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24.3 正多边形和圆（第 1 课时）

E. D. A. C. B. 24.3 正多边形和圆（第 1 课时）. 观察下列图形他们有什么特点？. 活动 1. 问题 1 ，什么样的图形是正多边形？. 各边相等 , 各角也相等的多边形是正多边形. 活动 2. 你知道正多边形与圆的关系吗？. 正多边形和圆的关系非常密切 , 只要把一个圆分成相等的一些弧 , 就可以作出这个圆的内接正多边形 , 这个圆就是这个正多边形的外接圆. 把正 n 边形的边数无限增多 , 就接近于圆. 我们以圆内接正五边形为例证明. 如图 ,·1 把⊙ O 分成相等的 5 段弧 , 依次连接各分

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24.3 正多边形和圆（第 1 课时）

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Presentation Transcript

  1. E D A C B 24.3 正多边形和圆（第1课时）

  2. 观察下列图形他们有什么特点？

  3. 活动1 问题1，什么样的图形是正多边形？ 各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.

  4. 活动2 你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆. 把正n边形的边数无限增多,就接近于圆.

  5. 我们以圆内接正五边形为例证明. 如图,·1把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分 点得到正五边形ABCDE. A ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA B E ∴AB=BC=CD=DE=EA ⌒ D C ∵BCE=CDA=3AB ∴∠A=∠B 同理∠B=∠C=∠D=∠E 定理1：把圆分成n（n≥3）等份： 依次连结各分点所得的多边形是这个圆 的内接正多边形. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上 ∴五边形ABCDE是⊙O的 内接正五边形.

  6. 证明：连结OA、OB、OC，则： ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C 为切点的⊙O的切线 ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB 又∵AB=BC ∴AB=BC ∴△PAB与△QBC是全等 的等腰三角形。 ∴∠P=∠Q PQ=2PA 同理∠Q=∠R=∠S=∠T QR=RS=ST=TP=2PA ⌒ ⌒ 思考:过圆的5等份点画圆的切线, 则以相邻切 线的交点为顶点的多边形是正多边形吗? A T P E B O Q S C D R 定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切 线的交点为顶点的多边形是这个圆的 外切正多边形. 又∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST的是O外切正五边形。

  7. E D F C 正多边形有关的概念 正多边形的中心: 一个正多边形的 外接圆的圆心. 半径R . O 中心角 正多边形的半径: 外接圆的半径 边心距r 正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角. 正多边形的边心距： 中心到正多边形的 一边的距离.

  8. 外接 1. O是正△ABC的中心，它是△ABC的_____ 圆与________圆的圆心。 内切 A 2. OB叫正△ABC的_____, 它是正△ABC的______圆 的半径。 　　　　　 半径 外接 .O 边心距 3. OD叫作正△ABC______, 它是正△ABC的______ 圆的半径。 内切 B C D 中心 4. ∠BOC是正△ABC的________角; 60 120 ∠BOC=_____度; ∠BOD=_____度.

  9. 5、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做 正方形ABCD的____________ 中心 6、正方形ABCD的内切圆的半径OE叫做 正方形ABCD的___________ 边心距 A D .O B E C

  10. 7、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的 弦心距OF叫正五边形ABCDE的________， 它是正五边形ABCDE的________圆的半径。 边心距 内切 中心 8、∠AOB叫做正五边形ABCDE的_______角， 它的度数是________ 72度 D C E .O A B F

  11. 9、图中正六边形ABCDEF的中心角是_______; 它的度数是_________; ∠AOB 60度 10、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？ E D F .O C A B

  12. E D F . C 中心角 边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形 O . R a A G B 设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na.

  13. 正n边形的一个内角的度数是____________; 中心角是___________; 正多边形的中心角与外角的大小关系是________. 相等

  14. 解: 如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于 ，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径. 活动3 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 例 有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2). 因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). 利用勾股定理,可得边心距 F E O 亭子地基的面积 A D R r P B C

  15. 活动4 练习 1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等; 菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.

  16. 2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形?各角都相等的圆内接多边形呢?如果是,说明为什么;如果不是,举出反例. A６ 各边相等的圆内接多边形是正多边形. A５ A７ · 多边形A1A2A3A4…An是⊙O的内接多边形, A４ 且A1A2=A2A3=A3A4=…=An－1An, O An A３ A1 A２ ∴　多边形A1A2A3A4…An是正多边形.

  17. 3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积.3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积. 解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D 连接OB，则OB=R A 在Rt△OBD中 ∠OBD=30°, · 边心距＝OD= O 在Rt△ABD中 ∠BAD=30°, B C D

  18. 解：连接OB，OC作OE⊥BC垂足为E， ∠OEB=90° ∠OBE= ∠ BOE=45° 在Rt△OBE中为等腰直角三角形 A D · O C B E

  19. 小结： 1、怎样的多边形是正多边形？ 2、怎样判定一个多边形是正多边形？ ①各边相等 ②各角相等 的多边形叫做正多边形。

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