第 1 章 信号的基本概念

1. 第1章 信号的基本概念 1.1 信号的定义与信号的分类 1.2 基本信号 1.3 信号的基本运算与波形变换

2. 本章学习重点： • 1.掌握信号的基本概念，包括信号的定义和分类； • 2.掌握基本信号的表达式和特性； • 3.掌握信号的基本运算和波形变换。

3. 1.1 信号的定义和信号的分类 • 本节基本要求： • 1.理解信号的基本概念； • 2.掌握基本信号的定义和分类。

4. 信息要用某种物理方式表达出来，通常可以用语言、文字、图画、数据、符号等来表达。也就是说信息通常隐含于一些按一定规则组织起来的约定的“符号”之中，是信息的一种表现形式。信号是带有信息的随时间变化的物理量或物理现象。由于信号是随时间而变化的，在数学上可以用时间的函数 • 来表示。

5. 1 确定信号与随机信号 • 按时间函数的确定性划分，信号可分为确定信号与随机信号两类。 • 确定信号是指一个可以用明确的数学关系式描述的信号，即可以表示为一个或几个自变量的确定的时间函数的信号。即在给定的某一时刻，信号是有确定的值。 • 随机信号则与之不同，不能预知它随时间变化的规律，不是时间的确定函数，即不可预知或不能用数学关系式描述，其幅值、相位变化，通常只知道它取某一些数值的概率。 • 对于确定信号，它可以进一步分为周期信号、非周期信号与准周期信号。

6. 周期信号是指经过一定时间可以重复出现的信号，其表达周期信号是指经过一定时间可以重复出现的信号，其表达 • 式为： • 满足此关系式的最小T值称为信号的周期。这种信号，只 • 要给出任一周期内的变化规律，即可确定它在所有其它时间内 • 的规律性。 • 非周期信号在时间上不具有周而复始的特性，往往具有瞬 • 变性，也可以看作为一个周期T趋于无穷大时的周期信号。 • 准周期信号是周期与非周期的边缘情况，是由有限个周期 • 信号合成，但各周期信号的频率相互间不是公倍关系，其合成 • 信号不满足周期条件。如信号

7. 【例1.1-1】试求信号 的周期。 • 解： 时， ， • 时， ， • 二者的公共周期为20，故 的周期为20。

8. 2 连续时间信号与离散时间信号 • 按照时间函数取值的连续性，可划分信号为连续时间信号 • 与离散时间信号，简称连续信号与离散信号。 • 连续信号是指在所讨论的时间间隔内，除有限个第一类间 • 断点外，对于任意时刻值都可给出确定的函数值，此类信号称 • 为连续信号或模拟信号。通常用 表示。 • 离散信号是指在所讨论的时间区间，只在某些不连续规定 • 的时刻给出函数值，而在其它时刻没有给出函数值，通常用 • 表示，由于它是由一组按时间顺序的观测值所组成，所以也称 • 为时间序列或简称序列。

9. 3 能量信号与功率信号 • 信号按时间函数的可积性划分，可以分为能量信号、功率 • 信号和非功率非能量信号。 • 信号能量可以看作是随时间变化的电压或电流，加到1欧 • 姆电阻上的能量，即信号平方的无穷积分简称为信号能量,即: • 其平均功率定义为： • 若信号的能量有界，即 ,此时 ,则称此信号为 • 能量有限信号，简称能量信号。 • 若信号的功率有界，即 ，此时 ，则称此信号 • 为功率有限信号，简称功率信号。

10. 【例1.1-2】如图1.1-1所示信号，判断其是否为能量信号或功率信号。【例1.1-2】如图1.1-1所示信号，判断其是否为能量信号或功率信号。 • （a) (b) • 图1.1-1信号波形 • 解:根据图1.1-1(a)的信号 • 所以该信号为能量信号。 • 对于图1.1-1（b）所示信号 ，则有 • 所以该信号既非能量信号又非功率信号。

11. 1.2 基本信号 • 本节基本要求： • 1.理解基本信号的数学表达式； • 2.掌握连续时间信号和离散时间信号的基本特性。

12. 1 正弦型信号 • A .连续时间正弦型信号 • 一个正弦信号可描述为： • 式中A为振幅， 为角频率（弧度/秒）,为初始角（弧度）。正弦 • 信号是周期信号，周期为 。由于余弦信号与正弦信号只是在相 • 位上相差 ，所以将它们统称为正弦型信号。 • 余弦信号与正弦信号均可用欧拉公式展开为复指数信号：

13. 正弦型信号具有非常实用的性质： • ⑴两个频率相同的正弦信号相加，即使其振幅与 • 相位各不相同，但相加后结果仍然是原频率的正弦信 • 号； • ⑵若一个正弦信号的频率是另一个正弦信号频率 • 的整数倍时，则合成信号是一个非正弦周期信号，其 • 周期等于基波的周期。 • ⑶正弦信号对时间的微分或积分仍然是同频率的 • 正弦信号。

14. B .正弦型序列 • 通常正弦型序列是从正弦时间函数或余弦时间函数经取样后得来的， • 对于正弦序列的表达式为： • 这里幅值A、初相 的含义与模拟正弦信号相同。 • 对于周期序列其定义为： ,其中N为序列的周期，为任意整 • 数。 • 离散正弦序列是否为周期信号主要取决于 。若比值 是有理数 • ，则正弦序列为周期序列。

15. 2 复指数型信号 • A.连续时间复指数信号 • 连续时间复指数信号可表示为： • ，式中A、 和w均为实常数。 • 当 时，若 ，则 随着时间的增加按指数衰减振荡,若 ， • 则 随着时间的增加按指数增长振荡；若 ，则 为等幅振荡信号。 • 当 时， 是连续时间实指数信号, 若 ，则 随着时间 • 的增加按指数衰减；若 ，则 随着时间的增加按指数增长；若 ， • 则 为直流信号。

16. B.离散时间指数序列 • 令 ，离散时间实指数序列为 • 如果 ，它呈现出单调增长的指数序列； ， • 它是常数序列； ，它是单调衰减的指数序列。

17. 【例1.2-1】画出波形离散时间指数序列 ， ， ， • 的几种不同情况的波形。 • 解：如果 ，它是单调增长的实指数序列； ，是常数序列； ，是单调衰减的实指数序列，分别如图1.2-1 （a）、（b）和（c）所示。 • （a) (b) • (c) • 图1.2-1 离散时间指数序列波形

18. 3 单位阶跃信号 • A.连续时间单位阶跃信号 • 连续时间单位阶跃信号表示为 其定义为： • 其波形如图1.2-2所示: • 图1.2-2 连续时间阶跃信号波形 • 对于 ,该信号在 处发生跃变，数值1为阶跃的幅度。 • 若单位阶跃信号跃变点在 处，则称为延迟单位阶跃信号，它可表 • 示为：

19. B.离散时间单位阶跃序列 • 离散时间单位阶跃序列表示为 ,其定义为： • 在 处的值明确定义为1。 • 同样，对于单位阶跃序列 ，有 ,这种特性常用来 • 表示分段描述的序列。 • 波形如图所示: • 图1.2-3 离散时间阶跃序列波形

20. 4 单位冲激信号 • A.连续时间单位冲激信号 • 连续时间单位冲激信号 的定义是： • 和 • 通常用一个带有箭头的单位长度线表示，如图所示： • 延迟 出现的冲激信号可记为 ，它的定义为

21. 单位冲激信号具有下列一些重要性质：

22. B.离散时间单位冲激序列 • 离散时间单位序列 （又称单位函数）其定义式为： • 且有： • 值得注意的是单位序列 与冲激函数 有本质的不同， 在n=0 • 处有确定幅度值为1，而不像 在t=0时的幅度值为∞。

23. C.单位冲激和单位阶跃之间的关系 • 由单位冲激信号的定义可得： • 根据单位阶跃信号的定义，可得： • 上式表明：单位冲激信号的积分为单位阶跃信号；反之，单位阶跃信 • 号的导数应为单位冲激信号。即： • 相比起来，在离散域 与 之间存在类似的差分与累加的关系，即 • 令 ，则

24. 【例1.2-2】 画出下列信号的波形。 • （1） （2） • （3） （4） （5） • 解：（1）令 ，求出 和 ，故 • 其波形如图1.2-4所示 • 图1.2-4 信号（1)的波形

25. （2）令 ，求出 ，故 • 其波形如图1.2-5所示 • 图1.2-5 信号（2)的波形 • （3）符号函数 • 图1.2-6 信号（3)的波形

26. (4) • 其波形如图1.2-7所示 • 图1.2-7 信号（4)的波形 • （5） 的波形如图1.2-8所示， 的波形如图1.2-9所示. • 图1.2-8 的波形 图1.2-9 信号（5)的波形

27. 【例1.2-3】计算下列信号的积分。 • （1） • （2） • （3） • 解：（1） • （2） • （3）

28. 1.3 信号的基本运算与波形变换 • 本节基本要求： • 1.掌握信号的基本运算； • 2.掌握信号的波形变换。

29. 1.3.1 信号的基本运算 • 1.信号的相加与相乘 • 两个连续时间信号、离散时间信号（序列）相加（相乘）的信号运 • 算，称为信号的相加（相乘）运算。它在任意时刻的瞬时值等于两个信号 • 在该瞬时的值的代数和（积）。信号相加与相乘运算可通过信号的波形 • （或其表达式）进行。两个信号相加（相乘）运算可分别表示：

30. 2 连续时间信号微分和离散时间序列差分运算 • 连续时间信号 的微分是指 或记作 ，它表示信号随时间变化 • 的变化率。 • 离散时间序列变量 是整数，对离散时间序列存在差分运算，离散时间 • 序列 的一阶差分运算定义为 • 离散时间差分运算看成连续时间微分运算的对偶运算。

31. 3 连续时间信号积分和离散时间序列累加运算 • 信号 的积分是指 或记作为 ，它在任意时刻的值 为 • 从 到 区间， 与时间轴所包围的面积。这个积分运算通常称为滑动积 • 分。 • 对于离散时间序列与连续时间信号积分运算相对偶的运算是序列的累 • 加， 的一次累加运算定义为 • 换言之，它等于在区间 内原序列图形下的“面积”，它与连续时 • 间积分运算有同样的含义。

32. 4 取模（或取绝对值）运算 • 将一个复信号或复序列所有信号的值的模（幅度），作为 • 一个新信号对应时刻信号值的过程称为取模运算。显然，任何 • 信号取模或取绝对值运算后所产生的信号，必定是一个非负的 • 实信号，对连续时间或离散时间信号的取模运算可分别表示为 • 和 • 其中，上标“*”表示取共轭运算。 • 对一个实信号进行上述取模运算，就称为取绝对值运算。

33. 【例1.3-1】计算下列信号的微分。 • （1) (2) (3) • (4) (5) • 解：（1） • （2） • （3）

34. （4） 因为 • 故令 • 故 • （5）令 ，求出 ，令 ，故 • 故

35. 【例1.3-2】如图1.3-1各图所示，将信号分解成它们的有限项和式。【例1.3-2】如图1.3-1各图所示，将信号分解成它们的有限项和式。 • 图1.3-1 • 解：

36. 【例1.3-3】 已知单边衰减指数序列 为 ，试分别求其一阶差分和一次累加。 • 解：因

37. 1.3.2 信号的波形变换 • 1 信号的时移 • 对于连续时间信号 表达式中的所有自变量t用t±τ替代，则得时 • 移信号 。 表示在t=τ的值等于原信号在t=0的值，所以是原信 • 号的延时，在时间上滞后τ，即右移信号（波形向右移动τ）。 • 同理， 表示是在时间上超前τ，即左移信号（波形向左移动τ）。 • 但值得注意的是 的时间范围定义域中的t也要被替代。 • 相对于连续时间信号，对于离散时间信号（序列） ，若整数 ， • 时移信号 是将原序列沿正 轴方向（右）移动 个单位，而 • 是将原序列向负 轴方向（左）移位 个单位。

38. 2 信号的折叠 • 信号的折叠也称为翻转，对于连续时间或离散时间信号就 • 是将信号 或 以纵坐标轴为轴翻转180°（折叠），即得 • 折叠信号 或 ，也就是将信号的表达式及其定义域中的 • 所有自变量 （或 ）用 （或 ）替代。从波形看， 和 • 的波形分别是 和 的波形相对于纵轴的镜像。

39. 3 信号的尺度变换 • A.连续时间信号的尺度变换 • 尺度变换就是把信号 及定义域中自变量 用 替代，成为 。其 • 中 是常数，称为尺度变换系数。若 时，则 的波形是把 的波形 • 以原点 为基准，沿时间轴压缩至原来的 ；若 时，则 的 • 波形是把 的波形以原点 为基准，沿时间轴扩展至原来的 。 • B.离散时间信号的尺度变换 • 第一种是离散时间变量 变成 （ 为正整数），即离散时域尺度放 • 大 倍。表示为： ，整数 。通常把 的离散 • 时间信号变换（或操作）取名为 抽取。 • 第二种由离散时间尺度变换的定义为 ，整数 ，其中 • 由 的离散时间信号变换称为内插M-1个零的操作，简称内插零。

40. 【例1.3-4】信号 的波形如图1.3-2所示，画出 • 和 的波形。 • 图1.3-2 • 解: • (a) (b) • (c) (d) (e)

41. 【例1.3-5】信号 的波形如图1.3-3所示，画出 , , 和 • 的波形。 • 图1.3-3 • 解： • （a) (b) • (c) (d)

42. 【例1.3-6】离散信号 的波形如图1.3-4所示，画出 和 的波形。 • 图1.3-4 • 解： • （a) (b)