工程力学

1. 工程力学 第11章 复杂应力状态分析·强度理论

2. 第11章 应力状态和强度理论 §11-1 应力状态的概念 §11-2 平面应力状态分析 §11-3 三向应力状态简介 §11-4 广义胡克定律 §11-5 强度理论

3. T T A B l §11-1 应力状态的概念 一、一点的应力状态

4. A l 重要结论： (1) 同一面上不同点的应力各不相同; (2) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同 一点的应力状态 过一点不同方位面上应力的总和，称为这一点的应力状态。

5. 二、研究应力状态的目的 1. 解决复杂应力状态下的强度计算问题 2. 有助于理解和解释某些破坏现象 • 例如 • 为什么塑性材料拉伸时会出现滑移线？ • 为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？

6. 单元体的尺寸无限小， 每个面上应力均匀分布 2 3 1 1 任意一对平行平面上的应力相等 3 2 三、应力状态的研究方法 取单元体 1、单元体特征 2、主单元体 各侧面上切应力均为零的单元体

7. 2 1 3 3、主平面 切应力为零的截面 4、主应力 主平面上的正应力 说明: 一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂 直的主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数 值大小的顺序来排列, 即

8.     F F x x x 四、单元体的取法

9. 2 3 2 1 1 1 1 1 3 2 1 2 五、应力状态的分类 1、空间应力状态 三个主应力1、2 、3 均不等于零 2、平面应力状态 三个主应力1、2、3中有两个不等于零 3、单向应力状态 三个主应力 1、2、3中只有一个不等于零

10. 三向应力状态的实例 滚珠轴承

11. y y y y y x x x x x z §11-2 平面应力状态分析 单元体的一对平面上没有任何应力，称为平面应力状态，如图所示。

12. y n y e  已知 、 、 ，求 斜面上的应力。 x x x x f a 一、解析法 1.斜截面上的应力

13. e e α dA x α dAcos x α α f a dAsin f a y y n α 由三角形的平衡

14. 化简以上两个平衡方程最后得 不难看出 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数

15. 2.正应力极值——主应力 令 0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。

16. (1)当x y 时 ， 0是x与max之间的夹角 将 0和0+90°代入公式 得到 max 和 min (主应力） (2)当x<y时 ， 0是x与min之间的夹角

17. 3.最大切应力 令 1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.

18. 和 比较 可见 将 1和1+90°代入公式 得到 max和min

19. y e x x f 30° n 例题1 图示单元体，已知 x=80MPa， y=-50MPa，x=-40MPa.试求 ef截面上的应力及主应力和主单元体的方位. 解： (1) 求ef截面上的应力

20. (2) 求主应力和主单元体的方位 x= 80MPa y=-50 MPa x= -40MPa =-30°

21. 3 1 y x x 15.8° 因为 x > y ，所以 0= 15.8° 与 max 对应。

22. 二、图解法 1.作图依据 将斜截面应力计算公式改写为 把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去，得

23. 上式在 -  直角坐标系内的轨迹是一个圆 . 此圆称为应力圆或称为莫尔圆 圆心的坐标 圆的半径

24.  y y y o  x x y x x 2. 作图方法 ①建  -  坐标系 ,选定比例尺

25. D B x y A y x yx D′ y x x x xy C  o  OA=  x ②量取 AD =  xy 得 D点 OB= y ③量取 BD′= yx 得 D′ 点 ④连接 DD′两点的直线与 轴相交于 C点 ⑤以C为圆心, CD为半径作圆,即得相应于该单元体的应力圆

26.  D B x o A y  x D′ y C 3. 证明 (1)该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为 (2)该圆半径为

27.  D xy B y n o A yx  x yx E D′ e  y 2 x x x 20 xy C F f a 3.应力圆的应用 应力圆圆周上任意点的坐标对应着单元体某个斜面上的应力。 在应力圆上以 CD为起点，逆时针方向转动 2得到半径CE，圆周上E点的坐标就是单元体 斜截面上的应力和。

28. 证明

29. D  n x  O C 点和面的对应关系 角度的起点 二倍角关系 转向一致

30. 2  B1 D A1 xy B o A yx  x E D′ y 2 1 20 C F 2. 求主应力数值和主平面位置 ① 主应力数值 A1和B1两点为与主平面 对应的点，其横坐标 为主应力 1，2 。

31. 2  B1 D 20 A1 B x o A y  x D′ y 1 C ② 主平面方位 由 CD顺时针转 20到CA1 所以单元体上从x轴顺时针转 0（负值）即到 1对应的主平面的外法线 0确定后， 1对应的主平面方位即确定

32. 2 G1  B1 D 20 A1 B x o A y  x D′ y G2 1 C 3. 求最大切应力 G1 和 G两点的纵坐标分别代表 最大和最小切应力 因为最大最小切应力 等于应力圆的半径

33. Me A D B C Me t C B A 例2 ： 讨论圆轴受扭转时的应力状态并分析铸铁件受扭 时的破坏现象。 解：破坏时沿45º线断开 最大切应力 取单元体如图 画应力圆如图

34. s1 s3 45o x t -45o A D s3 s1 C B A B C 圆截面铸铁试件扭转破坏时，其断裂面为与轴线成角的螺旋面，在垂直于断裂面的方向，有最大拉应力，因此，圆截面铸铁试件的扭转破坏是拉断的。同时也说明铸铁材料的抗拉强度小于抗剪和抗压强度。

35. 120 15 9 250KN z 270 A B a C b 1.6m 15 2m 例题3 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横 截面尺寸示于图中。试绘出截面 c 上 a , b两点处的应力圆，并 用应力圆求出这两点处的主应力。

36. 200kN + 250KN 50kN A B C 1.6m + 2m 80kN.m 解: (1) 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图 FSmax =FC左 = 200 kN Mmax = MC = 80 kN•m

37. 120 15 9 z 270 a y b 15 x x a x (2)横截面 C上a 点的应力为 a点的单元体如图所示

38.  (122.5 , 64.6) D  C B A2 A A1 D′ (0 , - 64.6) 3 1 (3)做应力圆 x =122.5MPa， x=64.6MPa y=0， x=-64.6MPa 由 x ， xy定出 D点 由 y ， yx定出 D′点 以 DD′为直径作应力圆 A1，A2 两点的横坐标分别代 表 a点的两个主应力 1 和 3 O A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面

39. 120 15 9 z 270 3 a 1 y b 15 x x x x a b 0 x (4)横截面 C上b点的应力 b点的单元体如图所示

40.   (136.5 , 0) D 1 D′ (0 , 0) x x b b 点的三个主应力为 1所在的主平面就是 x平面 , 即梁的横截面 C

41. 首先研究与主应力 平行的斜截面上的应力，由于 作用平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力 平行的斜截面上的应力与 无关，这一组斜截面上的应力在—平面上所对应的点，必在由 和 所确定的应力圆的圆周上。 2 3 1 1 3 2 §11.3 三向应力状态简介 一、 三向应力圆 已知受力物体内某一点处三个主应力1、2、3 利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。

42.  A B C O 3 2 1 同理，可画出另外两个应力圆。将三个应力圆画在同一平面上，称为三向应力圆。

43.   A B C O 3 2 1 与三个主应力均不平行的任意斜截面上的应力所对应的点，位于三个应力圆围成的阴影线区域内。

44.   A B C O 3 2 1 由三向应力圆可见 最大切应力所在的截 面与 2 所在的主平 面垂直，并与1和 3 所在的主平面成 450角。

45. y 60MPa 30MPa 50MPa x 40MPa z 例题4 单元体的应力如图所示,作应力圆, 并求出主应力和最大 切应力值及其作用面方位. 解:该单元体有一个已知主应力 另外两个主应力与主应力 z 无关, 可按平面应力状态求主应力。

46. 按代数值大小排序，三个主应力为 最大切应力为

47. 单独存在时 单独存在时 2 3 单独存在时 1 1 3 2 §11.3 广义胡克定律 一、广义胡克定律 同时存在时

48. 同理可得2、3方向的应变，一并写为：

49. y yz yx xz x zx xy x zy z 对非主单元体，可以证明两个结论： ① 主应变方向与主应力方向相同； ② 线应变与切应力无关， 切应变与正应力无关。

50. F a a a y y x x z z 例题5边长 a = 0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大， 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图所示. 已知铜的弹性模量 E=100GPa，泊松比 µ=0.34，当受到F=300kN 的均布压力作用时，求该铜块的主应力和最大切应力. 解：铜块横截面上的压应力