ХАОСОТ И СТАБИЛНОСТА НА СОНЧЕВИОТ СИСТЕМ

1. Универзитет “Св. Кирил и Методиј” Природно-Математички факултет Институт за физика П. Фах 162, 1000 Скопје, Македонија ХАОСОТ И СТАБИЛНОСТА НА СОНЧЕВИОТ СИСТЕМ А. Ѓурчиновски E-Mail: agjurcin@pmf.ukim.mk Зимска астрономска школа, 25-26 февруари 2011, ПМФ - Скопје

2. ЊУТНОВА МЕХАНИКА Исак Њутн (Isaac Newton) - го вовел аналитичкиот приод за опишување на движењето на телата (физичките системи) - опишување со помош на равенки

3. ЊУТНОВА МЕХАНИКА • - Втор Њутнов закон – Познати се силите што дејствуваат врз • тело чијашто маса е m, да се најде забрзувањето на телото! • - Движење во поле на константни сили => константно забрзување

4. ЊУТНОВА МЕХАНИКА Стабилност и нестабилност

5. ЊУТНОВА МЕХАНИКА

6. ЊУТНОВА МЕХАНИКА

7. ЊУТНОВА МЕХАНИКА Њутнов закон за гравитација • - движењето на небесните тела (планетите, месечините, ...) во сончевиот систем е резултат на гравитационото привлекување • меѓу телата модулот на силата зависи од растојанието

8. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Проблем на две тела • проблемот е аналитички • решлив • траекторија на движење ЗЕМЈА - МЕСЕЧИНА

9. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Ефекти што најчесто се занемаруваат при решавање на проблемот на две тела (нпр. Земја-Месечина) • - ефектот на “триење” поради плимата и осеката (tidal friction) предизвикува постепено успорување на ротацијата на Земјата околу својата оска • влијанието на другите небесни тела (другите планети, Сонцето, ...)

10. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Релативистички ефекти (ротација околу суперасивно небесно тело – црна дупка)

11. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Движење на планетите околу Сонцето (проблем на две тела) • КРУЖНИЦА (e = 0) • ЕЛИПСА(0 <e < 1) • ПАРАБОЛA (e = 1) • ХИПЕРБОЛA (e > 1)

12. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките y ПЛАНЕТА (x,y) F r x СОНЦЕ

13. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките поедноставување на равенките

14. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките (алгоритам на Ојлер)

15. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките • Временски чекор: • Почетни услови: • Елипса – движењето е периодично

16. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките • Временски чекор: • Почетни услови: • Нумеричка нестабилност на методот на интеграција

17. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките • Временски чекор: • Почетни услови: • Хиперболична орбита –движењето не е периодично, не е ограничено

18. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките • Временски чекор: • Почетни услови:

19. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките • Интегрирање нанапред и наназад во времето

20. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките • Временски чекор: • Почетни услови: • Параболична орбита – • непериодично, неограничено движење

21. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Проблем на три тела • Кралот Оскар II (крал на Шведска и Норвешка) во 1889 година организирал натпревар за најдобра истражувачка работа во областа на небесната механика – стабилност на Сончевиот систем (проблем на n-тела) • Поанкаре (проблем на три тела): • - во општ случај не постои аналитичко решение • - откритие на хомоклинички точки што доведува до заклучок за комплицирана динамика на системот • - чувствителност од почетни услови • (ефект на пеперутка) • - прво откритие на хаотичен детерминистички систем

22. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Проблем на три тела (Њутн, Даламбер, Клеро) • Анри Поанкаре (1854 –1912) • Математика • топологија (Поанкареова коњектура) • алгебарска и хиперболична геометрија • теорија на броеви • комплексна анализа • диференцијални равенки • Диофантови равенки • Теориска физика • теорија на релативност • квантна механика • проблем на три тела (детерминистички хаос) • механика на флуиди • оптика, електричество • Инженерство • капиларни појави • еластичност • телеграфија • Филозофија на науките • La Science et l'Hypothèse

23. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Проблем на три тела y АСТЕРОИД (x,y) F1 F2 r1 r2 M M l x ЅВЕЗДА ЅВЕЗДА

24. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Проблем на три тела

25. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките

26. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките • Временски чекор: • Почетни услови:

27. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Чувствителност на почетни услови • ХАОТИЧНА ТРАЕКТОРИЈА?

28. ИСТОРИЈА НА ХАОСОТ Нумеричко решавање на равенките • Временски чекор: • Почетни услови:

29. ХАОТИЧНИ СИСТЕМИ Хаотични траектории (орбити) • движењето е непериодично • (не се повторува) • движењето е ограничено во некој дел од просторот (?) • (движење во конечен фазен волумен, чуден атрактор) • траекторијата поседува барем еден позитивен експонент на Љапунов • (чувствителност од почетни услови) ДАЛИ ОВАА ОРБИТА Е ХАОТИЧНА?

30. ХАОТИЧНИ СИСТЕМИ Експоненти на Љапунов Карактеристика на експоненцијалната дивергенција на две многу блиски траектории на системот

31. ХАОТИЧНИ СИСТЕМИ Диференцни равенки – опишување на дискретни динамички системи • За разлика од континуираните динамички системи чија што динамика е временски континуирана и се опишува со диференцијални равенки, дискретните динамички системи опишуваат еволуција на системот во дискретни временски интервали, и се зададени со диференцни равенки. И во обата случаја зборуваме за детерминистички динамички системи, затоа што состојбата на системот во некое зададено фиксно време е еднозначно определено од претходните состојби на системот.

32. ХАОТИЧНИ СИСТЕМИ Диференцни равенки преку пресек на Поанкаре

33. ХАОТИЧНИ СИСТЕМИ Логистичко пресликување • - моделирањето на прирастот на одредена популација при ограничени ресусрси (популација на бактерии во изолиран хабитат) • а- константен параметар (0 а  4) специфичен за дадена популација • xn- бројот на популацијата во дадено фиксно време tn. • Во случајот на еволуција на популација од бактерии, една временска единица одговара на еден час, а популацијата xn е зададена во милиони. • Орбитата на системот е зададена преку низата од елементи • {x0, x1, x2, …}, и во овој случај орбитата е ограничена доколкуx0[0,1]

34. ХАОТИЧНИ СИСТЕМИ Логистичко пресликување

35. ХАОТИЧНИ СИСТЕМИ Логистичко пресликување (горе) Бифуркациона дијаграма за логистичкото пресликување. Точките што кореспондираат на фиксна вредност на параметарот а го прикажуваат атракторот на системот по доволно голем број на итерации; (долу) Експонентот на Љапунов во зависност од параметарот а. Позитивна вредност на експонентот на Љапунов одговара на хаотична траекторија.

36. АТРАКТОРИ КАЈ КОНТИНУИРАНИ С-МИ Систем на Лоренц (1963) Симулации на систем што моделира минијатурна атмосфера. Оригиналните симулации Лоренц ги правел на Royal- McBee LGP-30 компјутер со големина на фрижидер, со 16KB внатрешна меморија составена од вакуумски цевки, со можност од 60 множења во секунда.

37. АТРАКТОРИ КАЈ КОНТИНУИРАНИ С-МИ Систем на Реслер (1976) Модел-играчка, парадигма на хаотичен систем со проста квадратна нелинеарност изразена со еден квадратен член. Експериментално добиен во специфични нелинеарни електрични кола.

38. АТРАКТОРИ КАЈ КОНТИНУИРАНИ С-МИ Лавиринт - хаос Модел-играчка, парадигма на хаотичен систем со проста синусна нелинеарност. Траекторијата не е ограничена, но бавно се распространува (бавна дифузија).

39. АТРАКТОРИ КАЈ КОНТИНУИРАНИ С-МИ Систем на Мекеј-Глас • T1 = 4 • T1 = 8 • T1 = 15 • T1 = 23 Модел којшто опишува регенерација на крвни клетки кај пациенти со леукемија.

40. АТРАКТОРИ КАЈ КОНТИНУИРАНИ С-МИ Хаос во модел на љубовен триаголник (Ромео + Џулиета + Гиневера)

41. ХАОСОТ И СОНЧЕВИОТ СИСТЕМ Хаотични траектории во Сончевиот систем • Доколку математичкиот модел (систем на диференцни или диференцијални равенки, нивна комбинација, и сл.) што го употребуваме за предвидување на траекториите во нашиот Сончев систем е хаотичен, тоа значи дека и најмала грешка во почетните услови што ги внесуваме во нашите компјутерски програми ќе доведат до погрешна проценка на поведението на пресметаните траектории после определено време од почетокот на симулацијата • Почетни услови (во момент t0): • координатите на положбата на небесното тело • проекциите на векторот на брзината на телото

42. ХАОСОТ И СОНЧЕВИОТ СИСТЕМ Хаотични траектории во Сончевиот систем • Сусман, Висдом (1988) – SCIENCE • нумерички ги интегрирале гравитационите диференцијални равенки за Сончевиот систем во временски интервал од 845 милиони години • траекторијата на (тогашна планета, а денес џуџеста планета) Плутон била чувствителна од почетните услови (хаотична траекторија) • Сусман, Висдом (1992) – SCIENCE (пософистициран хардвер и софтвер) • симулација на Сончевиот систем паралелно на два компјутерски системи, при што почетните услови на траекторијата на Плутон се разликувале незначително • За експонентот на Љапунов за траекторијата на Плутон добиена вредност 1/12  0,083, што значи дека траекторијата на Плутон е хаотична

43. ХАОСОТ И СОНЧЕВИОТ СИСТЕМ Хаотични траектории во Сончевиот систем

44. ХАОСОТ И СОНЧЕВИОТ СИСТЕМ Графичкиприказ на временската зависност на логаритамот од разликата на позицијата на Плутон (во AU) во двете паралелни симулации направени од Сусман и Висдом.

45. ХАОСОТ И СОНЧЕВИОТ СИСТЕМ Хаотични траектории во Сончевиот систем При обидот за интеграција на диференцијалните равенки за орбитата на кометата Шумејкер-Леви 9, која што се судри со Јупитер во 1994 година, не можело да се предвиди каква била хелиоцентричната орбита на оваа комета пред нејзиниот судир токму поради тоа што таа била хаотична.

46. ХАОСОТ И СОНЧЕВИОТ СИСТЕМ Хаотични осцилации во Сончевиот систем • Ласкар, Робутел – NATURE • Тоума, Висдом – SCIENCE (1993) • симулации на варијацијата на • наклонот на оската на ротација • на планетаво однос на • рамнината во која што таа • орбитира околу Сонцето • (еклиптика) • нерегуларни и значителни • промени на наклонот на оската • на планетата би резултирало • со значителни промени во • климата на планетата • (топење на мразот од поларните • предели поради подолготрајната изложеност на половите кон Сонцето).

47. ХАОСОТ И СОНЧЕВИОТ СИСТЕМ симулациите на наклонот на оската на ротација во однос на еклиптиката за планетата Марс за дадени определени почетни услови покажуваат дека во временски прозорец од околу 45 милиони години, наклонот на оската на ротација на Марс би можела да осцилира нерегуларно во интервал од околу 15.

48. ХАОСОТ И СОНЧЕВИОТ СИСТЕМ Хаотични траектории во астероидниот појас (процепи на Кирквуд) Распределба на бројот на астероидите во астероидниот појас по големината на нивните полуоски. Забележителни се т.к.н Кирквудови празнини – места во кои отсуствуваат астероиди

49. ЗАКЛУЧОК • Хаосот и ефектот на пеперутката - доколку почетните услови (почетните положби и брзини на телата) само малку се изменат, траекторијата на системот добиена со компјутерски симулации драстично се менува. • Постоењето на хаотични траектории во нашиот Сончев систем предизвикува нумеричките предвидувања на траекториите на небесните тела на долг рок да станат невозможни. • Изнаоѓање ефективна нумеричка процедура што ќе го заобиколи ефектот на пеперутката (чувствителната зависност од почетните услови) ? • Предвидување на судир или близок контакт на астероид или комета со Земјата

50. ЗАКЛУЧОК