МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА

1. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА А.І. Колосов, А.В. Якунін, С.М. Ламтюгова АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРЕЗЕНТАЦІЯХ ЧАСТИНА І: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ Харків – ХНАМГ – 2009

2. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА До друку дозволяю Проректор ________________М.П. Пан А.І. Колосов, А.В. Якунін, С.М. Ламтюгова АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРЕЗЕНТАЦІЯХ ЧАСТИНА І: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ Електронний альбом дидактичних матеріалів для студентів 1 курсу денної та заочної форм навчання за напрямом підготовки 6.050701 “Електротехніка та електротехнології”, спеціальностей “Електротехнічні системи електроспоживання” і “Світлотехніка і джерела світла” Харків – ХНАМГ – 2009

3. УДК 517.2+517.51 Колосов А.І., Якунін А.В., Ламтюгова С.М. Аналітична геометрія у презентаціях. Частина І: Аналітична геометрія на площині: Електронний альбом дидактичних матеріалів для студентів 1 курсу денної та заочної форм навчання за напрямом підготовки 6.050701 “Електротехніка та електротехнології”, спеціальностей “Електротехнічні системи електроспоживання” і “Світлотехніка і джерела світла”. – Харків: ХНАМГ, 2009. – 78 с. Рецензент: д.ф.-м.н., проф. М.Й. Кадець Рекомендовано кафедрою вищої математики, протокол № 11 від 22.05.2009 р.

4. 4 Змiст Передмова ……………………………………………………… Iнструкцiя по застосуванню………………………………... 1 Декартова прямокутна система координат на площині ……………………………………………………… 1.1 Координатна пряма. Числові проміжки. Модуль дійсного числа ………………………………………. 1.2 Декартова прямокутна система координат на площині. Відстань між двома точками. Ділення відрізка у заданому відношенні ………………….. 2 Пряма на площині. Основні типи рівняння прямої …………………………………………………………... 2.1 Рівняння з двома змінними як рівняння лінії……….. 2.2 Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом………….. 2.3 Рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку. Пучок прямих……………… .............7 .............8 .............10 .............11 ...........13 ............17 ............18 .............21 ............23

5. 5 2.4 Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки …………………………………………………... 2.5 Загальне рівняння прямої та його окремі випадки ………………………………………………………… 2.6 Рівняння прямої у відрізках на осях …………………. 2.7 Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих ……………………………….. 2.8 Відстань від точки до прямої ………………………… 3. Лінії другого порядку …………………………………….. 3.1 Загальне рівняння лінії другого порядку…………….. 3.2 Коло ……………………………………………………….. 3.3 Еліпс ……………………………………………………….. 3.4 Гіпербола …………………………………………………. 3.5 Парабола …………………………………………………. 3.6 Лінії другого порядку як конічні перерізи та їх оптична властивість …………………………………….. .............25 .............27 .............29 .............31 .............34 .............36 .............37 .............38 .............40 .............44 .............48 ............52

6. 6 4 Полярна система координат. Параметрично задані лінії ……………………………………………………… 4.1 Полярні координати ……………………………………. 4.2 Зв’язок між полярними і прямокутними координатами ………………………………………………… 4.3 Рівняння ліній другого порядку в полярній системі координат ………………………………………….. 4.4 Рівняння деяких ліній у параметричній формі…….. Список літератури …………………………………………... ............54 .............55 ............59 .............63 .............64 .............67

7. 7 Передмова У цьому альбомі стисло викладено навчальні елементи розділу “Аналітична геометрія на площині”, що відповідають діючим програмам курсу вищої математики для студентів електротехнічних спеціальностей. Головна увага приділяється розкриттю суті понять, їх взаємозв’язків без надмірної строгості викладу з об’єднуючою прикладною спрямованістю. Теоретичні відомості подаються чітко й аргументовано з опорою на наочність, інтуїцію та з ілюстрацією на типових прикладах, частина з яких розрахована на самостійне опрацювання. Зібрані в альбомі дидактичні матеріали призначені для студентів електротехнічних спеціальностей. зміст

8. 8 Iнструкцiя по застосуванню Альбом дидактичних матеріалів «Аналітична геометрія у презентаціях. Частина І: Аналітична геометрія на площині» створено в програмi Power Point у виглядi слайд-шоу. Презентацiя подана в режимi «Тiльки для читання», тому редагування слайдiв не можливе. Гiперпосилання в змiстi та спецiальнi кнопки на початку кожного роздiлу задають перехід на потрібну сторiнку (розділ чи пункт). У кiнцi кожного пункту є кнопка «на початок роздiлу», де в свою чергу є кнопка «змiст». Далі зi змiсту можна перейти в будь-який роздiл чи пункт, який цікавить. У презентацiї є приховані слайди, що уточнюють окремі поняття, на якi можна перейти за гiперпосиланнями, що розмiщені по тексту.

9. 9 Кнопка мiстить посилання на iнформацiю, що розрахована на самостiйне опрацювання. Можна вийти з презентацiї в будь-який момент. Для цього потрібно натиснути на клавiатурi клавiшу Esc або клiкнути правою кнопкою мишi, після чого з’явиться керуюче меню, де останнім пунктом буде режим "Закiнчити показ". Iз цього ж меню можна перейти на будь-який вибраний слайд, не обов’язково в тому порядку, що пропонує презентацiя. У друкованому варiантi – неповна демонстраційна збірка пропонованих матеріалів. Повна версія посібника з анімацією, рисунками та опрацьованими самостiйними завданнями – тільки в електронному виглядi. Побажання та пропозиції для покращення приймаються за електронною адресою: vm_kolosov@ksame.kharkov.ua зміст

10. 1 Декартова прямокутна система координат на площинi 1.1 Координатна пряма. Числові проміжки. Модуль дійсного числа 1.2 Відстань між двома точками. Ділення відрізка у заданому відношенні зміст

11. 11 1.1 Координатна пряма. Числові проміжки. Модуль дійсного числа Рис. 2 Рис. 1 О Е М(х) –1 0 1 х х Напрямлена пряма, на якій задано початок відліку О і масштаб ОЕ=1, називається координатною прямою (віссю) (рис. 1). Довільній точці М координатної прямої Ох відповідає певне дійсне число х – її координата. Навпаки, довільному дійсному числу х відповідає певна точка М координатної прямої Ох. Враховуючи таку взаємно однозначну відповідність, координатну пряму називають числовою прямою і ототожнюють з множиною дійсних чисел R: R=(–∞; +∞). Основні числові проміжки показані на рис. 2: [a;b]– відрізок; [a;b), (a;b], (–∞;a], [a;+∞)– півінтервали; (a;b), (–∞;a), (a;+∞), (–∞;+∞)– інтервали, a<b. Проміжки [a;b], [a;b), (a;b], (a;b) називаються скінченними, а всі інші – нескінченними. Числа aіb – їхні кінці, d=b – a – довжина.

12. 12 Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа x називається невід’ємне число, яке позначається |x| і визначається формулою Рис. 3 Рис. 4 Модуль дійсного числа x дорівнює відстані відповідної точки M(x) від початку відліку O (геометричний зміст модуля).Відстань між довільними двома точкамиM1(x1 ) іM2(x2) визначається за формулою Інтервал (a–ɛ ; a+ɛ)називається ɛ – околом числаa і позначається U(a;ɛ), де ɛ – довільне додатне число, ɛ >0 (рис. 3). Зауваження. Координатну пряму Oxумовно можна вважати замкненою в нескінченно віддаленій точці ∞. Тому для довільного додатного числа M,M>0, розглядають   M‑ окіл символу нескінченності ∞ (рис. 4). На початок розділу

13. 13 1.2 Відстань між двома точками. Діленнявідрізка у заданому відношенні Рис. 6 Рис. 5 Дві взаємно перпендикулярні координатні прямі Ox і Oy зі спільним початкомO утворюють декартову прямокутну систему координат на площині (рис. 5). Ox – вісь абсцисOy – вісь ординат Сукупність прямих, що перпендикулярні координатним осям, утворює координатну сітку на координатній площині Oxy. Положення довільної точки Mоднозначно визначається впорядкованою парою чисел (x;y)– її координатами( x –абсциса,y – ордината). З прямокутного ΔM1NM2(рис. 6) за теоремою Піфагора випливає, що відстань між довільними двома точкамиM1(x1;y1)і M2(x2; y2) визначається формулою

14. 14 Нехай задані дві точки M1(x1; y1), M2(x2; y2 ) і відношенняλ=M1M/MM2, уякому точкаM(x ; y) ділить відрізокM1M2, починаючи від точки M1(рис. 7). З подібності прямокутних трикутників ΔM1NM ~ ΔMPM2випливає, що ; Звідси координати точки M(x;y), яка ділить заданий відрізок у заданому відношенні, обчислюються за формулами Рис. 7. Зауваження 1. Якщо точка Mлежить між точками M1іM2, то λ >0 (ділення внутрішнім способом); якщо точка M не належить відрізкуM1M2, то λ<0 (ділення зовнішнім способом). Зауваження 2. Якщо точка M ділить відрізокM1M2 пополам, тоλ =1. Тоді координати середини відрізка визначаються за формулами

15. 15 Приклад За властивістю точки перетину медіан трикутника Тодікоординати точки E: Трикутник ABC задано координатами вершин A(–3;4), B(7; –2), C(5;6).Побудувати ∆ABC в системі координат. Знайти: а) довжину медіаниAM; б) точку E перетину медіан. (рис. 8) Нехай M– середина сторони BC: На початок розділу

16. 16 Ілюстрація до прикладу y 6 C(5,6) x – вісь абсцис y – вісь ординат XOY – координатна площина A, B, C – вершини трикутника M – середина сторони BC E – точка перетину медіан A(-3,4) 4 E M(6,2) x O 5 7 -3 -2 B(7,-2) Рис. 8

17. 2 Пряма на площині. Основні типи рівняння прямої 2.1 Рівняння з двома змінними як рівняння лінії 2.2 Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом 2.3 Рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку. Пучок прямих 2.4 Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки 2.5 Загальне рівняння прямої та його окремі випадки 2.6 Рівняння прямої у відрізках на осях 2.7 Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих 2.8 Відстань від точки до прямої зміст

18. 2.1 Рівняння з двома змінними як рівняння лінії Співвідношення F1(x; y) = F2(x; y)називається рівнянням з двома змінними. Його можна податиустандартному вигляді F(x; y) = 0. Тут F1(x; y),F2(x; y) i F(x; y)– деякі вирази. Зображення множини розв’язків даного рівняння на координатній площині Oxy називається графіком цього рівняння. Звичайно графіком рівняння служить деяка лінія. Наприклад, а) графіком рівняння x2+y2 =1 є коло з центром у початку координат O(0;0) і радіусом R = 1 (дійсна лінія); б) графіком рівняння x2+y2 =0 є одна точка –початок координат O(0;0) (вироджена лінія); в) рівняння x2+y2 = –1 ніякого графіка не має (уявна лінія). Зауваження 1. Вигляд рівняння лінії залежить як від самої лінії, так і від вибору системи координат. 18

19. Зауваження 2. Говорять, що лінія задана неявно, якщо її рівняння має вигляд F(x;y)=0 або F1(x;y)=F2(x;y). Якщо рівняння лінії розв’язане відносно змінної y, то говорять, що лінія задана явно рівнянням y=f(x), де f(x)– деякий вираз. Лінія може задаватись системою рівнянь x=x(t) іy=y(t), де t – допоміжна змінна (параметр), і x(t), y(t) – деякі вирази. Тоді говорять, що лінія задана параметрично. Наприклад, траєкторія руху матеріальної точки в механіці часто задається в параметричній формі, при цьому роль параметра відіграє час. Правило 1. Щоб встановити, чи лежить указана точка M0(x0;y0) на даній лінії l: F(x;y)=0, треба перевірити, чи задовольняють координати точки рівняння лінії: F(x0 ;y0)=0 M0ϵ l;F(x0;y0) ≠ 0M0 l. Правило 2. Щоб встановити, чи перетинаються дві дані лінії l1: F1(x;y)=0, l2: F2(x;y)=0, і знайти точки перетину (спільні точки), треба скласти систему рівнянь і розв’язати її. 19

20. Щоб скласти рівняння даної лінії треба: 1) ввести систему координат; 2) знайти співвідношення між координатами довільної (поточної, бігучої) точки M(x;y) цієї лінії та відомими сталими величинами, що визначають саме цю лінію, на основі характеристичної властивості даної лінії; 3) за допомогою рівносильних перетворень звести одержане рівняння до найбільш простого вигляду. Правило 3.   Тип лінії визначають, зводячи її рівняння до відповідного стандартного вигляду. Зауваження 3. l Приклад M1 M Скласти рівняння серединного перпендикуляра l до відрізка M1M2, де M1(–3;4), M2(3, –1) (рис. 9). Довільна точка M(x; y) шуканої лінії рівновіддалена від кінців відрізка M1M2: M1M = M2M; M2 Рис. 9 –пряма лінія. На початок розділу

21. Ð 2.2 Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом Нехай похила прямаl утворює кут α з віссю Ox і перетинає вісь Oy у точціB(0;b) (рис. 10). Тангенс кута нахилу α називаютькутовим коефіцієнтомk прямої l: k=tgα. Число b називають початковою ординатою прямої l. Нехай M(x; y) – довільна точка прямої l. У прямокутному ΔBNM MBN=α. Тоді y – b = kx. Звідси маємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = kx + b. y l α x x O Рис. 10 Зауваження 1. Якщо b=0, то пряма y=kx проходить через початок координат O(0;0). Якщо k=0, то пряма y=b паралельна осі Ox (горизонтальна). Зауваження 2. Якщо пряма паралельна осі Oy (α=90º), то її кутовий коефіцієнт не існує (k = tg 90º = ∞), і її рівняння не можна подати у відповідному вигляді. Рівняння вертикальної прямої має вигляд x=a, де a – абсциса точки перетину A(a;0) з віссю Ox. 21

22. Побудувати пряму за її рівнянням: а) y=3x –2; б) y= –3x; в) y=2; г) x= –3. а) x=0 → y=3·0 – 2= – 2; x=1 → y=3·1 – 2=1 б) x=0 → y= –3·0=0; x=1 → y= –3·1 =– 3 Приклад y в) пряма, паралельна осiОx iпроходить через т. (0;2) г) пряма, паралельна осiОyiпроходить черезт. (–3;0) б) а) г) в) 2 1 0 x 1 – 3 – 2 – 3 На початок розділу

23. 2.3 Рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку. Пучок прямих Нехай пряма l проходить через задану точку M0(x0; y0) і має заданий кутовий коефіцієнт k. Тоді для прямої l маємо y=kx+b; M0(x0; y0)ϵ l y0=kx0+b; b=y0 –kx0; y=kx+y0 –kx0 . Звідси отримуємо рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку y –y0=k (x –x0). Зауваження.Пучок прямихз центром у точціM0(x0; y0)задається сукупністю рівнянь 23

24. Написати рівняння і побудувати пряму, що належить пучку з центром у точці M1(–3,1), якщо: а) пряма паралельна осі Ox; б) пряма паралельна осі Oy; в) пряма нахилена до осі Ox під кутом α=60º. Приклад а) якщо пряма паралельна осiОx, то k= 0: y –1=0, y=1; б)якщо пряма паралельна осі Oy, то їїрівняння має вигляд x= –3; в) якщопряма нахилена до осі Ox під кутом α=60º, тоk=tg 60º= y –1= (x+3); y= x+3 +1 y 6,2 4,5 б) M1(–3,1) а) 1 x 0 – 3 – 1 в) На початок розділу

25. 2.4 Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки Нехай пряма l проходить через дві задані точки M1(x1; y1) і M2(x2 ; y2).Оскільки пряма l проходить через точку M1(x1 ; y1), тоy – y1= k (x –x1). Тоді M2(x2; y2)ϵl y2– y1= k(x2–x1); Звідси маємо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки 25

26. Приклад Трикутник ABC задано координатами вершин A(1;–2), B(–5;1), C(3;–1). Побудувати ∆ABC в системі координат (рис. 11). Знайти рівняння бісектрисиAL. y В(–5;1) 1 1 3 x O –5 L –1 За властивістю бісектриси внутрішнього кута трикутника С(3;–1) –2 А(1;–2) Рис. 11 Тоді На початок розділу

27. 2.5 Загальне рівняння прямої та його окремі випадки Кожна пряма описується деяким рівнянням першого степеня. Навпаки, кожне рівняння першого степеня є рівнянням деякої прямої. Загальним рівнянням прямої називається рівняння першого степеня вигляду Ax+By+C=0, де A, B і C – сталі коефіцієнти, причому хоча б одне з чисел A,B відмінне від нуля, тобто A2 + B2 ≠ 0. Зауваження 1. Загальне рівняння прямої записується з точністю до сталого множника. По можливості його зводять до вигляду, де всі коефіцієнти – цілі числа, причому перший ненульовий коефіцієнт додатний. Зауваження 2. У залежності від значень сталих A, B і C можливі наступні окремі випадки: C = 0, тоді пряма Ax+By=0 проходить через початок координат; A = 0, тоді пряма By+C=0 паралельна осі Ox. Її рівняння можна подати у вигляді y=b, деb = – C / B; B = 0, тоді пряма Ax +C = 0 паралельна осі Oy. Їїрівняння можна подати у вигляді x = a, де a = – C / A; A = 0 іC = 0, тоді пряма y = 0 співпадає з віссю Ox; B = 0 іC = 0, тоді пряма x = 0 співпадає з віссю Oy. 27

28. У трикутнику ABCзадано рівняння сторін AB: 3x – 4y – 2 = 0 і AC: 2x + 5y – 9 = 0. Знайти координати вершини A. AC: AB: y Сторони трикутника ABі ACперетинаються в точці A. Тому координати точки А можна знайти, розв’язавши систему рівнянь AC 3 A 1 O Приклад x -1/2 –3 2 AB –23y = – 23 y = 1 3x – 4·1 – 2=0 x =2 А(2;1) На початок розділу

29. 2.6 Рівняння прямої у відрізках на осях Нехай похила пряма l відтинає на осях координат Ox і Oy відповідно відрізки a і b, тобто перетинає осі координат у двох заданих точках A(a;0) і B(0;b) (рис. 12). Використовуючи рівняння прямої, що проходить через дві задані точки, отримаємо y B(0;b) l b Звідси маємо рівняння прямої у відрізках на осях: A(a;0) O x a Рис. 12 Зауваження 1. У відрізках на осях не можна подати рівняння прямих, які паралельні осям координат. 29

30. Приклад Пряма l задана своїм загальним рівнянням 3x –4y – 8 = 0. Записати її рівняння: а) з кутовим коефіцієнтом; б) у відрізках на осях. a) 3x – 4y –8 = 0; – 4y = –3x + 8; б) 3x – 4y – 8 = 0; 3x – 4y = 8; На початок розділу

31. 2.7 Кут між прямими. Умови паралельності та перпендикулярності прямих Нехай прямі l1 і l2, що зображені на рис. 13, мають задані кутові коефіцієнти відповідно k1 і k2. Тоді для кута φ між ними маємо y φ φ = α2 – α1; α2 α1 Оскільки tgα1= k1; tgα2 = k2, то тангенс кута між прямими знаходиться за формулою l1 l2 α2 α1 O x Рис. 13 Для паралельних прямих φ = 0, tgφ = 0, а для перпендикулярних прямих φ = 90º, tgφ→∞. З одержаної формули випливає, що 1) необхідною і достатньою умовою паралельності невертикальних прямих l1 і l2є рівність k1 = k2; 2) необхідною і достатньою умовою перпендикулярності похилих прямих l1і l2 є рівність k1k2 = –1. Зауваження. Кут між прямими φ розуміється як кут повороту. Гострий кут між прямими знаходиться за формулою 31

32. Приклад У тупокутному ΔABC ( – тупий) задано рівняння сторін AB:y = – 3x + 5, AC:y = 2x –10 і координати вершини C(2; –6). Знайти: а) ; б) рівняння висоти CN; в) рівняння середньої лінії ML, що паралельна AB, де M – середина сторони AC. (рис. 14) а) Знайдемо гострий кут між прямими AB і AC: kAB =– 3; kAC = 2; Тодi б) в) M – середина сторони AC: 32

33. AB:y = – 3x + 5, AC:y = 2x – 10 C(2; – 6). y 5 AB AC Iлюстрацiя до прикладу 2 x 1 2 4 5 O ML –2 A φ M N –6 C Рис. 14 На початок розділу

34. 2.8 Відстань від точки до прямої Нехай задані точка M0(x0; y0) і пряма l своїм загальним рівняннямAx+By+C=0 (рис. 15). Відстанню d від точки до прямої називається довжина перпендикуляра M0N, опущеного з даної точки на дану пряму. Скориставшисьумовою перпендикулярності, знайдемо рівняння цього перпендикуляра . Склавши і розв’язавши систему рівнянь прямих l і , одержимо точку перетину N. Довжину перпендикуляра M0N знайдемо як відстань між двома точками. В результаті (проробіть указані операції самостійно)одержимо формулу для відстані d від точки до прямої M0 d l N Рис. 15 34

35. Приклад 1 У трикутнику ABC задано рівняння сторони AB: x/4 –y/3 = 1і координати вершини C(–2; –5). Знайти довжину висоти CN. Перетворимо рівняння прямої AB до загального вигляду: x/4 –y/3 = 1; 3x–4y = 12; 3x–4y– 12 = 0. Знайдемо довжину висоти CN як відстань від точки C до прямої AB: Приклад 2 У трикутнику ABCзадано рiвняння висот: x + y– 2 = 0, 9x – 3y – 4 = 0 i координати вершини A(2;2). Знайти рiвняння сторiн трикутника. (Розв’язати самостiйно) На початок розділу

36. 3 Лінії другого порядку 3.1 Загальне рівняння лінії другого порядку 3.2 Коло 3.3 Еліпс 3.4 Гіпербола 3.5 Парабола 3.6 Лінії другого порядку як конічні перерізи та їх оптична властивість зміст

37. 3.1 Загальне рівняння лінії другого порядку Пряма – це єдина лінія першого порядку. Її загальним рівнянням є алгебраїчне рівняння першого степеня. Лінії другого порядку відповідає рівняння другого степеня, загальний вигляд якого Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, де A, B, C, D, E, F – сталі коефіцієнти, причому хоча б одне з чисел A, B і C відмінне від нуля, тобто A2 + B2 + C2≠ 0. Існують чотири типи ліній другого порядку – коло, еліпс, гіпербола і парабола. Зауваження. Надалі будемо розглядати тільки суттєво криві дійсні лінії другого порядку. Випадки виродження та уявні лінії вивчати не будемо. 37 На початок розділу

38. 3.2 Коло Колом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких відстань до заданої точки площини C (центра кола) дорівнює заданому сталому числу r (радіусу кола). Розглянемо коло з центром у початку координат O(0;0) і радіусом r (рис. 16). Для довільної точки M(x ; y) кола: y M r Одержане співвідношення x O називається канонічним (найпростішим) рівнянням кола. Рис.16 M y r Зауваження. Якщо центром кола служить точка C(a;b), то маємо рівняння кола зі зміщеним центром (рис. 17) C(a;b) x O Рис.17 38

39. Приклад 1 Переконатись, що рівняння 3x2 + 3y2 + 6x– 5y – 9 = 0 є рівнянням кола. Знайти його центр C(a;b) і радіус r. x2 + y2 + 2x – (5/3)y – 3 = 0; (x + 1)2 + (y – 5/6)2 = (13/6)2; C(– 1; 5/6); r = 13/6. Приклад 2 Дано дві точки A(2; –3) і B(–6; 1). Скласти рівняння кола l, для якого відрізок AB служить діаметром. Центром кола l є середина C діаметра AB, а радіус кола r = AB/2. Тоді: Рівняння кола 39 На початок розділу

40. 3.3 Еліпс Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох заданих точок площини F1 і F2 (фокусів еліпса) дорівнює заданому сталому числу 2a, більшому за відстань між фокусами. Для довільної точки M(x ; y) еліпса (рис. 18) r1 + r2 = 2a, де r1 = MF1 і r2 = MF2 – фокальні радіуси точки M(x; y); F1(–c; 0), F2( c; 0) –фокуси, F1F2 = 2c < 2a.Тоді y B2 M r1 r2 F1 O F2 x A2 A1 Підносячи до квадрата і спрощуючи, (проробіть це самостійно), одержимо канонічне рівняння еліпса B1 Рис. 18 40

41. Еліпс має форму овалу, який симетричний відносно великої осіA1A2 = 2a і малої осіB1B2 = 2b, а також центрально симетричний відносно точки O(0;0) – центра еліпса. Точки перетину з осями координат A1(–a;0), A2(a;0), B1(0; –b), B2(0;b) називаються вершинами еліпса. Відношення міжфокусної відстаніF1F2=2c до великої осі A1A2=2a називається ексцентриситетом еліпса і позначається ε: ε=c/a . Зауваження. Ексцентриситет характеризує форму еліпса, при цьому 0 ≤ ε < 1. Якщо ε=0, то маємо окремий випадок еліпса – коло, при цьому a=b=r. Чим більше значення ε, тим сильніше витягнутий еліпс вздовж великої осі. Дві прямі, що мають рівняння x=± a/ε, називаються директрисами еліпса. Оскільки для еліпса ε<1, то права директриса розміщена вертикально правіше від його правої вершини; а ліва директриса –лівіше від його лівої вершини. Властивість директрис еліпса: Відношення фокального радіуса r довільної точки еліпса до відстані d цієї точки до відповідного фокусу є стала величина, що дорівнює ексцентриситету еліпса r/d=ε . 41

42. Приклад 1 Переконатись, що рівняння 9x2 + 100y2 – 900 = 0 є рівнянням еліпса. Зобразити ескіз еліпса, знайшовши точки його перетину з осями координат (вершини еліпса). еліпс, що перетинає осі координат у вершинахA1(– 10,0), A2(10,0), B1(0, –3), B2(0,3). y 3 B2 x A1 A2 –10 10 O B1 – 3 42

43. Приклад 2 Скласти канонічне рівняння еліпса, мала піввісь якого а лівий фокус знаходиться у точці F(– 4;0). Знайти його ексцентриситет і написати рівняння директрис. За умовою задачі а половина міжфокусної відстані c=4. Тоді Звідси – канонічне рівняння; – ексцентриситет; – директриси. 43 На початок розділу

44. 3.4 Гіпербола Гіперболою називається множина всіх точок площини, для кожної з яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок площини F1 і F2 (фокусів гіперболи) дорівнює заданому сталому числу 2a, меншому за відстань між фокусами. Для довільної точки M(x; y) гіперболи (рис. 19) де r1=MF1 іr2=MF2 – фокальні радіуси точки M(x; y); F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокуси, F1F2 = 2c > 2a.Тоді y Підносячи до квадрата і спрощуючи, поклавшиb2 =c2–a2>0 (проробіть це самостійно), одержимо канонічне рівняння гіперболи M B2 r1 r2 A1 x A2 F1 F2 O B1 Рис. 19 Гіпербола складається з двох нескінченних гілок, які симетричні відносно дійсної осіA1A2=2a і уявної осіB1B2=2b, а також центрально симетричні відносно точки O(0; 0) – центра гіперболи. 44

45. Дійсні вершини A1(–a;0), A2(a;0) є точками перетину гіперболи з віссю Ox. Через уявні вершини B1(0; –b), B2(0;b) гіпербола не проходить. Прямі є асимптотами гіперболи. Асимптотою називається пряма, що необмежено зближається з гілкою кривої на нескінченності. Відношення міжфокусної відстаніF1F2=2cдо дійсної осі A1A2=2a називається ексцентриситетом гіперболи і позначається ε: ε=c/a. Зауваження. Ексцентриситет характеризує форму гіперболи, при цьому ε>1. Чим більше значення ε, тим сильніше витягнута гіпербола вздовж дійсної осі. Дві прямі, що мають рівняння x=± a/ε, називаються директрисами гіперболи. Оскільки для гіперболи ε>1, то права директриса розмішена вертикально між центром і правою вершиною, а ліва директриса – між центром і лівою вершиною. Властивість директрис гіперболи аналогічна відповідній властивості для еліпса: r/d=ε . 45

46. Переконатись, що рівняння 9x2 – 25y2 – 225 = 0 є рівнянням гіперболи. Знайти вершини гіперболи та її асимптоти. Зобразити ескіз гіперболи. Приклад 1 – гіпербола з вершинами: дійсні вершини гіперболи: A1(–5;0), A2(5;0), уявні вершини гіперболи: B1(–3;0), B2(3;0), асимптоти: y B2 3 x 5 –5 A1 O A2 –3 B1 46

47. Знайти рівняння гіперболи lg, якщо її ексцентриситет εg=2, а фокуси збігаються з фокусами еліпса le: x2/100 + y2/36 = 1. Приклад 2 Точка належить гіперболі Приклад 3 а її асимптоти y=±(3/2)x. Знайти канонічне рівняння, ексцентриситет і директриси гіперболи. Оскільки точка M належить гіперболі, то З рівняння асимптот маємо b/a=3/2. Розв’язуючи одержану систему двох рівнянь з двома невідомими a і b (зробіть це самостійно), знаходимо a=4 і b=6. Звідсиx2/16 – y2/36 = 1 – канонічне рівняння; – ексцентриситет; – директриси. 47 На початок розділу .

48. 3.5 Парабола Параболою називається множина всіх точок площини, для кожної з яких відстань до заданої точки площини F (фокуса параболи) дорівнює відстані до заданої прямої ld (директриси параболи), що не проходить через фокус. Для довільної точки M(x; y) параболи (рис. 20) r=d, де r=MF– фокальний радіус точки M(x; y);d – відстань від точки M(x; y) до директриси ld: x= –p/2; F(p/2;0) – фокус; p – параметр параболи (відстань від фокуса до директриси), p > 0. Тоді y Підносячи до квадрата і спрощуючи (проробіть це самостійно), одержимо канонічне рівняння параболиy2 = 2px. Очевидно, що x ≥ 0. Парабола має форму нескінченної гілки, яка симетрична відносно осі параболи OF. Точка O(0,0) на осі симетрії (початок координат) називається вершиною параболи. Асимптот парабола не має. M d ld r O x F p/2 Рис. 20 48

49. Зауваження 1. Згідно з означенням параболи і властивостями директрис еліпса і гіперболи, прийнято, що ексцентриситет параболи дорівнює одиниці ε=1. Зауваження 2. На практиці часто зустрічаються параболи з іншим розміщенням відносно системи координат. На рис. 21 – 24 наведені основні випадки і відповідні канонічні рівняння. y y ld ld O x x O F F y2= – 2px y2=2px Рис. 21 Рис. 22 y y ld F x2=2py O x O x F ld x2= – 2py Рис. 24 Рис. 23 49

50. Приклад 1 Визначити координати фокуса F(p/2;0) і рівняння директриси ld параболи y2=12x. Знайти кінці M1(p/2;–p) і M2(p/2; p) хорди M1M2=2p, яка проходить через фокус параболи і перпендикулярна до її осі. Зобразити ескіз параболи, провівши плавну лінію через її вершину O і точки M1(p/2;–p),M2(p/2; p). y M2 6 ld F -3 O x 3 y2 = 2px; y2 = 12x; 2p = 12; p = 6; F(p/2; 0); F(3;0); ld: x = –p/2; x = – 3; M1(3; –6), M2(3,6). -6 M1 50