Построение сечений многогранников

1. Построение сечений многогранников Автор: Ланских Е.В., учитель математики Лицея «ИСТЭк», г.Краснодара, 2012 год.

2. Оглавление Построение линии пересечения двух плоскостей Построение сечения тетраэдра Построение сечения параллелепипеда

3. Дано: SАВС – тетраэдр, МєSA, NєSB, PєSC Построить: линию пересечения плоскостей (АВС) и (MNP). S M N К P А B C H Построение: 1) Найдем точку пересечения прямых MN и АВ ( эти прямые лежат в одной плоскости (SBA). К – точка пересечения прямых MN и АВ. 2) Найдем точку пересечения прямых NP и ВC. ( эти прямые лежат в одной плоскости (SBC). H – точка пересечения прямых NРи ВС.

4. S M N К P А B F C H 3) Точки К и Н лежат в плоскости (MNP), так как принадлежат прямым MN и NP, а также лежат в плоскости (АВС), так как принадлежат прямым АВ и ВС. Значит, прямая НК – это прямая пересечения двух плоскостей (АВС) и (MNP). Замечание: На прямой КН будут лежать все общие точки плоскостей (АВС) и (MNP), в том числе и точка пересечения прямых МР и АС – точка F(данные прямые лежат в плоскости SAC).

5. Дано: АВСDА1В1С1D1 – параллелепипед, МєB1C1, NєCC1, PєA1B1 Построить: линию пересечения плоскостей (АВС) и (MNP). M В1 С1 N P В С K H А1 D1 D А Построение: 1) Найдем точку пересечения прямых MN и ВC ( эти прямые лежат в одной плоскости (BCC1). К – точка пересечения прямых MN и ВC. 2) Найдем точку пересечения прямых MP и A1D1. ( эти прямые лежат в одной плоскости (A1B1C1). H – точка пересечения прямых MРи A1D1.

6. M В1 С1 N P В С K H А1 D1 G D А 3) Точка К принадлежит плоскости (АВС). Нам надо получить вторую точку в этой плоскости, которая будет принадлежать и плоскости (MNP). Вспомним свойство параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения этих плоскостей параллельны. 4) Плоскости (ADD1) и (ВСС1) параллельны и пересечены плоскостью (MNP), значит прямые пересечения плоскостей параллельны. MNIIHG. Прямая HG пересекает ребра АА1 и АD, так как лежит в плоскости (ADD1)

7. M В1 С1 N P В С K H А1 D1 G D А 5) Точки К и G принадлежат плоскости (АВС) и одновременно принадлежат плоскости (MNP), значит, прямая КG – прямая пересечения плоскостей (MNP) и (АВС). Замечание:Прямая КG параллельна прямой РМ, так как плоскости (АВС) и (А1В1С1) параллельны и пересечены плоскостью (MNP).

8. Дано: SАВС – тетраэдр, МєSС, NєSB, PєАC Построить: сечение тетраэдра плоскостью (MNP). S N M К Н B А P C Построение (1 способ): 1) Найдем точку пересечения прямых MN и ВС ( эти прямые лежат в одной плоскости (SBС). К – точка пересечения прямых MN и ВC. 2) Точки К и Р лежат в плоскости (АВС), так как К принадлежит ВC и Р принадлежит АС. Значит, прямая КР лежит в плоскости (АВС) и пересекает ребро AВ в точке Н.

9. S N M К Н B А P C 3) Точки М и Р лежат в плоскости (SAС),их можно соединить отрезком. 4) Точки N и H лежат в плоскости (SAB),их можно соединить отрезком. 5) PMNH – сечение тетраэдра плоскостью (MNP).

10. S N M B А H P F C Построение (2 способ): 1) Найдем точку пересечения прямых MP и SA ( эти прямые лежат в одной плоскости (SAС). F – точка пересечения прямых MP и SA. 2) Точки F и N лежат в плоскости (SАВ), так как F принадлежит SА и N принадлежит SB. Значит, прямая FN лежит в плоскости (SАВ) и пересекает ребро AВ в точке H.

11. S N M B А H P F C 3) Точки P и H лежат в плоскости (ABС),их можно соединить отрезком. 4) Точки M и N лежат в плоскости (SBC),их можно соединить отрезком. 5) PMNH – сечение тетраэдра плоскостью (MNP).

12. Дано: АВСDА1В1С1D1 – параллелепипед, МєAD, NєD1C1, PєA1B1 Построить: сечение плоскостью (MNP). В1 С1 N P В С K А1 D1 H D А M Построение: 1) Найдем точку пересечения прямых РN и A1D1 ( эти прямые лежат в одной плоскости (A1D1C1). K – точка пересечения прямых NP и A1D1. 2) Точки K и M лежат в плоскости (АDD1), так как K принадлежит А1D1 и M принадлежит AD. Значит, прямая KM лежит в плоскости (ADD1) и пересекает ребро AA1 в точке H.

13. В1 С1 N P В С K А1 D1 H F А D M L 3) Точки H и Р лежат в плоскости (ABB1),их можно соединить отрезком. 4) Найдем точку пересечения прямых HM и DD1, они лежат в плоскости (АDD1). L – точка пересечения прямых HM и DD1. 5) Точки L и N лежат в одной плоскости (DCC1), L лежит на прямой DD1, N лежит на прямой D1C1. Значит, прямая LN лежит в плоскости (DCC1) и пересекает ребро DC в точке F.

14. В1 С1 N P В С K А1 D1 H F А D M L 3) Точки M и F лежат в плоскости (ABС),их можно соединить отрезком. 4) PNFMH – сечение параллелепипеда плоскостью (MNP). Замечание:Точку F можно было достроить используя параллельность плоскостей (АВВ1) и (DCС1). Линии пересечения данных плоскостей плоскостью (MNP) параллельны, т.е. PHIINF.

15. Желаю удачи в освоении геометрии