ1(θ)， r =φ2(θ)，且α<β， φ1φ2，則R ={(r,θ)p：αθβ，φ1(θ)rφ2(θ)} 2. r = a，r= b，θ=1(r)，θ=2(r)，且ab，12，則R ={(r,θ)p：arb，1(r)θ2(r)} 上述兩種R的形態中，第1種是最常見而第2種則少見。

例題1. 試用極座標描述下列各區域： (a) A ={(x,y)：x2+ y222} (b) B={(x,y)：1x2+ y222，y0} (c) C ={(x,y)：x2+ y21，|x||y|，y0} 解： (a)此時邊界為r=0與r =2，θ=0與θ= 2π，故A ={(r,θ)p：0θ2π， 0r2}

(b) 邊界為r=1與r =2，θ=0與θ=π，故B ={(r,θ)p：0θπ，1r2} (c) 邊界為 r = 0 與 r = 1，θ= 與θ= 3 ，故 C ={(r,θ)p： θ 3 ，0 r 1} 4 4 4 4

例題2. 試用極座標描述下列各區域 (a) A ={(x,y)：(x-1)2+ y21} (b) B={(x,y)：0xy2} 解： (a)考慮邊界 (x- 1)2+ y2= 1得x2- 2x + y2= 0，以x= rcosθ和y= rsinθ代入，得r2- 2rcosθ= 0，r(r- 2cosθ)= 0，r =0代表一點，即極心，而r-2cosθ=0 即為原圓之極座標方程式，此時，(r,θ)p 為圓內一點之條件為θ，0r2cosθ， 2 2 因此A={(r,θ)p：θ,0r2cosθ} 2 2

(b)邊界y = 2之極座標方程式為rsinθ=2或r= 2cscθ. 此時(r,θ)p為B內一點之條件為θ，0r2cscθ 4 2 因此B ={(r,θ)p：θ，0r2cscθ} 4 2

三、圓錐面截線 幾乎所有的天體，例如：行星、彗星等，的運行軌道都是橢圓、拋物線或雙曲線。這些曲線在光、音的凝聚方面的設計，及導航定位問題等都有很重要的應用。但早年希臘人已知這些曲線可經由(雙葉) 圓錐與平面交截而得。所以就稱這些曲線為圓錐面截線(conic section)。定義3.3.1. 令F為平面上任一點，l為平面上不經過F的任一直線及e>0為一正數。則稱集合 PF = e} {PR2： ………………………………………(1) d(P,l) 為一圓錐面截線，其中d(P,l)為P點至l的距離。此時稱F為焦點(focus)，l為準線(directrix)，而稱e為離心率(eccentricity)。當e< 1時，截線稱為橢圓，e=1時，截線稱為拋物線，而e> 1時，截線稱為雙曲線。

rcosθ。 準線l為d= 令F= O為極心，l為與極軸之延長線垂直且距離F為d之直線。設P = (r,θ)p 滿足(1)，則d(P,l)=d + rcosθ r 因此e= drcos ed …………………(2) 或得 r= 1ecos 如果準線l為d = rcosθ在極心之右邊，則得 ed ………………………(3) r= 1ecos ed ……………………(4) 如果準線l為d =rsinθ與極軸平行，則得r= 1esin 註：我們稱(2)、(3)、(4)為圓錐面截線的極座標標準方程式。

例題1. 將(4)式化成直角座標方程式 解：由(4)式知 rersinθ= ed r = edersinθ r2= (eder sinθ)2= (edey)2 x2+ y2=e2(yd)2

4 例題2. 求r= 之準線方程式、離心率並轉換成直角座標方程式 2-3cos 解：將方程式改寫成標準式 2 r= 1-3cos 2 則知e=3，ed=2，故d=4。因此，離心率e=3，準線方程式為 r cosθ＝4 2 3 2 3 再用例題1的方法可得出直角座標方程式 x2+ y2=9(x+4)2 4 3

四、利用積分，算圖形面積 若為平面上的一曲線，為一連續非負的函數，，。分割成個小區間，且曲線、、，，將區間圍成一區域區域切成個小區域、、……、，如下圖所示因此面積又每一小區域面積近似於扇形面

1.求極座標 所包圍之面積。解答：，代入面積公式展開二倍角公式求定積分即為所求

2.求四瓣玫瑰線 之一瓣的面積。，，展開二倍角公式並將係數化簡分項積分計算定積分即為所求

3.求極座標 所包圍之面積。解答：代入面積公式展開二倍角公式求定積分即為所求

7. Find the area of the regionboundedby the graph ofthe equation . Solution : The area is .

練習題.求極座標， 所包圍之面積。解答：，，代入面積公式求定積分（此即圓面積公式）

參考資料:1.平面極坐標方程式與其圖形2. http://www.amath.nchu.edu.tw/~tdoc/13_2.htm

END

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